2011年“迎春杯”数学解题能力奥数复赛试卷（小高组）.pdf

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1、12011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题（每题 8 分,共 40 分）1（8 分）定义一种新运算 ab 满足：abb10+a2,那么 2011130 2（8 分）从 1999 年到 2010 年的 12 年中,物价涨幅为 150%（即 1999 年用 100 元能购买的物品,2010 年要比原来多花 150 元才能购买）若某个企业的一线员工这 12 年来工资都没有变,按购买力计算,相当于工资下降了%3（8 分）如图中大圆的半径是 20 厘米,7 个小圆的半径都是 10 厘米那么阴影图形的面积是 平方厘米（取 3.14）4（8 分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动

2、初试共有 12000 名学生参加,分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的,不是小学高年级组的占总人数的那么小学中年级组参赛人数为 人5（8 分）如图是一个除法竖式,这个除法竖式的被除数是多少?二、填空题（每题 10 分,共 50 分）26（10 分）算式 1!32!4+3!54!6+2009!20112010!2012+2011!的计算结果是 7（10 分）春节临近从 2011 年 1 月 17 日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年,与家人团聚若每天离厂的工人人数相同,到 1 月 31 日,厂里还剩下工人 121 名,在这 15天期间,统计工厂工人的工作量是 20

3、11 个工作日（一人工作一天为 1 个工作日,工人离厂当天及以后不需要统计）,其中周六、日休息,且无人缺勤,那么截止到 1 月 31 日,回家过年的工人共有 人8（10 分）有一个整数,它恰好是它的约数个数的 2011 倍,这个整数的最小值是 9（10 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示,现已有赵、钱、孙、李、周五家入住,一天他们 5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第 3 个入住的,第 1 个入住的就住我对门”钱说：“只有我一家住在最高层”孙说：“我家入住时,我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了”李说：“我家是五家中最后一个入住的,我家楼下那一层全空着

4、”周说：“我家住在 106 号,104 号空着,108 号也空着”他们说的话全是真话,设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E,那么五位数 10（10 分）6 支足球队,每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了 2 场,那么符合条件的3比赛安排共有 种三、填空题（每题 12 分,共 60 分）11（12 分）09 可以组成两个五位数 A 和 B,如果 A+B 的和是一个末五位数字相同的六位数,那么 AB 的不同取值共有 个12（12 分）甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发,在 A、B 往返行走;甲出发的同时,丙也从A 出发去 B当甲乙两人第一次迎面相遇在 C 地时

5、,丙还有 100 米才到 C;当丙走到 C 时,甲又往前走了 108 米;当丙到 B 时,甲乙正好第二次迎面相遇那么 A、B 两地间的路程是多少米?13（12 分）如图,大正方形被分成了面积相等的五块若 AB 长为 3.6 厘米,则大正方形的面积为 平方厘米14（12 分）用 36 个 321 的实心小长方体拼成一个 666 的大正方体,在各种拼法中,从大正方体外的某一点看过去最多能看到 个小长方体15（12 分）平面中有 15 个红点,在这些红点间连一些线段,一个红点连出了几条线段,就在这个红点上标几已知所有标有相同数的红点之间互不连线,那么这 15 个红点间最多连了 条线段42011 年“

6、迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题（每题 8 分,共 40 分）1（8 分）定义一种新运算 ab 满足：abb10+a2,那么 20111305322【解答】解：根据分析可得,201113013010+201121300+40225322;故答案为：53222（8 分）从 1999 年到 2010 年的 12 年中,物价涨幅为 150%（即 1999 年用 100 元能购买的物品,2010 年要比原来多花 150 元才能购买）若某个企业的一线员工这 12 年来工资都没有变,按购买力计算,相当于工资下降了60%【解答】解：100+100150%100+1502

7、50（元）11002505140%60%答：按购买力计算,相当于工资下降了 60%故答案为：603（8 分）如图中大圆的半径是 20 厘米,7 个小圆的半径都是 10 厘米那么阴影图形的面积是942平方厘米（取 3.14）【解答】解：观察图象可知阴影部分的面积7 个小圆面积一个大圆面积7102202300942,故答案为：9424（8 分）某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有 12000 名学生参加,分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的,不是小学高年级组的占总人数的那么小学中年级组参赛人数为5250人【解答】解：1,6,120005250（人）;答：小学中

8、年级组参赛人数为 5250 人故答案为：52505（8 分）如图是一个除法竖式,这个除法竖式的被除数是多少?【解答】解：由题意,除数的两个倍数分别是 2和 91,如果 2是除数的 2 倍,根据余数为 130,除数为 131 以上,149 以下,这样 91只能是除数的 7 倍,1317917,那么第三个被除数为 91或 81,它等于除数的某个倍数减 1,只能是 7 倍减 1,即 916,被除数等于 131277136286,经检验符合题意;如果 2是除数的 1 倍,则 91是除数的 4 倍,可能是 912 或 916,除数可能是 228 或229,第三个被除数为 91或 81,除以除数之后余数为

9、 130,可能是 2283+130814或 2293+130817,被除数相应为 228143+13032734 或 229143+13032877,但无论哪种,第一个差都是两位数,所以不符合题意综上所述,被除数等于 36286,除数为 131,商为 276二、填空题（每题 10 分,共 50 分）6（10 分）算式 1!32!4+3!54!6+2009!20112010!2012+2011!的计算结果是17【解答】解：分组找规律：2009!20112010!2012+2011!2009!（201120102012+20102011）2009!那么 2007!20092008!2010+200

