2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单性质作业 北师大版选修1-1.doc

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1、12.3.22.3.2 双曲线的简单性质双曲线的简单性质基础达标1双曲线x21 的渐近线方程为( )y2 3Ay3x Byx1 3Cyx Dyx333解析：选 D.方程化为x21，a，b1.渐近线方程为yx.y2 333 2.已知双曲线的渐近线为yx，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为3( )A.1 B.1x2 8y2 24x2 12y2 4C.1 D.1x2 24y2 8x2 4y2 12解析：选 D.焦点在x轴上. ，c4，c242a2b2a2(a)24a2，b a33 a24，b212.故选 D.3.已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，则它的渐近线方程为( )x2 a2y

2、2 b23Ayx Byx223 Cyx Dyx2解析：选 C.e，e21( )23， ，又焦点在x轴，3c2 a2a2b2 a2b ab a2 渐近线方程为yx.2 4.设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心 率为( )A. B.1 221 32 C1 D123 解析：选 B.由题意知ABBC2c，又ABC120， 过B作BDAC，D为垂足，则 |AC|2CD2BCsin 602c，3 由双曲线定义|AC|BC|2c2c2a，3e .c a22 32131312 5.已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线y21 的

3、左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )x2 aA. B.1 91 4C. D.1 31 2解析：选 A.由题意得 1 5，p8，y216x，当x1 时，m216，m0，m4.p 22M(1，4)，双曲线左顶点A(，0)，kAM，由题意，a .a41a41a1a1 96.双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区x2 a2y2 b2 域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为_解析：由题意当x1 时，yx 1，e(1，)5 答案：(1，)57.过点(0，1)且斜率为 1 的直线交双曲线x21 于A，B两点，则

4、y2 4 |AB|_解析：直线的方程为y1x，即yx1，代入x21 整理得 3x22x50，y2 4x11，x2 ，|AB|x1x2|1 |.5 31k2115 38 23答案：8 238.已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线x2 a2y2 b233 的距离为 1，则双曲线方程为_ 解析：双曲线的一个顶点为(a，0)，它到渐近线xy0 的距离为31，a2，又 ba.故双曲线方程为1.|a|1（ 3）2b a33332 33x2 4y2 4 3答案：1x2 4y2 4 39.(1)求与双曲线1 有共同渐近线，并且经过点(3，2)的双曲线的方程x2 9y2 163 (2

5、)已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264 共焦点，求双3 曲线的方程解：(1)设所求双曲线方程为(0)，将点(3，2)代入，得x2 9y2 163，解得 .9 912 161 4所以所求双曲线方程为1.4x2 9y2 4(2)法一：椭圆方程可化为1，易得焦点是(4，0)设双曲线方程为x2 64y2 163x2 a21(a0，b0)，其渐近线方程是yx，则 .代入a2b2c248，解得y2 b2b ab a33a236，b212.所以所求双曲线方程为1.x2 36y2 12 法二：由于双曲线的一条渐近线方程为xy0，则另一条渐近线方程为xy0.33已知双曲线的焦点在x轴上，可

6、设双曲线的方程为x23y2(0)，即1.x2 y2 33由椭圆方程1 知c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，所以x2 64y2 1648，则36. 3所以所求双曲线方程为1.x2 36y2 12 10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)3 (1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O2OAOB为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)x2 a2y2 b2 由已知得a，c2，再由a2b222，得b21.3故双曲线C的方程为y21.x2 3(2)将ykx代入y21 得2x2 3 (13

7、k2)x26kx90.2 由直线l与双曲线交于不同的两点得13k2 0， （6 2k）236（13k2）36（1k2） 0，)即k2 且k22 得xAxByAyB2，OAOB而xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)22 (k21)xAxBk(xAxB)22(k21)k2.9 13k226 2k13k23k27 3k21于是2，即0，解此不等式得 0)的中心和左焦点，点P为双曲x2 a2线右支上的任意一点，则的取值范围为_OPFP解析：因为F(2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21，设点P(x0，y0)(x0)，则有y1(x0)，解得x2 332 03

8、y1(x0)，易知(x02，y0)，(x0，y0)，所以x0(x02)2 03FPOPOPFPyx0(x02)12x01，此二次函数的图像的对称轴为x0 ，因为2 03 4x0，所以当x0时，取得最小值 32132，故的取值范33OPFP4 333OPFP围是32，)3 答案：32，)33.设F1，F2分别为双曲线1 的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、x2 a2y2 b2 右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆 外切，又与以PF1为直径的圆内切 证明：如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由

9、三角形中位线的性质，得|OM| |PF1|.又根据双曲线的定义，得1 2|PF1|2a|PF2|，从而有|OM| (2a|PF2|)a |PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两1 21 2 圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切同理，得|ON| |PF2| (|PF1|2a) |PF1|a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径1 21 21 2 之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切4已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，O为坐标原点，x2 a2y2 b23 点M(，)在双曲线上53 (1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且0，求|

10、OP|2|OQ|2的最小值OPOQ解：(1)双曲线C的渐近线方程为yx，3 b23a2，双曲线的方程可设为 3x2y23a2. 点M(，)在双曲线上，可解得a24，53双曲线C的方程为1.x2 4y2 125(2)设直线PQ的方程为ykxm，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为 (3k2)x22kmxm2120，.3k2 0 （2km）24（3k2）（m212） 0)x1x2，x1x2.2km 3k2m212 3k2由0x1x2y1y20，OPOQ即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，(1k2)kmm20，化简得m26k26，m212 3k22km 3k2|OP|2|OQ|2|PQ|2(1k2)(x1x2)24x1x224.384k2 （k23）2当k0 时，|PQ|22424 成立，且满足，384k2 （k23）2 又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|224， 所以|OP|2|OQ|2的最小值是 24.