高中导数概念教学要引入极限吗_孙旋.docx

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1、 y 0 基础教育 高中导数概念教学要引入极限吗 孙 旋 （ 南 京师范 大 学教师教 育 学院 江 苏 南 京 210000） 中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 1672-7894（ 2015） 19-0104-03 摘 要 高中开设微积分课程具有多方面价值 ,其中导数是 微积分的核心概念，新课标在导数概念的处理上有了大的 变化，不把导数作为一种特殊的极限来处理 , 而是通过实际 背景和具体应用实例引导学生认识和理解导数概念 。 本文 旨在通过对高中导数概念教学的分析，区分极限思想与极 限定义，介绍极限思想的广泛应用，突出学生培养极限思维 的重要意义 。 关键词 极限

2、思想 极限定义 导数 On Whether the Limit should be Introduced to the Teach ing of Derivative in High School / Sun Xuan Abstract The high school calculus course has many values, in which the derivative is a core concept. The New Curriculum has changed its way to explain the concept of derivative. It doesnt re

3、gard the derivative as a special limit. Instead, it prefers to per- suade students to learn and understand derivative by introducing real background and specific examples. This paper aims to ana- lyze the teaching of derivative in high school, distinguish the limit thought and the definition of limi

4、t, introduce the wide applica- tions of limit thought, and raise the significance of training stu- 瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变 化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 。 ” 课程标准对导数概念的教学处理与教学大纲相比最大 的变化是 :突出导数概念的本质 。 以往教材对导数概念的提 出依托于极限定义 , 考虑到学生对极限定义的认识和理解 存在困难 , 课程标准对导数概念的教学要求不讲极限定义， 而是直接通过实际背景和具体应用实例，引导学生经历由 平均变化率过渡到瞬时变化率的

5、过程，知道瞬时变化率就 是导数，从而理解导数本质 。 虽然课标有了新要求，但是不 同版本的教材对于导数这一概念的处理却不尽相同 。 1.3 不同版本教材中的导数概念 苏教版教材中导数的定义是：设函数 y=f(x)在区间 (a,b) 上 有定 义 ， x0 (a,b)， 若 x 无限趋近 于 0 时 ， 比 值 = x f(x0+x)-f(x0) 无限 趋近于一个常 数 A， 则 称 f(x)在 x=x0 处 可 x 导，并称该常数 A 为函数在 x=x0 处的导数，记作 f (x0)。 人教版教材中导数的定义是：一般地，函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时 变化率 是 lim y = li

6、m f(x0+x)-f(x0) ， 我们称它 为 x0 x x0 x dents to have limit thinking. Key words limit thought;definition of limit;derivative 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数，记作 f (x0)或 yx=x 即 f (x0)= lim y = lim f(x0+x)-f(x0) x0 x x0 x 。 1 高中导数概念教学分析 1.1 昙花一现的高中导数极限定义 高中开设微积分课 程具有多方面价值需要 ,其中导数是 微积分的核心概念，而高 等 数 学中微积分的许多概念都是 依托于极限定义的

7、 ， 其中导数定义是 ： 函数 y=f(x)在 x 的某邻 域 U(x,)中有定义 ， 自变量在 点 x 处获得一个 增 量 x， 相 应 的 ，函数 y 获得增量 y=f(x+x)-f(x)。 考虑极限式子 lim y ， x0 x 如果该极限存 在 ， 我们就称该极限为函 数 y=f(x)在 x 处 的 导 数 ， 记 作 f (x)或 dy 。 在将微积分内 容“下 放 ”到 高中 数学 之 dx 初，函数的导数就是像这样进行定义，没有具体的问题，高 中生很难知道求导数到底是在干什么 。 因此，高中数学课程 标准对导数概念的处理发生了较大的变化 。 1.2 课程标准中的导数概念 全日制普

