2012年“迎春杯”数学解题能力奥数复赛试卷（小高组）.pdf

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1、12012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题1（8 分）2012的计算结果是 2（8 分）在如图的乘法竖式中,两个乘数的和是 3（8 分）一袋大米,刘备单独吃 5 天吃完,关羽单独吃 3 天吃完;一袋小麦,关羽单独吃 5天吃完,张飞单独吃 4 天吃完刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少%4（8 分）有 2012 个小矮人,他们不是好人,就是坏人,每天他们都要参加一次聚会,每次聚会人数是 3 或 5每次参与聚会的小矮人中,若好人占多数,则参加聚会的人全变成好人;若坏人占多数,则参加聚会的人全变成坏人,如果第三天聚会完毕后,全部 2012 人全变成了好人那么第一天聚会前好人的人

2、数的最小值是 5（8 分）三个半圆、两个圆如图摆放,两个小半圆和两个小圆的半径都是 10 厘米,大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 平方厘米二、填空题6（10 分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成,它是一个立体图形2的平面展开图,那么这个立体图形有 条棱7（10 分）8（10 分）有一个五位数,它分别除以 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13 这 12 个自然数的余数互不相同,这个五位数是 9（10 分）早上 8：10,菲菲从家步行去上学3 分钟后,狗狗出发跑去追她,在离家 200 米的地方追上了她;追上后立刻往家跑去,到家后又立刻回头去追菲菲,在离家

3、400 米的地方再次追上了她追上后又立刻往家跑,到家后又去追菲菲,刚好在学校追上菲菲到校时间是 8 点 分10（10 分）如图所示,广场中央有一座漂亮的喷泉,小明从 A 点出发,沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周,最终回到 A 点的走法共有 种（图中的两个喷泉圆及两圆之间的线段均表示小路,绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）三、填空题11（12 分）有 16 张卡片,黑白各 8 张,分别写有数字 18,把它们像扑克牌那样洗过后,如图那样排成四行,排列规则如下,每行中左到右按从小到大的顺序排列,黑白卡片上的数字相同时,黑卡片放在左边,已知每行 4 张卡片上的 4 个数字之和都

4、相等,左下角是 2,右3上角是 7,请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 12（12 分）如图,在正方形环形道路的四个顶点各有编号为 1、2、3、4 的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为 A、B、C、D 的车站同时出发（A、B、C、D 互不相同）,沿顺时针方向驾车匀速行驶,且从 1、2、3、4 号车站出发的车的速度分别为 1、2、3、4,以后速度再不变化行驶完毕后,他们有如下的话：甲说：“我第一次追上乙时恰在车站”乙说：“我第一次追上丙时恰在车站”丙说：“我第一次追上丁时恰在车站”丁说：“我第一次追上甲时恰在车站”已知其中有两人的话正确,两人说的话错误那么四位数 13（12

5、 分）如果正整数 N 的每一个倍数都满足、也都是 N 的倍数（其中a、b、c 都是 09 中的整数,并且约定 123 表示 123,028 表示 28,007 表示 7）,那么就称 N 为“完美约数”（例如 9 就是一个“完美约数”）这样的“完美约数”一共有 个414（12 分）如图,正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为 12,图中阴影部分的面积是 52012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题1（8 分）2012的计算结果是24【解答】解：20122012201220122012201224;故答案为：242（8 分）在如图的乘法竖式中,两个乘数的

6、和是7306【解答】解：依题意可知：由第二行与第三行倍数不同,第二个乘数的十位数字小于 2 并且不是 0 只能是 1继续推理出第一个乘数的十位数字也是 1再根据已知数字 2 是尾数那么第一个乘数的尾数可能是 1 或者 6 两种情况再根据结果中的尾数是 4,满足条件的有数字 14 或者 64 推理出第二个乘数的个位是4当第一个乘数的个位是 1 时,验证积的十位数字不是 2,那么只能是 6根据数字 0 确定第一个乘数的首位是 5即：516214110424,516+214730故答案为：7303（8 分）一袋大米,刘备单独吃 5 天吃完,关羽单独吃 3 天吃完;一袋小麦,关羽单独吃 5天吃完,张飞

7、单独吃 4 天吃完刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少52%【解答】解：把关羽每天的饭量为单位“1”,则刘备每天的饭量为：35张飞每天的饭量为：54（）752%答：刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 52%故答案为：524（8 分）有 2012 个小矮人,他们不是好人,就是坏人,每天他们都要参加一次聚会,每次聚会人数是 3 或 5每次参与聚会的小矮人中,若好人占多数,则参加聚会的人全变成好人;若坏人占多数,则参加聚会的人全变成坏人,如果第三天聚会完毕后,全部 2012 人全变成了好人那么第一天聚会前好人的人数的最小值是435【解答】解：逆推法：极端分析,若要使好人尽量少,则应在聚会时由坏人变成好人数

8、量最多若三人一组,最多变成好人的数量是,若 5 人一组,最多使的人变成好人;,所以尽量让 5 人一组20125400+34,所以最后一次共分为 400 个 5 人组,和 4 个 3 人组;每 5 个人中有 3 个人是好人,每 3 个人中共有 2 个人是好人;第二次聚会后最少有 4003+241208（人）;同理 12085241+31;第一次机会则最少有 2413+2725（人）,7251455;1453435（人）;故答案为：43585（8 分）三个半圆、两个圆如图摆放,两个小半圆和两个小圆的半径都是 10 厘米,大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大314平方厘米【解答】解：10+102

9、0（厘米）3.141022（3.1420223.14102）3.142003.14200+3.141003.14100314（平方厘米）答：大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 314 平方厘米故答案为：314二、填空题6（10 分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成,它是一个立体图形的平面展开图,那么这个立体图形有20条棱【解答】解：依题意可知：9首先根据图示发现 1 部分是一个底面有 5 条棱图 2 部分中有 5 条竖棱第三部分和第一部分相等共 5 条棱第四部分是图中含有 5 条倾斜的棱共 5+5+5+520故答案为：207（10 分）9【解答】解：分母（1）（1）+.

