大学课件 高等数学 下学期 9-6(高斯公式和斯托克斯公式).ppt

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1、第六节 高斯公式和斯托克斯公式,一、高斯公式 二、物理意义-通量与散度 三、斯托克斯公式 四、物理意义-环流量与旋度,一、高 斯 公 式,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,外侧,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.,证,设空间区域,母线平行于z轴的柱面.,即边界面,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),由三重积分的计算法,投影法(先一后二法),由曲面积分的计算法,取下侧,取上侧,取外侧,于是,若区域的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,

2、并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的.,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算.,一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,解,例1,外侧.,使用Guass公式时易出的差错:,(1) 搞不清,是对什么变量求偏导;,(2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;,(3) 忽略了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧.,高斯公式,例2,解,外侧.,?,能否直接用,点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式

3、.,可先用曲面方程将被积,因被积函数中的,函数化简，,高斯公式,有时可作,辅助面,(将辅助面上的积分减去).,化为闭曲面的曲面积分,然后利用,高斯公式.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,例3,计算曲面积分,之间,下侧.,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空间曲面在xOy面上的,曲面 不是,为利用高斯公式.,投影域为,补,构成封闭曲面,使用高斯公式.,封闭曲面,先二后一法,故所求积分为,被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.,分析,用高斯公式.,例4,是锥面,所围立体的表面,计算设f(u)是有连续的导数,计算,和球面,及,外侧.,解,由于,故由高斯公式,=,例,证,高斯公式,例 设函数u(x, y

4、, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有,其中是闭区域的整个边界曲面,v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数,称为拉普拉斯(Laplace)算子.,一阶及二阶连续偏导数,证明,为函数,符号,证,因为方向导数,是在点(x,y,z)处的外法线,向量的方向余弦.,于是曲面积分,移项后,即证.,高斯公式,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕y轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角,绕y轴旋转,取右侧.,有,高斯公式,取右侧,故,1. 通量,为向量场,设有一向量场,则称沿场中有向曲面某一侧的曲面积分:,通量.,穿过曲面这一侧的,二、物理意义 通量与散度,通量的计算公式,2.散

5、度,设有向量场,为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成P点时,极限,记为,散度.,存在,则该极限值就称为向量场,在P点处的,即,散度的计算公式,设,均可导,点处的散度为,高斯公式,高斯公式可写成,例5,向量场,解,练习,设数量场,解,先求梯度,再求,的散度.,三、斯托克斯(Stokes)公式,斯托克斯公式,定理,为分段光滑的空间有向闭曲线,是以,边界的分片光滑的有向闭曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式,即有,其中,方向余弦.,是指定一侧的法向量,的正向与的侧符合右手规则:,当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时,是有

6、向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,拇指所指的方向与上法向量的指向相同.,是有向曲面的正向边界曲线.,称,另一种形式,便于记忆形式,Stokes公式的实质,表达了有向曲面上的曲面积分与其,边界曲线上的曲线积分之间的关系.,解,法一,按斯托克斯公式,计算曲线积分,例,其中,被三坐标面所截成的,三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧,的法向量之间符合右手规则.,有,对称性,按斯托克斯公式,法二,有,解,则,计算曲线积分,例6,其中,截立方体:,的表面所得的截痕,若从Ox,轴的正向看去,取逆时针方向.,取为平面,的上侧被所围成的部分.,在xOy面上的投影为,即,1.环流量的定义,环流量.,四、物理意义-环流量与旋度,设向量场,利用Stokes公式,环流量,2. 旋度的定义,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释,环流量,