2010年“迎春杯”数学解题能力奥数复赛试卷（小高组）.pdf

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1、12010 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题（共 15 小题,每小题 0 分,满分 0 分）12010+2.62614 2下表是人民币存款基准利率表小明现在有 10000 元人民币,如果他按照三年期整存整取的方式存款,三年后他连本带利一共能从银行拿到 元人民币整存整取时间三个月半年一年三年五年年利率（%）1.711.982.253.333.603如图所示,有大小不同的两个正方体,大正方体的棱长是小正方体棱长的 6 倍将大正方体的 6 个面都染上红色,将小正方体的 6 个面都染上黄色,再将两个正方体粘合在一起那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的 倍4有一块用于实验新

2、品种水稻的试验田形状如图,面积共 40 亩,一部分种植新品种,另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等）,以方便比较成果旧品种每亩产 500 千克;新的品种中有 75%都没有成功,每亩只产 400 千克,但是另外 25%试验成功,每亩产 800 千克那么,这块试验田共产水稻 千克5在每个方框中填入一个数字,使得乘法竖式成立已知乘积有两种不同的得数,那么这两2个得数的差是 6直角边长分别为 18 厘米,10 厘米的直角ABC 和直角边长分别为 14 厘米,4 厘米的直角ADE 如图摆放M 为 AE 的中点,则ACM 的面积为 平方厘米7黑板上一共写了 10040 个数字,包括 2006 个 1,2

3、007 个 2,2008 个 3,2009 个 4,2010 个 5,每次操作都擦去其中 4 个不同的数字并写上第 5 种数字（例如,擦去 1、2、3、4 各 1 个,写上 1 个 5;或者擦去 2、3、4、5 各 1 个,写上 1 个 1） 如果经过若干次有限的操作后,黑板上恰好有两个数字,则这两个数字的乘积是多少?8蜜蜂王国为了迎接 2010 年春节的到来,特地筑了一个蜂巢如下每个正六边形蜂窝中,有由蜂蜜凝结而成的数字 0、1 或 2春节到来之时,群蜂将在巢上跳起舞步,舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个 2 出发最后走完四步后又回到 2,如图中箭头所示为一个舞步）,且蜜蜂每

4、一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为 2010,共有 种方法39在反恐游戏中,一名“恐怖分子”隐藏在 10 个排成一行的窗户后面,一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子” “反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子” 每次射击完成后,如果“恐怖分子”没有被射中,他就会向右移动一个窗户一旦他到了最右边的窗户,就停止移动为了确保射中这名“恐怖分子”,“反恐精英”至少需要射击 次10如图所示,直线上并排放置着两个紧挨着的圆,它们的面积都等于 1680 平方厘米阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分如果要在阴影部

5、分内部放入一个尽可能大的圆,则这个圆的面积等于多少平方厘米?11用 19 这 9 个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方数,那么,其中四位完全平方数最小是 12现有一块 L 形的蛋糕如图所示,现在要求一刀把它切成三部分,因此只能按照如图的方式切,但不能斜着切或横着切要使得到的最小的那块面积尽可能大,那么最小的面积为 平方厘米413小李开车从甲地去乙地,出发后 2 小时,车在丙地出了故障,修车用了 40 分钟,修好后,速度只为正常速度的 75%,结果比计划时间晚 2 小时到乙地若车在行过丙地 72 千米的丁地才出故障,修车时间与修车后的速度分别还是 40 分钟

6、与正常速度的 75%,则比计划时间只晚了 1.5 小时那么,甲、乙两地全程 千米149000 名同学参加一次数学竞赛他们的考号分别是 1000,1001,1002,9999小明发现他的考号是 8210,而他的朋友小强的考号是 2180 他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不 样）差为 2010 的倍数,那么,这样的考号（由相同的数字组成并且差为 2010的倍数）共有 对15小华编了一个计算机程序程序运行后一分钟,电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡,接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡,数量与第一分钟出现的相同第 11 次出现肥皂泡后半分钟,有一个肥皂泡破裂以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂,且

7、数量比前一分钟多 1 个（即第 12 次出现肥皂泡后半分钟,有 2 个肥皂泡破裂） 到某一时刻,已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数,即此刻肥皂泡全部消失那么在程序运行的整个过程中,在电脑屏幕上最多同时有 个肥皂泡出现52010 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题（共 15 小题,每小题 0 分,满分 0 分）12010+2.626142058【解答】解：2010+2.626142010+67.619.62077.619.62058故答案为：20582下表是人民币存款基准利率表小明现在有 10000 元人民币,如果他按照三年期整存整

8、取的方式存款,三年后他连本带利一共能从银行拿到10999元人民币整存整取时间三个月半年一年三年五年年利率（%）1.711.982.253.333.60【解答】解：10000+100003.33%310000+99910999（元）6答：三年后他连本带利一共能从银行拿到 10999 元人民币故答案为：109993如图所示,有大小不同的两个正方体,大正方体的棱长是小正方体棱长的 6 倍将大正方体的 6 个面都染上红色,将小正方体的 6 个面都染上黄色,再将两个正方体粘合在一起那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的43倍【解答】解：假设小正方体棱长是 1,大正方体棱长就是 6,大正方体露在外面的

