2013年“迎春杯”数学解题能力奥数复赛试卷（小高组）.pdf

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1、12013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）一、填空题（共 5 小题,每小题 8 分,满分 40 分）1 （8 分）计算：20132.2（）的计算结果是 2 （8 分）图中,两个圆心角是 90的扇形盖在大圆上,小圆盖在两个扇形上,它们的圆心都在同一点如果小圆、大圆、扇形的半径比是 1：3：4,那么阴影图形面积占整个图形面积的 %3 （8 分）老师将写有 19 的 9 张卡片发给甲、乙、丙 3 个学生,每人 3 张甲说：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列;乙说：我的也是;丙说：就我的不是等差数列如果他们说的都是对的,那么丙手中拿的三张卡片数字之后最小是 4 （8 分）迎春小学六年级

2、同学在某次体育达标测试中,达标的有 900 人,参加测试但未达标的占参加测试的同学人数的 25%,因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学人数的 4%没有参加体育达标测试的有 人5 （8 分）在如图的除法竖式中被除数是 2二、填空题（共 5 小题,每小题 10 分,满分 50 分）6 （10 分）算式：+的计算结果是 7 （10 分）黑板上有 12013 共 2013 个数,每次可以擦掉其中两个数,并且写上这两数之和的数字和,一直最后黑板上剩下四个数,其乘积为 27,那么这四个数的和是 8 （10 分）定义：aa+（a+1）+（a+2）+（2a2）+（2a1）,例如：55+6+7+8+9,那

3、么,1+2+3+19+20 的计算结果是 9 （10 分）将 116 填入 44 的表格中,要求同一行右面的比左面的大;同一列下面的比上面的大其中 4 和 13 已经填好,其余 14 个整数有 种不同的填法10 （10 分）n 名海盗分金币第 1 名海盗先拿 1 枚金币,再拿剩下金币的 1%;然后,第 2 名海盗先拿 2 枚,再拿剩下金币的 1%;第 3 名海盗先拿 3 枚,再拿剩下金币的 1%;第 n 名海盗先拿 n 枚,再拿剩下金币的 1%结果金币全被分完,且每位海盗拿的金币都一样多那么共有金币 三、填空题（共 4 小题,每小题 12 分,满分 48 分）311 （12 分）图中,长方形

4、ABCD 的面积是 2013 平方厘米AOD、BOC、ABE、BCF、CDG、ADH 都是等边三角形,M、N、P、Q 分别是ABE、BCF、CDG、ADH的中心那么阴影部分的面积是 平方厘米12 （12 分）甲、乙两人分别从 AB 两地同时出发,相向匀速而行,当甲、乙在途中 C 地相遇时,丙从 B 地出发,匀速去 A 地,当甲与丙在 D 地相遇时,甲立即调头且速度降为原来的 80%,当甲、丙同时从 A 地时,乙离 A 地还有 720 米,如果 CD 间的路程是 900 米,那么 AB 间的路程是 米?13 （12 分）有 16 名学生,他们做成一个 44 的方阵,某次考试中他们的得分互不相同,

5、得分公布后,每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右,如坐在角上的同学只有 2 人与他相邻）进行比较,如果最多只有 1 名同学的成绩高于他,那么他会认为自己是“幸福的” 则最多有 名同学会认为自己是“幸福的” 14 （12 分）现有一个立方体 ABCDEFGH,将其过 B 点的三个表面的正方形染成红色,现在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图,若展开图中三个红色正方形都没有公共边,那么共有 种不同的剪法 （剪开的棱相同但剪的顺序不同的算作同一种剪法）42013 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题（共 5 小题,每小题 8 分,满分 40

6、分）1 （8 分）计算：20132.2（）的计算结果是732【解答】解：20132.2（）20132013732;故答案为：7322 （8 分）图中,两个圆心角是 90的扇形盖在大圆上,小圆盖在两个扇形上,它们的圆心都在同一点如果小圆、大圆、扇形的半径比是 1：3：4,那么阴影图形面积占整个图形面积的32%【解答】解：依题意可知：设三个圆的半径分别为 1,3,45整个图形的面积为：44+3312.5阴影部分的面积为：（3311）4所以阴影部分占整个商标的面积的32%故答案为：323 （8 分）老师将写有 19 的 9 张卡片发给甲、乙、丙 3 个学生,每人 3 张甲说：我的三张卡片上的数字恰好