10、9!2007!（200920082010+20082009）2007!由奇数项向前裂变抵消规律得原式2009!20112010!2012+2011!+5!74!6+3!52!4+1!31!1故答案为：17（10 分）春节临近从 2011 年 1 月 17 日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年,与家人团聚若每天离厂的工人人数相同,到 1 月 31 日,厂里还剩下工人 121 名,在这 15天期间,统计工厂工人的工作量是 2011 个工作日（一人工作一天为 1 个工作日,工人离厂当天及以后不需要统计）,其中周六、日休息,且无人缺勤,那么截止到 1 月 31 日,回家过年的工人共有120人【解答】

11、解：依题意可知：设每天回家的人数为 x 人,则 15 天共走 15x 人,其中有 2 个周六周日共 4 天休息不工作周末剩余人数为 9x（周六）,8x（周日）,82x（周六）,x（周日）12111+（3+4+5+6+7+10+11+12+13+14）x2011x8,15x120（人）故答案为：1208（10 分）有一个整数,它恰好是它的约数个数的 2011 倍,这个整数的最小值是16088【解答】解：用列举法因为 2011816088,所以,满足条件的最小整数为 16088,故答案为 160889（10 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示,现已有赵、钱、孙

12、、李、周五家入住,一天他们 5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第 3 个入住的,第 1 个入住的就住我对门”钱说：“只有我一家住在最高层”孙说：“我家入住时,我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了”李说：“我家是五家中最后一个入住的,我家楼下那一层全空着”周说：“我家住在 106 号,104 号空着,108 号也空着”9 他们说的话全是真话,设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E,那么五位数69573【解答】解：根据分析,因为 104 和 108 都空着,而孙的楼上楼下都有人了,所以孙住在左侧,只有钱一家住在最高层,说明剩余 4 人住在 101,102,103

13、,105,106,107,里面的 6 家,全空着的一层只能是第一层或第二层,这样才能使得孙和楼上楼下都有人如果全空着的是第一层,则李住在第二层的 103,李氏最后入住的,所以孙住在 107,且 105 和 109 都在这之前有人住了,赵是第三个入住的,所以孙一定是第四个入住的,根据钱的话,钱住在 109,有对门的是 105 和 106,周住在 106,所以赵住在 105,而且周的第一个入住的,故答案是：6957310（10 分）6 支足球队,每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了 2 场,那么符合条件的比赛安排共有70种【解答】解：6 支球队分 2 组每组 3 支,这 3 支球队间相互比赛：分

14、组方法：（654）（321）210（选 3 支球队和剩 3 支球队重复,所以除 2）;6 支球队围成圈,相邻的球队之间比赛：方法：54321260（顺时针与逆时针重复,所以除 2）,所以符合条件的比赛安排共有 10+6070 种10答：符合条件的比赛安排共有 70 种故答案为：70三、填空题（每题 12 分,共 60 分）11（12 分）09 可以组成两个五位数 A 和 B,如果 A+B 的和是一个末五位数字相同的六位数,那么 AB 的不同取值共有384个【解答】解：依题意可知：六位数字的首位一定是 1,根据弃九法后 5 位都是 7所以这两个五位数的首位之和是17后四个数字和为 7 的数字两两

15、配对把和为 7 的数字两两配对,首位是 9 的那个五位数有 8642384（种）根据不同情况下两个五位数的差不同,差小积大,这 384 个乘积也各不相同故答案为：38412（12 分）甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发,在 A、B 往返行走;甲出发的同时,丙也从A 出发去 B当甲乙两人第一次迎面相遇在 C 地时,丙还有 100 米才到 C;当丙走到 C 时,甲又往前走了 108 米;当丙到 B 时,甲乙正好第二次迎面相遇那么 A、B 两地间的路程是多少米?【解答】解：甲从 A 走到 C 时,丙走了 1001250（米）,AC 的距离为 12501350（米）,甲乙速度之和是丙的速度的 3 倍

16、,则乙的速度是丙的（3）倍,BC 的距离为 1250（3）2400（米）,11所以 AB 的距离为 1350+24003750（米）答：A、B 两地间的路程是 3750 米13（12 分）如图,大正方形被分成了面积相等的五块若 AB 长为 3.6 厘米,则大正方形的面积为1156平方厘米【解答】解：根据分析,设正方形边长为一个单位,如图,因为正方形分成面积相等的五份,故每一份的面积都等于,故 AG,D 到 FH 的距离C 到 EF 的距离,因为 A 到左边 EG 的距离等于 A 到上边 EF 的距离的,所以 C 到 EG 的距离也等于 C 到 EF的距离的,即;C 到 FH 的距离为 1,类似

17、,D 到右边 FH 的距离为,因为 C 到 EF 的距离：C 到右边 FH 的距离10：21,故 D 到 EF 的距离也等于 D 到 FH 的距离的,即：,故 D 到 GH 的距离1;又三角形 BDH 的面积,故 BH,AB1,即 3.6 厘米,故12正方形的边长3.634（厘米）,正方形的面积34341156 平方厘米故答案是：115614（12 分）用 36 个 321 的实心小长方体拼成一个 666 的大正方体,在各种拼法中,从大正方体外的某一点看过去最多能看到31个小长方体【解答】解：如图,为了从外面看到的个数最多,需要使外面看到的长方形尽可能“深入”正方形里面,结果如下：共 63+34+31+131（个）故答案为：3115（12 分）平面中有 15 个红点,在这些红点间连一些线段,一个红点连出了几条线段,就在这个红点上标几已知所有标有相同数的红点之间互不连线,那么这 15 个红点间最多连了85条线段【解答】解：将 15 个点分为 5 组,每组分别有 1,2,3,4,5 个点,（114+213+312+411+510）217021385（条）答：这 15 个红点间最多连了 85 条线段故答案为：85