2022年数学选修2-1第二章检测试题 .pdf

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1、第二章检测试题(时间:90 分钟满分:120 分) 【选题明细表】知识点、方法题号易中难曲线与方程12、14、17 椭圆的定义、方程和性质5、6 双曲线的定义、方程和性质2、8 11 抛物线的定义、方程和性质3、4、7 直线与圆锥曲线10 13 圆锥曲线的综合问题1 9、15、16 18 一、选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分) 1.(2013 长春外国语学校高二检测) 下列曲线中 , 离心率为 2 的是( A ) (A)x2-22y=1 (B)x2+25y=1 (C)x2+23y=1 (D)x2-25y=1 解析: 由离心率的定义知x2-23y=1 的离心率 e

2、=2. 2.(2011 年高考安徽卷 ) 双曲线 2x2-y2=8的实轴长是 ( C ) (A)2 (B)2 (C)4 (D)4解析:2x2-y2=8可变形为24x-28y=1, 则 a2=4,a=2,2a=4. 故选 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页3.(2012 湖北荆州高二上学期期末考试)若点 A的坐标为 (3,2),F为抛物线 y2=2x 的焦点, 点 P是抛物线上的一动点 , 则|PA|+|PF| 取最小值时点 P的坐标为 ( C ) (A)(0,0) (B)(1,1) (C)(2,2) (D)（

3、12,1 ）解析: 如图所示设 |PF|=d, 故|PA|+|PF|=|PA|+d,当点 P到 P 位置时,|PA|+|PF|取得最小值 , 此时点 P的纵坐标为 2, 将其代入抛物线方程, 得横坐标为 2, 故点 P坐标为(2,2).故选 C. 4.(2013 长春外国语学校高二检测) 已知 P是抛物线 y2=4x 上一动点 ,F是抛物线的焦点 , 定点 A(4,1),则|PA|+|PF| 的最小值为 ( A ) (A)5 (B)2 (C)(D)解析: 由于点 A在抛物线 y2=4x 内部,由抛物线的定义知 |PF|=d(d 为 P点到准线 x=-1 的距离 ), 如图可知 |PA|+|PF

4、| 的最小值为 A点到准线x=-1 的距离, 即 4-(-1)=5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页5.(2013 河南衡阳高二检测 ) 若椭圆29x+27y=1(ab0) 的离心率为, 则双曲线-=1 的离心率为 ( B ) (A)54(B)52(C)32(D)54解析: 由椭圆的离心率定义知22aba=32, a2=4b2, a=2b, 又由双曲线的离心率定义知e=22aba=224bba=52bb=52.故选 B. 6.F1、 F2是椭圆29x+27y=1的两个焦点 ,A 为椭圆上一点 , 且AF1F2=

5、45,则AF1F2的面积为 ( B ) (A)7 (B)72(C)74(D)7 52解析: 由于 c2=9-7=2, c=, |F1F2|=2c=2, 又|AF1|+|AF2|=6, |AF2|=6-|AF1|, 在AF1F2中, |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1| 2 |F1F2|cos 45 =|AF1|2-4|AF1|+8, 即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8, |AF1|= , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页=1233 2322=72, 故选 B. 7.(201

6、3 山东德州高二检测 ) 过抛物线 y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2), 若 x1+x2=6,那么|AB| 等于( B ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 解析: 由抛物线的定义知 |AF|=x1+1,|BF|=x2+1, |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,故选 B. 8. 已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0, 以圆 C与坐标轴交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 , 则适合上述条件的双曲线的标准方程为( C ) (A) 212x-24y=1 (B) 24y-212x=1 (C) 24x-212y=1 (D) 212y- 24x=

7、1 解析: 圆 C:(x-3)2+(y-2)2=5与 x 轴的交点为 (2,0),(4,0),与 y 轴无交点, 所以所求双曲线的一个焦点为(4,0),右顶点为 (2,0), 即 a=2,c=4, b2=c2-a2=12,因此双曲线方程为24x-212y=1. 故选 C. 9.(2012 南安高二期末考试 ) 已知双曲线 x2-23y=1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点 ,则2的最小值为 ( C ) (A)1 (B)0 (C)-2 (D)-8116解析: 设点 P(x0,y0), 则 -203y=1, 由题意得 A1(-1,0),F2(2,0), 精选学习资料 - -

8、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页则2=(-1-x0,-y0)2 (-2-x0,-y0)= -x0-2+ , 由双曲线方程得=3(-1), 故2=4 -x0-5(x01), 可得当 x0=1时,2有最小值 -2. 故选C. 10. 直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A、B两点, 过 A、B两点向抛物线的准线作垂线 ,垂足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为 ( A ) (A)48 (B)56 (C)64 (D)72 解析: 由于抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1, 联立234yxyx得 A(1,-2),B(9

9、,6), |AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8, 因此 S梯形 APQB=21082=48,故选 A. 二、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20分) 11.(2012 年高考天津卷 ) 已知双曲线 C1: 2xa-22yb=1(a0,b0) 与双曲线C2: 24x-216y=1有相同的渐近线 , 且 C1的右焦点为 F(,0), 则a= ,b= . 解析: 双曲线24x-216y=1 的渐近线为 y=2x, 而2xa-22yb=1的渐近线为 y= x, 所以有ba=2,b=2a, 又双曲线2xa-22yb=1的右焦点为 (,0), 所以 c=, 又 c2=a2+b2