9、表面积是 6661215,小正方体露在外面的表面积是 5,所以有 215543 倍故答案为 434有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图,面积共 40 亩,一部分种植新品种,另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等）,以方便比较成果旧品种每亩产 500 千克;新的品种中有 75%都没有成功,每亩只产 400 千克,但是另外 25%试验成功,每亩产 800 千克那么,这块试验田共产水稻20000千克【解答】解：根据分析,设新品种有 X 亩,产量为 75%400X+25%800 千克,则旧品种有40X 亩,产量为（40X）500 千克,试验田共产水稻总量新品种产量+旧品种产量75%400X+25%

10、800+（40X）50020000（千克） 故答案是：2000075在每个方框中填入一个数字,使得乘法竖式成立已知乘积有两种不同的得数,那么这两个得数的差是1080【解答】解：依题意可知：首先根据乘积的四位数的结果的个位数字是 0 可知第一个乘数的个位可能是 5 或者 0第一个乘数的首位数字是大于 4 的数字所以第二个乘数的十位只能是 1 才能满足乘积的结果是三位数所以第一个乘数的十位数字是 1根据第一个四位数乘积的百位数字是 0,那么第一个乘数的首位数字只能是 5那么满足条件的有 5102161101605152161112401112401101601080（或者直接用个位数字差是 521

11、61080）故答案为：10806直角边长分别为 18 厘米,10 厘米的直角ABC 和直角边长分别为 14 厘米,4 厘米的直角8ADE 如图摆放M 为 AE 的中点,则ACM 的面积为53平方厘米【解答】解：SABC+SADE（1810+144）2（180+56）2118（平方厘米）根据DEFBCF 得：BF：DFBC：DE10：42.5BF+DF4,解得 DF,BF,AMME,S阴（SABC+SADE+SDEFSBCF）2（118+0.540.510）253 （平方厘米）故答案为 537黑板上一共写了 10040 个数字,包括 2006 个 1,2007 个 2,2008 个 3,2009

12、 个 4,2010 个 5,每次操作都擦去其中 4 个不同的数字并写上第 5 种数字（例如,擦去 1、2、3、4 各 1 个,9写上 1 个 5;或者擦去 2、3、4、5 各 1 个,写上 1 个 1） 如果经过若干次有限的操作后,黑板上恰好有两个数字,则这两个数字的乘积是多少?【解答】解：由于每一次操作后,每一种数字个数的奇偶性改变,原来有奇数个的变成了偶数个,原来有偶数个的变成了奇数个即无论如何操作,原来 2 个奇数个数的奇偶性相同,原来 3 个偶数个数的奇偶性也相同最后剩下 2 个数（1、1）,说明剩下的是原来数字个数奇偶性相同的数,那么只能是原来的 2 个奇数（2007、2009）,2

13、 和 4248,结果就是 88蜜蜂王国为了迎接 2010 年春节的到来,特地筑了一个蜂巢如下每个正六边形蜂窝中,有由蜂蜜凝结而成的数字 0、1 或 2春节到来之时,群蜂将在巢上跳起舞步,舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个 2 出发最后走完四步后又回到 2,如图中箭头所示为一个舞步）,且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为 2010,共有30种方法【解答】解：图中标 2 的六边形分两类,第一类如左图所示,第二类如右图所示10 从第一类六边形出发,每个六边形都只有 1 种走法,因此共有 6 种走法从第二类六边形出发,每个

14、六边形有 4 种不同的走法,其中两种是环形回路（细线表示）,两种是原路返回（粗线表示）,因此共有 4624 种走法 综上所述,共有 24+630 种不同的走法故答案为 309在反恐游戏中,一名“恐怖分子”隐藏在 10 个排成一行的窗户后面,一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子” “反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子” 每次射击完成后,如果“恐怖分子”没有被射中,他就会向右移动一个窗户一旦他到了最右边的窗户,就停止移动为了确保射中这名“恐怖分子”,“反恐精英”至少需要射击6次【解答】解：第一次射击 1 号窗口,恐怖分子不可能在 2 号窗口出现;第二次

15、射击 3 号窗口,恐怖分子不可能在 4 号窗口出现;第三次射击 5 号窗口,恐怖分子不可能在 6 号窗口出现;第四次射击 7 号窗口,恐怖分子不可能在 8 号窗口出现;第五次射击 9 号窗口,恐怖分子有可能早在 10 号窗口,所以还要射第 6 次根据上面的分析,至少要射 6 次10如图所示,直线上并排放置着两个紧挨着的圆,它们的面积都等于 1680 平方厘米阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆,则11这个圆的面积等于多少平方厘米?【解答】解：如图,A、B、C 分别是 3 个圆的圆心,设大圆的半径是 R 厘米,小圆的半径是 r 厘米,则 ACR+r（厘米）,