8、通高 中数学课程标准中导数概念的内容与要 求是 ：“通过对大量实例的分 析 ，经历由平均变化率过渡到 相比而言 ， 人教 版教材中仍然采用极限概念定义导数， 与高等数学中导数定义相似 ， 不 符合高中生的认知水平 。 苏 教版教材 用“无限趋近 于 ”定 义导数 ， 虽避免了极限概念 ， 难 免导数的抽象深 奥 。 如 何帮 助 学生正确理解导数概念成为 一个值得探讨的问题 ， 对此 我们不能拘泥于导数概念 ， 而 应 更多地关注导数概念的实际意义 。 1.4 高中导数概念的实际意义 法国数学家费马为研究极值问题最早地引入了导数的 概念，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题 :已知运 动规律

9、求速度和已知曲线求它的切线 。 高中导数教学中主 要是对这两个问题进行讨论，避免导数极限定义的抽象性， 有助于学生理解导数概念的实际意义如下： （ 1）物理学中，位移和时间关系为表示为函数 S=S(t)，其 中 S 表示位移， t 表示时间，则 s 表示一段时内的平均速 t 度 。 当 t0 时，导数 S(t)对应着 t 时刻物体的瞬时速度 v(t)。 类似的，导数 V(t)对应着 t 时刻物体的瞬时加速度 a(t)。 作者简介：孙旋（ 1990 ），女，南京师范大学教师教育学院在读硕士研究生，研究方向为学科教学（数学）。 104 总第 319 期 2015 年 7 月（上） The Scie

10、nce Education Article Collects Total.319 July 2015（ A） （ 2）几何中， y=f(x)函数图像上有定点 M(x, f(x)及动点 N (x+x, f(x+x)，则 y 表示 MN 所在直线的斜率，当动点 N x 沿函数图像曲线不断接近 M 时， MN 所在直线就越来越接 近点 M 处的切线，即 x0，则导数 f (x)对应着点 M(x,f(x)处 切线的斜率 。 进一步分析导 数的物理意义和几何意义：导数属于高 中选修内容，此时学生已 经在 高 一年级阶段学习了瞬时速 度 、 平均速度和加速度等物理 知识 ， 结合瞬时速度引入导数 概念可以

11、帮助学生正确理解导数的内涵 。 除此 ， 学生在高二 年级阶段学习了直线的 斜率等解析几何知识，让学生感受 变化率和斜率的内在联 系 ， 实现导数从数到形的转换 。 虽然 高中导数概念摆脱不了 用抽象性语言描述，但是结合具体 问题不难发现其教学价 值，导数的丰富内涵和蕴含的重要 思想决定了将 其“下放 ”到高中数学中的重要性和必 要 性 。 然而，对于高 中导数概念教学要不要引入极限这个问 题我们很难盖棺定论，从 教材 对 导数概念的处理上就能看 出此问题的答案分歧很大 。 在我们尝试回答这个问题之前， 先来考虑一下问题中的极限到底是抽象深奥的极限定义还 是应用广泛的极限思想呢？ 2 不可相提

12、并论 的“两个极限 ” 2.1 应用广泛的极限思想 极限思想历史悠久 ， 应用广泛 。 古希腊阿基米德运用极 限思想对一系列命题一 步一步推导，第一次给出了球和球 冠的表面积 ， 球和球缺的 体 积的正确公式 。 我国古代数学家 刘徽在求圆的周长时使用 的“割圆求 周 ”的方法也运用了极 限思 想 。 极限思想在现代 数 学和其他学科中都有广泛的应 用 ， 在极限思想的指导下 ， 可以运用导 数去刻画切线 斜率 、 变速运动的瞬时速度和 加速度等概念，还有化学中不定量 问 题 （ 配置硝酸 等 ） ， 用常 规 方 法难以解决 ， 但采用极限思想 便可迎刃而解 。 除此 ， 极限思想在现实生活

