全等三角形的专栏.doc

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1、|全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接；（2）作平行线：过点作；（3）作垂线（作高）：过点作，垂足为；（4）作中线：取中点，连接；（5）延长并截取线段：延长使等于；（6）截取等长线段：在上截取，使等于；（7）作角平分线：作平分；作角等于已知角；（8）作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用（1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形（2）截长补短法：

2、若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段（3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维 模式是三角形全等变换中的“对折” 。可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全

3、等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。（4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。(5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为 60或 120的，把该角添线后构成等边三角形。|1、倍长中线1、已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，比较 BE+CF 与 EF 的大小.二、截长补短3、如图，ADBC，EA,E

4、B 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC。 4： 如图，ABC 中，C2B，12。求证：ABAC CD|5、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分 ，求证： ABC018CA3、角平分线造全等6、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分 ，求证： ABC018CA四、 “K”字图、弦图、三垂图由ABEBCD 导出 BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD五、旋转（一） 、含半角绕顶点旋转如图，四边形 ABCD 是正方形，方法：延长其中一个补角的线段（延长 CD 到 E，使 ED=BM ， 连 AE 或延长

5、 CB 到 F，使 FB=DN ， 连 AF ） 结论： MN=BM+DN AM、 AN 分别平分 BMN 和 DNM翻折：思路:分别将 ABM 和 ADN 以 AM 和 AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、 P、 N 三点共线.（ B+D =180且 AB=AD）|（二） 、等腰三角形绕顶点旋转 ABE 和 ACF 均为等边三角形 结论：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60（“八字型”模型证明） ；（3）OA 平分EOF拓展：条件： ABC 和 CDE 均为等边三角形 结论：（1） 、 AD=BE （2） 、 ACB=AOB （3） 、 PCQ 为等边三角形 （4） 、 PQAE

6、 （5） 、 AP=BQ （6） 、 CO 平分 AOE （7） 、 OA=OB+OC（8） 、 OE=OC+OD （7） ， （8）需构造等边三角形证明）条件： ABD 和 ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1） 、 BE=CD （2） BE CD 条件： ABEF 和 ACHD 均为正方形结论：（1） 、 BD CF （2） 、 BD=CF|变形一： ABEF 和 ACHD 均为正方形， AS BC 交 FD 于 T，求证：T 为 FD 的中点. .ADFBCS方法一： 方法二： 方法三：变形二： ABEF 和 ACHD 均为正方形，M 为 FD 的中点，求证： ANBC练习巩固1、如图

7、在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC2、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.|3、已知：如图， ABC是等边三角形， 120BDC， 求证： ADBC.4、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD5、 已 知 ： 正 方 形 ABCD 中 ， MAN=45， MAN 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 ， 它 的 两 边 分 别 交CB、 DC（ 或 它 们 的 延 长 线 ） 于 点 M、 N（ 1） 当 MAN 绕 点 A 旋 转 到 BM=DN 时 （ 如 图 1） ， 易 证 BM+DN=MN（ 2） 当 MAN 绕 点 A 旋 转 到 BM DN 时 （ 如 图 2） ， 线 段 BM、 DN 和 MN 之 间 有 怎 样 的 数 量 关系 ？ 写 出 猜 想 ， 并 加 以 证 明 ；（ 3） 当 MAN 绕 点 A 旋 转 到 如 图 3的 位 置 时 ， 线 段 BM、 DN 和 MN 之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？请 直 接 写 出 你 的 猜 想