人教版八年级数学下册《函数初步》精品教案（解析版）.docx

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1、第 1 页 共 18 页人教版八年级数学下册函数初步精品教 案（解析版）定 义示 例 剖 析常量、变量：在一个变化过程中，我们称 数值发生变化的量为变量，数值始终保持 不变的量称为常量.函数：一般地，在一个变化过程中，如果 有两个变量 与，对于 的每一个确定的xyx 值，都有唯一确定的值与其对应，那么y 我们就说其中 是自变量，是因变量，xy 是 的函数如果当时，那么yxxayb 叫做当自变量的值为 时的函数值.ba表示函数关系的式子叫做函数解析式.圆的面积与半径 之间存在相应的关系：Sr ，是常量，随着 的变化而变化，2SrSr 是自变量，是因变量，是 的函数，当rSSr 时，函数值；当时，

2、函数值1r S 3r ，9S 这里等式为函数解析式2Sr总结示 例 剖 析函数自变量的取值范围，初中阶段主 要包括： 整式：一般为全体实数 根式：根指数为偶数时被开方数为非 负数函数、221yx1yx2xyx自变量取值范围分别为：全体实数、 、1x2x 题型一：常量、变量、函数题型一：常量、变量、函数第 2 页 共 18 页 分式: 分母不为零 实际问题：符合实际意义【例 1】判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，请写出函数关系式，并 指出其中的自变量. 三角形的面积S与长为 5的边上的高h之间.2cmcmcm 某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为 0.4 元，票 价y元与经

3、过的车站数x之间. 下图分别给出了变量与 之间的对应关系，是 的函数的图象是（ yxyx ）DCBAxyOxyOxyOOyx（人大附中期中）【解析】 是，自变量为高h.5 2hS 是，自变量为车站数x.0.4yx C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一 对一的关系即可判断.本道例题旨在加强学生对函数定义的理解.【例 2】判断下列式子中是否是 的函数，若是，请指出自变量 的取值范围:yxx ； ； ； 35yx2 1xyx2yx第 3 页 共 18 页； 3yx ； ； ； 2yx 2 1xyx2 3xyx.3yx【解析】 不是，其余均是.其中： 为全体实数； ； 全体

4、实数 ； x1x ； 且； 全体实数.1x 2x3x 【例 3】 三角形的周长是，三边长分别为，则以 为自变量cmy4cm6cmcmxx 表示的函数关系式为_，自变量 的取值范围是 . yx 矩形周长为 30，则面积与一条边长 之间的函数关系式为yx _，其中 的取值范围是_. x 一个小球由静止开始从一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 米，则小 球的速度 随时间 变化的函数关系式为_；第秒时小vt2.5 球的速度为_. 某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每 户用水不超过立方米，按每立方米 元收费；若超过立方米，则超12212 过部分每立方米按 元收费，某户居民五月

5、份交水费（元）与用水量4yx （立方米）（）之间的关系式为 ，若该月交水费12x 元，则这个月的实际用水 立方米40【解析】 ，；10yx210x ，.215yxx015x ，5 米/秒.2vt ,. 424yx16第 4 页 共 18 页函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别 作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.画函数图象的步骤：列表描点连线（平滑的曲线）函数解析式与其图象的关系： 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； 函数图像上点的坐标满足函数解析式【例 4】在同一平面直角坐标系中描点画出函数；的图象，并解

6、21yx2yx决以下问题：xyO 判断下列哪些点分别在函数的图象上：；2.54A ，1 3B，；24C ，题型二：函数的图象题型二：函数的图象第 5 页 共 18 页；.2.54D，2.25 1.5E，1 1F， 观察两个函数的图象，当时，函数和函数中，是随着 的增0x yx 大而增大，还是随着 的增大而减小？当时呢？ x0x 【解析】列表略，图象如下，注意强调几点：自变量在定义域内取值；连线时 按照横坐标由小到大的顺序用平滑曲线连接；由定义域判断图象是否有 端点.y=2x-1y=x2xyO 点A、B、E均不在两个图象上，点在上，点在上，点在CDF 和上； 当时，函数中，均随着 的增大而增大，

7、当时，函数0x yx0x 中随 的增大而增大，函数中随 的增大而减小.yxyx【例 5】某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如 图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出那么该倒置啤 酒瓶内水面 高度h随水流出的时间t变化的图象大致是 （ ）（海淀期末练习）第 6 页 共 18 页DCBAOthOthOthhtO小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到 车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”.如果用纵轴表示父亲与儿子y 行进中离家的距离，用横轴 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述x 诗的含义大致吻合的是（ ）yxOxyOxyOOxyA B C D水池有 2 个进水

8、口， 1 个出水口，每个进水口的进水量与时间的关 系如图 1 所示，出水口的出水量与时间关系如图2 所示，某天 0 点 到 6 点该水池的蓄水量与时间关系如图3 所示，下列论断 ： 0 点到 1 点，打开 2 个进水口，关闭出水口； 1 点到 3 点，同时关闭 2 个进水口和 1 个出水口； 3 点到 4 点，关闭 2 个进水口，打开出水口； 5 点到 6 点，同时打开 2 个进水口和 1 个出水口其中可能正确的 论断是（ ）（人大附统练）A B C D第 7 页 共 18 页某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越 快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.