10、+（1）（1）+分子（1）（1）+（1）（1）+9（+）则,109;故答案为：98（10 分）有一个五位数,它分别除以 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13 这 12 个自然数的余数互不相同,这个五位数是83159【解答】解：依题意可知：这个五位数除以 1 余数是 0,除以 2 余数是 1,然后发现分别除以 3,4,5,6,7,8,9,10,11余数分别是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 才是满足条件的发现余数都是少 1 的,那么只有找到 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 的公倍数减去 1 就是符合条件的数字最小公倍为：123257231127720还需要满

11、足除以 13 余数是 11 或者 12 的满足条件的数字是 27720k1,尝试枚举出 k1,2,3,满足 5 位数的条件经枚举是 277203183159故答案为：831599（10 分）早上 8：10,菲菲从家步行去上学3 分钟后,狗狗出发跑去追她,在离家 200 米的地方追上了她;追上后立刻往家跑去,到家后又立刻回头去追菲菲,在离家 400 米的地方再次追上了她追上后又立刻往家跑,到家后又去追菲菲,刚好在学校追上菲菲到校时间是 8 点28分11【解答】解：依题意可知：从离家 200 米到 400 米情况如图所示,在相同的时间内菲菲走了 200 米,狗狗走了 600 米,V狗：V人S狗：S

12、人3：1;菲菲家里距离学校的路程是 4002800（米）在狗狗第一次追上菲菲的时候速度比是 3：1,路程一定时间和速度成反比时间比为 1：3,时间差为 3 分钟菲菲走 200 米的时间为：3（31）34.5 分钟全程是 800 米是 200 米的 4 倍,时间就是 4 倍 4.5418（分）,10+1828（分）故答案为：2810（10 分）如图所示,广场中央有一座漂亮的喷泉,小明从 A 点出发,沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周,最终回到 A 点的走法共有384种（图中的两个喷泉圆及两圆之间的线段均表示小路,绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）【解答】解：若只考虑顺时针

13、a1、a2两条线段,只能选择走 1 条,同理,b1、b2、c1、c2、h1、h2每两条线段只能选择走 1 条,同时,8 条线段选定后,回路的走法就唯一确定共 28256 种走法,12如果同时选择 a2、h2,则 A 点的线段 K 会走两次,不符要求,同时选择 a2、h2,的选法共 2664 种,顺时针共 2826192 种走法,对称思想,逆时针与顺时针方法数相同,总计 1922384 种走法故答案为：384三、填空题11（12 分）有 16 张卡片,黑白各 8 张,分别写有数字 18,把它们像扑克牌那样洗过后,如图那样排成四行,排列规则如下,每行中左到右按从小到大的顺序排列,黑白卡片上的数字相

14、同时,黑卡片放在左边,已知每行 4 张卡片上的 4 个数字之和都相等,左下角是 2,右上角是 7,请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是1、4、7、8 或者 1、2、5、813【解答】解：根据分析,可得到图形如下：或者答：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 1、4、7、8 或者1、2、5、8故答案为：1、4、7、8 或者 1、2、5、812（12 分）如图,在正方形环形道路的四个顶点各有编号为 1、2、3、4 的车站：甲、乙、丙、丁四个人分别从编号为 A、B、C、D 的车站同时出发（A、B、C、D 互不相同）,沿顺时针方向驾车匀速行驶,且从 1、2、3、4 号车站出发

15、的车的速度分别为 1、2、3、4,以后速度再不变化行驶完毕后,他们有如下的话：甲说：“我第一次追上乙时恰在车站”乙说：“我第一次追上丙时恰在车站”丙说：“我第一次追上丁时恰在车站”丁说：“我第一次追上甲时恰在车站”已知其中有两人的话正确,两人说的话错误那么四位数231414【解答】解：4 个人共有 6 次追及,设正方形边长为 a 第一次追上时间 a（41）,所以应在、中间第一次追上时间 2a（42）a,所以走了 2a,在车站同理第一次追上在车站第一次追上在车站第一次追上在车站第一次追上在车站,所以甲、丙的话不可能正确乙第一次追上丙在车站,所以 B3,C1丁第一次追上甲在车站,所以 A2,D4所

16、以四位数2314,15故答案为 231413（12 分）如果正整数 N 的每一个倍数都满足、也都是 N 的倍数（其中a、b、c 都是 09 中的整数,并且约定 123 表示 123,028 表示 28,007 表示 7）,那么就称 N 为“完美约数”（例如 9 就是一个“完美约数”）这样的“完美约数”一共有14个【解答】解：若 a,b,c 不全相等,则 N|,N|,N|,则 N|（+）,即 N|（a+b+c）111,若 N|（a+b+c）对于每一个 a,b,c 均成立,则 N|9,则 N|999,即 N 为 999 的约数,分别是 1,3,9,27,37,111,333,999,共 8 个,若

17、 abc,则比为完美约数,分别是 111,222,333,444,555,666,777,888,999,共 9 个,与中重复的有 111,333,999,共 3 个,所以“完美约数”共有 8+9314 个故答案为：1414（12 分）如图,正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为 12,图中阴影部分的面积是324【解答】解：根据分析,将图进行分割,如图,16阴影部分被分成 3 个相同的部分,每一个部分由两个三角形构成,其中一个三角形为腰为 12 的等腰直角三角形,面积1212272,另一个三角形底为 12,高为 126,面积为 126236,每一个部分面积为 72+36108,阴影部分面积为 1083324故答案是：324