16、CDRr（厘米）;因为 AD2+CD2AC2,所以 R2+（Rr）2（R+r）2,整理,可得 R4r,所以 R216r2,所以 R216r2,所以 r2R216168016105（平方厘米）12答：这个圆的面积等于 105 平方厘米11用 19 这 9 个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方数,那么,其中四位完全平方数最小是1369【解答】解：32321024,含有 0,不合要求33331089,含有 0,不合要求34341156,含有两个 1,不合要求35351225,含有两个 2,不合要求36361296,剩下数字 3、4、5、7、8 没有哪两个数字可以

17、组成两位完全平方数,不合要求37371369,剩下数字 2、4、5、7、8,其中 2555,7842828 符合要求故填 136912现有一块 L 形的蛋糕如图所示,现在要求一刀把它切成三部分,因此只能按照如图的方式切,但不能斜着切或横着切要使得到的最小的那块面积尽可能大,那么最小的面积为80平方厘米【解答】解：如图,13因为在图中两个三角形相似,大三角形是小三角形对应边的 2 倍,2x（3010）2101010 x2解此方程得 x4,24（3020）81080（平方厘米）或（104+10）1021610280（平方厘米）故答案为：8013小李开车从甲地去乙地,出发后 2 小时,车在丙地出了故

18、障,修车用了 40 分钟,修好后,速度只为正常速度的 75%,结果比计划时间晚 2 小时到乙地若车在行过丙地 72 千米的丁地才出故障,修车时间与修车后的速度分别还是 40 分钟与正常速度的 75%,则比计划时间只晚了 1.5 小时那么,甲、乙两地全程288千米【解答】解：丙、丁两地以两个不同速度走,用时为 3：4,14这段路原用时 0.531.5 小时,车原速为 721.548 千米/小时,现速为 4836千米,丙到乙以不同速度走,用时比为：3：4,从丙到乙原计划用时：（2）334（小时）（4+2）48648288（千米）答：甲、乙两地全程 288 千米故答案为：288149000 名同学参

19、加一次数学竞赛他们的考号分别是 1000,1001,1002,9999小明发现他的考号是 8210,而他的朋友小强的考号是 2180 他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不 样）差为 2010 的倍数,那么,这样的考号（由相同的数字组成并且差为 2010的倍数）共有50对【解答】解：设与由相同的数字组成,且 2010|（）由于与的数字和相同,它们除以 9 的余数相同,即 9|（）,从而6030|（） 15考虑到 09000,于是6030,+6030从末位数字可知 dh,603若 c3,603,但（a6）+b+（c3）a+b+c9a+b+c,603,不成立若 c2,b0,603603,同上知这种

20、情况也不成立因此,b1603c+7 在这里可能等于 a 或者 b如果 ac+7,则bc+1,此时（a,b,c）可以等于（7,1,0） 、 （8,2,1）以及（9,3,2）;如果 bc+7,则ac+6,此时（a,b,c）可以等于（7,8,1）和（8,9,2） （a,b,c）确定之后,再考虑 d,d可以等于 0,1,2,9 中的任何一个数字这样,可以得到 50 个不同的 abcd,继而可得到相应的 efgh于是,一共有 50 对这样的考号,由相同的数字组成,并且差为 2010 的倍数故答案为 5015小华编了一个计算机程序程序运行后一分钟,电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡,接下来每到整数分钟的时刻都会

21、出现一些新的肥皂泡,数量与第一分钟出现的相同第 11 次出现肥皂泡后半分钟,有一个肥皂泡破裂以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂,且数量比前一分钟多 1 个（即第 12 次出现肥皂泡后半分钟,有 2 个肥皂泡破裂） 到某一时刻,已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数,即此刻肥皂泡全部消失那么在程序运行的整个过程中,在电脑屏幕上最多同时有1026个肥皂泡出现【解答】解：设每次出现的肥皂泡数是 k 个,第 m 次肥皂泡破裂之后,已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数,在此之前,已经出现了 m+10 次肥皂泡,依据已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡

22、的总数,可得：16（10+m）k化简得：2（10+m）km（m+1）,因为 m,k 都是正整数,所以得：所以 m+1015,18,30,45,90所以 m5,8,20,35,80,相应的,k1,2,7,14,36当破裂的肥皂破数量小于新出现的肥皂泡数量时,电脑屏幕上的肥皂泡总数增加,当破裂的肥皂泡数量大于新出现肥皂泡数量时,电脑屏幕上的肥皂泡总数在减少,只有当破裂的肥皂破数量等于新出现的肥皂泡数量时,电脑屏幕上的肥皂泡总数才最多于是,当破裂的肥皂泡为 k 个的前半分钟电脑屏幕同时出现的肥皂最多,此时电脑上显示的 （10+k）k,k 越大,显示的肥皂泡个数越多,当 k36 时,易验证满足条件,此时显示的肥皂泡个数是 1026 个故答案为：1026