9、.小明走路的速度 V（米/分钟）是时间t（分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图 象是（ ）Ot分 分 分 分V分 分 /分 分Ot分 分 分 分V分 分 /分 分Ot分 分 分 分V分 分 /分 分V分 分 /分 分t分 分 分 分OA B C D【解析】啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的 两段，因为是匀速，所以表现在图象上为直线，故选A；C；由图中可以看出，一个进水管的速度为1；一个出水管的速度为 2从 0 点到 1 点，蓄水量由 5 增加到 6，如果打开 2 个进水管关闭 出水口的话，就要增加2，所以 不对，排除 A、B 3 点到 4 点， 蓄水量由 6 变为

10、 5，关闭 2 个进水口，打开出水口的话就应该减少 2不对故选 DA，此题易错在将函数当做路程V【例 6】下面的图象反映的过程是：李明从家跑去体育场，在那里锻炼了一阵后又 走到文具店去买笔，然后散步回家，其中 表示时间，表示李明离家的距xy 离.O2.51.59565453015y/分 分x/分第 8 页 共 18 页请根据以上图象信息回答下列问题： 体育场离家多远？李明从家到体育场用了多长时间？ 体育场离文具店有多远？ 李明在文具店停留了多久？ 李明从文具店回家的平均速度是多少？【解析】 2.5 千米，15 分钟； 1 千米； 20 分钟； （千米/分）. .1.595650.05【例 7】

11、已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm，设相邻两边中，较 短的一边长为ycm，较长的一边长为xcm 求y关于x的函数解析式； 求自变量x的取值范围； 当较短边长为 4cm 时，求较长边的长【解析】2（x+y）=24，y=12-x；120 12x yxx 6x12；当y=4 时，y=12-x=4，解得：x=8cm【备注】此题难度不大，但是需要老师重点讲解自变量的取值范围，这是一个 易错点，在初学函数时如果不注重对自变量取值范围的强调，对后面 学习一、二次函数及反比例函数会有不利影响，容易造成学生失分。第 9 页 共 18 页程度好的班级，教师可带领学生探讨下面的函数动态问题。【探究对象】探讨函

12、数动态问题【探究目的】函数与几何结合的动态问题，是近年来中考题型中的“新宠”，这样的 题以几何为背景，赋运动、函数于一体，集开放、探索于一身，考察学 生观察图形及举一反三运用知识点的能力【探究 1】如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设OP为s，运动时间为AOAABBOt，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ C ）分析：此题比较好理解，可以看出OP的长随P点从O到A逐渐变大，而P 点弧AB上运动时OP为半径保持不变，P点从B到O过程中OP逐渐减少直 至为 0重点是老师可以引导学生关注临界点，过临界点后发生变化，为以 后更复杂的题提供做题思路 【探究 2】边长为 1

13、 和 2 的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平 线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正 方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ A ）BOAPDCBAsOtsOtsOttsO第 10 页 共 18 页分析：此题与上题为同类型题目，有了上题的铺垫，老师可以发现部分学 生已经学会运用临界点（或临界状态）做题，此题正方形左右两条边作为 临界边，小正方形完全进入大正方形内部时会运动一段时间，而这段时间 阴影部分的面积是保持不变的，故选 A【探究 3】有一根直尺的短边长为 2cm，长边长为 10cm，还有一块锐角为 45的直 角三角形纸板，它的斜

14、边长为 12cm，如图(1)，将直尺的短边DE放置与直 角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移， 如图(2)，设平移的长为xcm(0 x 10)，直尺与三角形纸板重叠部分 (图中阴影部分)的面积为 Scm2（1）当时，S= ；当时，S= ；0x 10x （2）当时，求 S 与x的函数关系式；04x（3）当时，求 S 与x的函数关系式410x【解析】（1）当x=0 时，阴影部分是等腰直角三角形，阴影部分的面积为BCE(D)ADF GxAECBOsttOstOstOsABCD第 11 页 共 18 页S=2cm2；当x=10 时，直尺运动到最右边，阴影部分的面积为 S=2

15、cm2 当直尺继续移动时，首先先引导学生，重叠部分阴影部分面积还是不是一 直保持为是一个等腰直角三角形，通过画图发现，阴影部分的图形是在不 断变化的，其形状变化为：三角形梯形五边形梯形三角形，画出 各图形如下：来源:学（2）当，如图 1，DG=AD=x，AE=EF= x+2，S=2x+2（cm2）04x（3）当时，应分两种情况分类讨论：410x当时，如图 2，DG=AD=x，EF=BE=12x2=10x，46x21014ABCADGBEFS=SSSx +x 当时，如图 3，BD=DG=12x，EF=BE=10x，S=222x610x分 3分 2分 1AGCFEDBABDEFGCBCEAGFD第

