2011年“迎春杯”数学解题能力奥数复赛试卷（小中组）.pdf

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1、12011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）一、填空题（每题 8 分,共 32 分）1（8 分）计算：2011（91111+9911911）2（8 分）如图,5 个相同的小长方形拼成一个大正方形,已知大正方形的周长比一个小长方形的周长多 10 厘米,那么小长方形的周长是 厘米3（8 分）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗已知奥特曼有一个头、两条腿,开始时每只小怪兽有两个头、五条腿,在战斗过程中有一部分小怪兽分身了,一个小怪兽分成了两只,分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身）,某个时刻战场上有 21 个头,73 条腿,那么这时共有 只小怪兽4（8 分）在一个 44 的方格纸内

2、按下面的要求放入糖块：（1）每个格内都要放入糖块;（2）相邻的格子中,左边格比右边格少放 1 块,上面格比下面格少放 2 块,（3）右下角的格子里放了 20 块糖,那么方格纸上共放了 块糖（相邻的格子是指有公共边的格）二、填空题（每题 10 分,共 40 分）25（10 分）乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是 7 厘米的大正方形盒子的底层如果小正方形的边长都是 2 厘米,等腰直角三角形的斜边长都是 3 厘米,那么两种图形他最多可以各放进 个6（10 分）如图,四个三边长度分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的直角三角形拼成一个大方形从中去掉一些线段,使得改动后的图形可以一笔画

3、出,那么去掉的线段长度之和最小是 厘米7（10 分）有 37 个人排成一行一次报数,第一个人报 1,以后每人报的数都是把前一人报的数加 3,报数过程中有一个人报错了,把前一个人报的数减 3 报了出来,最后这 37 个人报的数加起来恰好等于 2011,那么是第 个人报数的人报错了8（10 分）麦斯将 9 个不同的自然数填入图中的九个空格内,使每行、每列、每条对角线上 3 个数的和都相等已知 A 和 B 的差为 14,B 和 C 的差也为 14,那么 D 和 E 的差是 三、填空题（每题 12 分,共 48 分）9（12 分）如图,有一个 48 的棋盘,现将一枚棋子放在棋盘左下角格子 A 处,要求

4、每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从 C 走一步可走到 D 或 E）,那么将棋子从 A 走到棋盘右上角 B 处共有 种不同的走法310（12 分）大小箱子共 62 个,小箱子 5 个一吨,大箱子 3 个一吨现要用一辆卡车运走这些箱子如果先装大箱子,大箱子装完后恰好还可以装 15 个小箱子如果先装小箱子,小箱子装完后恰好还可装 15 个大箱子那么这些箱子中,大箱子有 个11（12 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示,现已有赵、钱、孙、李、周五家入住,一天他们 5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第 3 个入住的,第 1 个入住的就住我对门”钱说：“只有我一家

5、住在最高层”孙说：“我家入住时,我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了”李说：“我家是五家中最后一个入住的,我家楼下那一层全空着”周说：“我家住在 106 号,104 号空着,108 号也空着”他们说的话全是真话,设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E,那么五位数 12（12 分）在如图的每个圆圈中,各填入一个不为 0 的数字,使得所有有线段连接的相邻两个圆圈内数的差至少为 2,而且每个数字都恰好出现两次那么 AB 的值是 42011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每题 8 分,共 32 分）1（8 分）计算：20

6、11（91111+9911911）130【解答】解：2011（91111+9911911）2011911（11+91）201191119201199192011（1001）1920111900+19111+19130;故答案为：1302（8 分）如图,5 个相同的小长方形拼成一个大正方形,已知大正方形的周长比一个小长方形的周长多 10 厘米,那么小长方形的周长是15厘米5【解答】解：依题意可知：大正方形的周长比小正方形的周长多 8 个小正方形的宽所以小长方形的宽等于1081.25（厘米）大正方形的边长为 1.2556.25（厘米）所以小长方形的周长为（6.25+1.25）215（厘米）故答案为

7、：153（8 分）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗已知奥特曼有一个头、两条腿,开始时每只小怪兽有两个头、五条腿,在战斗过程中有一部分小怪兽分身了,一个小怪兽分成了两只,分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身）,某个时刻战场上有 21 个头,73 条腿,那么这时共有13只小怪兽【解答】解：去掉奥特曼还有 20 个头 71 条腿假设全是没有分身的怪兽,那么 20 个头对应的 10 个小怪兽有 50 条腿那么少了 715021 条腿每分身一次增加 2657（条）,2173（只）一共有 10+313（只）故答案为：134（8 分）在一个 44 的方格纸内按下面的要求放入糖块：（1）每个格内都要放

8、入糖块;6（2）相邻的格子中,左边格比右边格少放 1 块,上面格比下面格少放 2 块,（3）右下角的格子里放了 20 块糖,那么方格纸上共放了248块糖（相邻的格子是指有公共边的格）【解答】解：由题意可知,方格内的糖块数量如图所示,发现中心对称的一对格子里面一共有 31 块糖,共有248 块糖或 11+12+13+14+13+14+15+16+15+16+17+18+17+18+19+20248故答案为 248二、填空题（每题 10 分,共 40 分）5（10 分）乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是 7 厘米的大正方形盒子的底层如果小正方形的边长都是 2 厘米,等腰直角三角形