7、是等差数列;乙说：我的也是;丙说：就我的不是等差数列如果他们说的都是对的,那么丙手中拿的三张卡片数字之后最小是9【解答】解：根据分析,甲、乙三张都是等差数列,其和一定是 3 的倍数,9 张和为 1+2+3+945,也是 3 的倍数,丙的和一定是 3 的倍数,丙最小不能取 6（1+2+3）丙至少为 9,经试验是可以的,甲、乙分别是：（9,8,7）和（5,4,3）,丙为：（1,2,6）丙的卡片数字之和最小是：1+2+69故答案为：94 （8 分）迎春小学六年级同学在某次体育达标测试中,达标的有 900 人,参加测试但未达标的占参加测试的同学人数的 25%,因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学

8、人数6的 4%没有参加体育达标测试的有50人【解答】解：900（125%）（14%）4%120096%4%12504%50（人）答：没有参加体育达标测试的有 50 人故答案为：505 （8 分）在如图的除法竖式中被除数是2582【解答】解：依题意可知：乘积个位为 3 的有 13 组合和 79 组合再根据已知数字 0 和前面的数字,被减后没有余数那么只能是数字 2 满足条件再根据余数填写处第二个乘积的结果的后两位数字是 83;如果是3,只能是 61,但是此时乘积不能得到 200 多如果是9,构成后两位是 83,那么 a8 满足条件但是 87 的倍数不能得到 200 多点如果是7,构成后两位是 8

9、3 的,那么 a6,且 69 的 3 倍是 207 满足条件7即 6937+292582故答案为：2582二、填空题（共 5 小题,每小题 10 分,满分 50 分）6 （10 分）算式：+的计算结果是108【解答】解：+22+23+24+2102（2+3+4+10）2（2+10）9221292108答：+的计算结果是 108故答案为：10887 （10 分）黑板上有 12013 共 2013 个数,每次可以擦掉其中两个数,并且写上这两数之和的数字和,一直最后黑板上剩下四个数,其乘积为 27,那么这四个数的和是30【解答】解：根据分析,一个数除以 9 的余数等于这个数各位数字之和除以 9 的余

10、数,每次操作将数的和变为数字和,不改变除以 9 的余数,1+2+3+201320142013210072013,则剩下的这四个数的和除以 9 也余 3,将 27 拆成四个数的乘积,273331391127111,和分别为 10,14,30,只有 30 除以 9 余 3,所以这个数的和为 30故答案为：308 （10 分）定义：aa+（a+1）+（a+2）+（2a2）+（2a1）,例如：55+6+7+8+9,那么,1+2+3+19+20 的计算结果是4200【解答】解：根据分析,将所有这些数填入一个表中,便于观察,如图：第 1 行代表1,第 2 行代表2,第 3 行代表3,第 20 行代表20,

11、为方便观察,将此表顺时针旋转 135,如图 2,此时每行的平均数均为 20,表中共有 1+2+20210 个数,所以和为 2102042009 （10 分）将 116 填入 44 的表格中,要求同一行右面的比左面的大;同一列下面的比上面的大其中 4 和 13 已经填好,其余 14 个整数有1120种不同的填法9【解答】解：左上角四个格和右下角的四个格各有两种填法,剩下的左下角和右上角四个格四个格,还有 8 个数未填,此时可以任选 4 个,填在其中的四个格中,每四个数都有 2 种填法,所以共有 22221120 种填法故答案为 112010 （10 分）n 名海盗分金币第 1 名海盗先拿 1 枚

12、金币,再拿剩下金币的 1%;然后,第 2 名海盗先拿 2 枚,再拿剩下金币的 1%;第 3 名海盗先拿 3 枚,再拿剩下金币的 1%;第 n 名海盗先拿 n 枚,再拿剩下金币的 1%结果金币全被分完,且每位海盗拿的金币都一样多那么共有金币9801【解答】解：依题意可知：第 n 名海盗先拿走 n 枚,再那剩下的 1%,结果金币倍全部拿完说明剩下的金币为 0第 n 名海盗拿走的实际就是 n 枚第 n1 名海盗先拿走 n1 枚,再拿走剩下的 1%,由于每个海盗拿的一样多,所以剩下的10金币的 1%是 1 枚,那么剩下的 99%就是 99 枚故 n99,每个人拿走 99 枚,共有 99 个人99999