16、 12 页 共 18 页训练 1.已知函数的图象上有两点：，求式子5yxP ab，Q cd，的值a cdb cd【解析】将两点的坐标代入解析式中，得PQ，5ba5dc原式 5525cdabccaa 训练 2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起 来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到了终点用、分别表示乌龟和兔子所行的路程， 为时1S2St间，则下列图象中与故事相吻合的是（ ）OO BAtsS1S2S2 S1stOO DCtstsS1S2S1S2【解析】D.训练 3.如图，点按的顺序在边长为 1 的正方形边上运动，是PABC

17、MM 边上的中点，设点经过的路程 为自变量，的面积为，则函数CDPxAPMy 的大致图像是（ ）yPMDCBADCBAxyO12 2.5xyO12 2.5xyO12 2.512122.521Oyx【解析】D.第 13 页 共 18 页训练 4.如图反映的过程是：小华从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家. x/分y/分 分15 253755801.12O观察图象回答一下问题： 小华家离菜地多远？小华从家到菜地用了多长时间？ 小华给菜地浇水用了多长时间？ 菜地离玉米地多远？小华从菜地到玉米地用了多长时间？ 小华给玉米地锄草用了多长时间？ 玉米地离小华家多远？小华从玉米地回家的平均速度是多少？

18、【解析】1.1km,15 分；10 分；0.9 千米，12 分；18 分；2 千米，0.08 千米/分.第 14 页 共 18 页知识模块一 常量、变量、函数 课后演练【演练 1】 在函数中，自变量 的取值范围是（ ）1 3yxxA B. C. D.3x 0x 3x 3x 在函数中，自变量 的取值范围是_.37yxxx下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ）A B C D【解析】 A 37x C.应有唯一值与 对应.yx【演练 2】等腰三角形顶角与底角之间的函数关系式是 ，自yx 变量 的取值范围是 .x汽车油箱中原有油 100 升，汽车每行驶 50 千米耗油 10 升，油箱剩余油 量（

19、升）与汽车行驶路程 （千米）之间的关系为_，自yx第 15 页 共 18 页变量 的取值范围是_，当函数值时，自变量. x50y _x 在同一平面内，1 条直线可以把平面分成 2 个部分，2 条直线最多可以 把平面分成 4 个部分，则 3 条直线最多可以把平面分成 个部 分 若 条直线最多可以把平面分成个部分，则与 之间的关系nPPn 式为_.【解析】 ，. .1802yx090x ，250.11005yx0500x 7；，本题旨在提示学生，很多规律性结果都是其中项数的112n nP 函数.知识模块二 函数的图象 课后演练【演练 3】 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地已知轮船在静水中的速

20、度为 15 km/h，水流速度为 5 km/h轮船先从甲地顺水航行到乙地，在 乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地设轮船从甲地出 发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象 大致是（ ） 甲、乙两人准备在一段长为 1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑 步的速度分别为 4m/s 和 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面 100m 处， 若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙 两人之间的距离(m)与时间 (s)的函数图象是（ ）yt第 16 页 共 18 页t/st/st/s DCBA5050275100200275200100Oy/m

21、100300Oy/m100300Oy/m100300300100y/mt/sO【解析】 C； C.【演练 4】一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程 随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是( )分 分 分分 分18020430y(km)x(h)A.摩托车比汽车晚到 1 h B. A,B两地的路程为 20 kmC.摩托车的速度为 45 km/h D.汽车的速度为 60 km/h【解析】C.【演练 5】如图所示，该曲线是某一函数的完整图象，请根据图象求：第 17 页 共 18 页32Oyx52-22-4-251 自变量 的取值范围是_x 函数的对应值范围是_y 当时

22、，函数的值是_0x y 当时， 的值是_ 2y x 当_时，的值最大当_时，的值最小x yx y 当 的值_时，随 的增大而增大.xyx（人大附中测试题）【解析】 ； ；45x 25y 2 ； ；2 1.5，； .221.5x 测试 1.购买一些铅笔，单价为 0.2 元/支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中 的常量、变量与自变量，写出函数解析式并画出图象.（清华附期中试题）【解析】变量为，自变量为x，常量为 0.2，函数解析式为.图象略.xy，0.2yx第 18 页 共 18 页测试 2.正方形边长为 3，若边长增加x，则面积增加y，求y随x变化的函数解析 式，并求当时函数的值. .1234x ，【解析】化简得239yx26yxx当时函数值分别为：.1234x ，7162740，说明：因有学生尚未学习乘法公式，解析式不化简也可以. .测试 3.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容 器内， 现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内 水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ）cmhminth(cm)Ot(min)h(cm)Ot(min)h(cm)Ot(min)h(cm)Ot(min)A. B. C. D.【解析】B.