9、的斜边长都是 3 厘米,那么两种图形他最多可以各放进7个【解答】解：“各放进”应该是两种放的个数相等,7因为每一个小正方形和一个三角形面积之和为 22+3346.25,大正方形的面积 7749,而 496.257.84,所以最多各放进 7 个,下面图形说明可以做,6（10 分）如图,四个三边长度分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的直角三角形拼成一个大方形从中去掉一些线段,使得改动后的图形可以一笔画出,那么去掉的线段长度之和最小是7厘米【解答】解：依题意可知：图中有 8 个奇点,需要去掉三条边剩余 2 个奇点,无论去掉两条长度为 3 的和长度为 1 的,还是去掉长度为 5 的和两条长度为 1

10、的总和都是 7故答案为：77（10 分）有 37 个人排成一行一次报数,第一个人报 1,以后每人报的数都是把前一人报的数加 3,报数过程中有一个人报错了,把前一个人报的数减 3 报了出来,最后这 37 个人报的数加起来恰好等于 2011,那么是第34个人报数的人报错了8【解答】解：这 37 个人报的数是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,第 37 个数为 1+（371）3109,这 37 个数的和为（1+109）3722035,2035201124,由于报错人把数据少了 6,2464也就是第 37、36、35、34 人报错了,即第 34 个人报数的人报错了故答案为：348（10 分）麦斯将

11、9 个不同的自然数填入图中的九个空格内,使每行、每列、每条对角线上 3 个数的和都相等已知 A 和 B 的差为 14,B 和 C 的差也为 14,那么 D 和 E 的差是49【解答】解：令 A28,B14,C0,28+1404228+42145628+4207056+4298928+1442984256（7056）2142770763如图所示：56749答：D 和 E 的差是 49故答案为：49三、填空题（每题 12 分,共 48 分）9（12 分）如图,有一个 48 的棋盘,现将一枚棋子放在棋盘左下角格子 A 处,要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从 C 走一步可走到 D 或 E）,那

12、么将棋子从 A 走到棋盘右上角 B 处共有8种不同的走法10【解答】解：如图所示,跳到点 C 只有 1 种跳法,跳到点 D 只有 ACD 这 1 种跳法,跳到点 E 只有 ACE 这 1 种跳法,跳到点 F 有 ACDF、ACEF 这 2 种跳法,跳到点 G 只有 ACDG 这 1 种跳法,跳到点 H 有 ACDGH、ACDFH、ACEFH 这 3 种跳法,所以跳到点 I 有 2 种跳法、跳到点 J 有 2+35 种跳法、跳到点 K 有 3 种跳法、跳到点 L 有 3+58 种跳法、跳到点 M 有 5 种跳法、跳到点 N 有 8+513 种跳法、跳到点 B 有 8 种跳法,故答案为：810（1

13、2 分）大小箱子共 62 个,小箱子 5 个一吨,大箱子 3 个一吨现要用一辆卡车运走这些箱子如果先装大箱子,大箱子装完后恰好还可以装 15 个小箱子如果先装小箱子,小箱子装完后恰好还可装 15 个大箱子那么这些箱子中,大箱子有27个【解答】解：设大箱子有 x 个,则小箱子有 62x 个,11所以大箱子的重量是吨,小箱子的重量是吨,所以+1551+1531 +5 +3+17.4 +3+17.4 +317.4 +3317.43 14.4 14.4 x27答：大箱子有 27 个故答案为：2711（12 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示,现已有赵、钱、孙、李、

14、周五家入住,一天他们 5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第 3 个入住的,第 1 个入住的就住我对门”钱说：“只有我一家住在最高层”孙说：“我家入住时,我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了”12 李说：“我家是五家中最后一个入住的,我家楼下那一层全空着”周说：“我家住在 106 号,104 号空着,108 号也空着”他们说的话全是真话,设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E,那么五位数69573【解答】解：根据分析,因为 104 和 108 都空着,而孙的楼上楼下都有人了,所以孙住在左侧,只有钱一家住在最高层,说明剩余 4 人住在 101,102,103,1

15、05,106,107,里面的 6 家,全空着的一层只能是第一层或第二层,这样才能使得孙和楼上楼下都有人如果全空着的是第一层,则李住在第二层的 103,李氏最后入住的,所以孙住在 107,且 105 和 109 都在这之前有人住了,赵是第三个入住的,所以孙一定是第四个入住的,根据钱的话,钱住在 109,有对门的是 105 和 106,周住在 106,所以赵住在 105,而且周的第一个入住的,故答案是：6957312（12 分）在如图的每个圆圈中,各填入一个不为 0 的数字,使得所有有线段连接的相邻两个圆圈内数的差至少为 2,而且每个数字都恰好出现两次那么 AB 的值是1813【解答】解：依题意可

16、知：设出字母表示：剩余的数字有 1 个 1,2,5还有 2 个 3,6,7,9 共 11 个数字根据 F 只能填写数字 1 或者 2,无论填写那个 E 只能写 6,进一步推出 A 和 F 只能是 1 和2现在 C 只能填写 9,D 只能填写 3由于题目中有唯一的解：现在 A 周围已经填写完了,但仍然无法确定 A 是 1 还是 2所以只能是 H 填写 3,限制了 F 只能填写 1,A 填写 2剩下的 5 个空格中,6 只能有一个相邻的 9所以填写在 I 或者 K,如果 6 填写在 I 则两个7 只能填写在 G 和 K 位置9 填写在 B,5 填写在 J;如果 6 填写 K,则两个 7 无法填写另解：如果 B 填写 5 或者 6 则 I 无数字和填写,如果 B 填写 7 则 6 无处填写,所以 B 只能是 9,然后两个 7 填不相邻的位置且不能填在 I,只能 G 和 K,从而 H 只能填写 3,F 填写1,A 填写 2所以 AB291814故答案为：18