13、801故答案为：9801三、填空题（共 4 小题,每小题 12 分,满分 48 分）11 （12 分）图中,长方形 ABCD 的面积是 2013 平方厘米AOD、BOC、ABE、BCF、CDG、ADH 都是等边三角形,M、N、P、Q 分别是ABE、BCF、CDG、ADH的中心那么阴影部分的面积是2684平方厘米【解答】解：如图,连接 AM、OM、OQ,OQ 交 AD 于点 K,Q 为等边ADH 的中心,AOD 与ADH 完全一样,QKOKOQOK,OQM 的高为 OQ,底为 OM,AOD 的高为 OK,底为 AD,由于 OMAD,SOQM;又,2684（平方厘米） 11故答案是：268412

14、（12 分）甲、乙两人分别从 AB 两地同时出发,相向匀速而行,当甲、乙在途中 C 地相遇时,丙从 B 地出发,匀速去 A 地,当甲与丙在 D 地相遇时,甲立即调头且速度降为原来的 80%,当甲、丙同时从 A 地时,乙离 A 地还有 720 米,如果 CD 间的路程是 900 米,那么 AB 间的路程是5265米?【解答】解：甲速度降为原来的 80%,与丙同时到达 A 地,则甲丙速度比为：5：4,因此甲从 C 到 D 走 900 米,则丙从 B 到 D 走：90072（0 米）甲从 A 回到 A 走了两个（全程720 米）,同样时间内乙走了一个（全程720 米）,甲走的第二个是用 80%的速度

15、走的,是用相当于用原速走了个（全程720 米）,所以甲乙的速度比为：9：4,甲乙相遇时乙从 B 到 C 走了：900+7201620 米,所以全程为：16205265（米）12答：那么 AB 间的路程是 5265 米故答案为：526513 （12 分）有 16 名学生,他们做成一个 44 的方阵,某次考试中他们的得分互不相同,得分公布后,每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右,如坐在角上的同学只有 2 人与他相邻）进行比较,如果最多只有 1 名同学的成绩高于他,那么他会认为自己是“幸福的” 则最多有12名同学会认为自己是“幸福的” 【解答】解：每个 22 的方格中最多有 3

16、个人“幸福”,所以 16 个人中,最多有1612 个人“幸福”,构造如下图其中 16 到 5 号共 12 个人是“幸福的” 故答案为 1214 （12 分）现有一个立方体 ABCDEFGH,将其过 B 点的三个表面的正方形染成红色,现在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图,若展开图中三个红色正方形都没有公共边,那么共有54种不同的剪法 （剪开的棱相同但剪的顺序不同的算作同一种剪法）【解答】解：根据分析,将一个立方体沿棱剪开得到平面展开图需要剪开 7 条棱,因为剪开后,三个红色正方形没有公共边,那么需要把 BA、BF、BC 剪开,下面对 HD、HE、HG 三条棱是否剪开进行分类：13HD、HE、

17、HG 中剪开 1 条棱,有 3 种情况;不妨设剪开 HD,还需要剪开 DA、DC、EA、EF、GH、GC 中的 3 条棱其中 DA、DC 两条棱中选择一条剪开,有 2 中情况;EA、EF 两条棱中选择一条剪开,有 2 种情况;GH、GC 两条棱中选择一条剪开,有 2 种情况;共有 322224 种情况HD、HE、HG 中剪开 2 条棱,有 3 种情况,不妨设剪开 HE、HG,还需要剪开 DA、DC、EA、EF、GH、GC 中的 2 条棱其中 DA、DC 两条棱中选择一条剪开,有 2 种情况;EA、EF、GH、GC 四条棱中选择一条剪开,有 4 种情况;共有 32424 种情况,HD、HE、HG 中剪开 3 条棱,还需要剪开 DA、DC、EA、EF、GH、GC 中的 1 条棱,共有 6中情况,综上,共有 24+24+654 种不同的剪法