13、中的运用 日 益广 泛 ， 诸如人造卫 星 、 自动控制这些现 实问题 ， 为极限思想 提 供了丰富的背景 。 虽然早在古希腊时 期 ， 极限思想已经有了萌芽 ， 但是极 限理论的完善到 19 世纪末才最 终 完成 。 即使有了完备的极 限定义 ， 还是经常 用“无限接 近 ”“想要多小 就有多 小 ”之 类 模糊的话语来描述极限 ， 而不 是 用抽象严谨的数学语言 。 2.2 抽象深奥的极限定义 极限可分为数 列极限和函数极 限 。 数列极限的标准定 义是 ： 对数列 an， 若存在常 数 ， 对于 任 意 0， 总存在正 整 数 N， 使得当 nN 时， an- 0，总存在正整数 X，使得

14、 当 xX 时 ， f(x)-A b C、 ab2 人民教育出版社 ,2003. 4 宋宝和 ,郭兆明 ,房 元霞 .变化 率 思想 :高中开设微积分课 程 的价值 J.课 程 教 材 教法 ,2006(9):44-47. 5 王佩 .导数的现实应用内涵 理 解与教学策略 J.科技世界 ,2014 (17):147-148. 6 俞 求是 .高中新课标函数与 微 积分有关内容的处理研 究 J.课程 教 材 教法 ,2010(9):59-62. 7 王忠 .微积分学教学中的极限思想 J.内蒙古科技与经济 ,2001(2): 107-109. 编辑 孙芳芳 （上接第 93 页） 完成 ， 比第一次

15、要耗时短 ， 准确率高 。 教师迁移知识 ： 银行存 款余额调节表最终相等 的余额表示企业银行存款的实有数 额 ， 那么编制 的“银行存 款 余额调节 表 ”能作为原始凭证成 为编制记账凭证的依据吗 ？ 学生们自主思考 、 讨论 。 最 后 得 出结论 ：“银行存款余额调 节 表 ”不能作为编制记账凭证的 依据 。 因为它不是原始凭证 ， 必 须要等真实的原始凭证到达 之后才能进行会计处理 。 3.7 做好课后训练，及时反馈评价 课后教师 布置适量的作业进一步巩固学生所学知识， 使学生将所学知识真正内 化， 继 续训练学生的动手能力和 实操能力 。 对于学生的课堂表现和课后作业 ， 教师要做出

16、及 时 、 有效的评价 ， 关注学生进步 和退步情况 ， 以鼓励为主 ， 将 鼓励重点放在教学目 标的 达 成和学生动手能力的增强方 面 ， 促进学生的积极 、 全面发展 。 4“主体活动探究式 ”课堂教学 总 结与思考 本次课堂教学完整有序，课堂气氛活跃 、 热烈，学生们 非常积极主动，乐于探究，乐于学习，动手能力也得到增强， 真正体会到了学习的 乐 趣 。 教师也从讲授式课堂中解放出 来 ，看到了学生们的潜力 ， 体 会到了 成就感 ， 并将积极努 力 实践下去 。 因 此“主体活动探究式 ”教学模式运用 于“企业财 务会 计 ”的课堂教学 ， 是合适 的 、 有效 的 。 它以学生为主体

17、， 以活动为主线 ， 以教师为主 导 ， 以 发展为主 旨 。 通过教师 对 教学活动进行组 织 、 引导 ； 学生自 主探 究 、 思考 、 讨论 、 设疑 、 验证 ， 最 后得出结论 ， 解决问题 。 学生在主动探究的过程中， 情感得到激发 ， 智力得到开发 ， 思 维得到训练 ， 能力得到 培 养 ， 潜能得到挖掘 ， 从而提高 学 习效 率 ， 在学习活动中发展 自我 ， 成为真正适应社会发展需要的会计专业人 才 。 参考文献 1 任长松 .探究式学 习 学 生 知识的自主构建 M.北京 :教 育 科学 出版社 ,2005. 2 陆振萍 .企业财务会计 M.上海 :立信会计出版社 ,2009. 3 胡 蓉 “. 主体活动探究 式 ”模拟 电 子技术课堂教学模式研 究 D.金 华 :浙江师范大学 ,2006(12). 编辑 孙芳芳 106