10、, 即 5=a2+4a2=5a2, 所以 a2=1,a=1,b=2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页答案:1 2 12.(2011 年高考新课标全国卷 )在平面直角坐标系xOy中, 椭圆 C的中心为原点 , 焦点 F1,F2在 x 轴上, 离心率为22. 过 F1的直线 l 交 C于A,B 两点, 且ABF2的周长为 16, 那么 C的方程为. 解析: 由题意得 ABF2的周长为 4a=16,解得 a=4, 由离心率 e=ca=4c=22, 解得 c=2, 故 b2=16-(2)2=8, 所以 C的方程为216

11、x+28y=1. 答案: 216x+28y=1 13.(2012 陕西师大附中高二上学期期末试题) 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点, 若线段 AB的中点坐标为 (3,2),则 p 的值为. 解析: 抛物线的焦点坐标为（2p,0 ）, 又直线倾斜角为 45, 故直线方程为 y=x-2p, 联立2,22,pxyypx可得 y2-2py-p2=0, 因为 AB的中点为 (3,2), 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 故 y1+y2=2p=4, 解得 p=2. 答案:2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

12、 - - -第 6 页，共 14 页14. 以下四个关于圆锥曲线的命题: 在直角坐标平面内 , 到点(-1,2)和到直线 2x+3y-4=0 距离相等的点的轨迹是抛物线 ; 设 F1、 F2为两个定点 ,k 为非零常数 , 若|-|=k, 则 P点的轨迹为双曲线 ; 方程 4x2-8x+3=0 的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率; 过单位圆 O上一定点 A作圆的动弦 AB,O为坐标原点 , 若=12(+), 则动点 P的轨迹为椭圆 . 其中真命题的序号为.( 写出所有真命题的序号 ) 解析: 中定点 (-1,2)在直线 2x+3y-4=0 上, 适合条件的轨迹为直线 ,而不是抛物线 ,错;

13、 中, 当|k|=|F1F2| 时,P 点轨迹为射线 , 当|k|F1F2| 时, 无轨迹, 所以错 ; 中方程两根分别为和 , 可以分别作为椭圆和双曲线的离心率,故正确 ; 中, 适合条件的轨迹是一个圆, 而非椭圆 . 综上可知 , 真命题只有 . 答案: 三、解答题 (本大题共 4 小题, 共 50 分) 15.( 本小题满分 12 分) (2013 山东潍坊高二检测 ) 抛物线顶点在原点 , 它的准线过双曲线22xa-22yb=1的一个焦点 ,并且这条准线垂直于x 轴, 又抛物线与双曲线交于点 P（32,）, 求抛物线和双曲线的方程 . 解: 交点在第一象限 , 抛物线的顶点在原点 ,

14、其准线垂直于 x 轴, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页可设抛物线方程为y2=2px(p0). 点 P（32,）在抛物线上 , ()2=2p332,p=2, y2=4x. y2=4x 的准线方程为 x=-1, 且过双曲线的焦点 , -c=-1,c=1,即有 a2+b2=1, 又点 P（32,）在双曲线上 , 294a-26b=1. 联立 , 解得 a2=14,b2=34, 双曲线方程为 4x2-43y2=1. 故所求的抛物线与双曲线方程分别为y2=4x 和 4x2-43y2=1. 16.( 本小题满分 12 分)

15、 (2012 山东临沂市高二上学期期末考试)已知ABC 的顶点 A,B在椭圆x2+3y2=4上,C 在直线 l:y=x+2上,且 AB l. (1) 当 AB边通过坐标原点O时, 求 AB的长及 ABC的面积; (2) 当ABC=90 , 且斜边 AC的长最大时 , 求 AB边所在直线的方程 . 解:(1) AB l, 且 AB边通过点 (0,0), 直线 AB的方程为 y=x. 设 A,B 两点坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2). 由2234,xyyx得 x=1. |AB|=|x1-x2|=2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

16、-第 8 页，共 14 页又 AB边上的高 h 等于原点到直线l 的距离 , h=,S ABC=12|AB| 3 h=2. (2) 设 AB边所在直线的方程为y=x+m, 由2234xyyxm, 得 4x2+6mx+3m2-4=0. 因为 A,B 在椭圆上 ,所以=-12m2+640, 则 x1+x2=-32m,x1x2=2344m, 所以|AB|=|x1-x2|=23262m. 又因为 BC的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离, 即|BC|=22m. 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10 =-(m+1)2+11. 所以当 m=-1时,AC 边最长 ,( 这时=-1

17、2+640) 此时 AB边所在直线的方程为y=x-1. 17.( 本小题满分 12 分) (2013 赣州高二检测 )已知圆 C1的方程为 (x-2)2+(y-1)2=203, 椭圆 C2的方程为22xa+22yb=1(ab0),C2的离心率为22, 如果 C1与 C2相交于 A、B两点, 且线段 AB恰为圆 C1的直径, 试求: (1) 直线 AB的方程 ; (2) 椭圆 C2的方程 . 解:(1) 由 e=22, 得ca=22,a2=2c2,b2=c2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页设椭圆方程为222xb

18、+22yb=1. 又设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由圆心为 (2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2. 又2122xb+212yb=1, 2222xb+222yb=1, 两式相减 , 得221222xxb+22122yyb=0. 1212yyxx=-12122xxyy=-1, 直线 AB的方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3. (2) 将 y=-x+3 代入222xb+22yb=1, 得 3x2-12x+18-2b2=0, 又直线 AB与椭圆 C2相交, =24b2-720. x1+x2=4,x1x2=6-23b2, 由|AB|=|x1-x2|=2121224xx

19、x x= 222164 63b=22883b解得 b2=8,故所求椭圆方程为216x+28y=1. 18.( 本小题满分 14 分) 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆 , 它的中心在原点 , 左焦点为 F(-,0), 上顶点为 D(0,1), 设点 A（1,12）. (1) 求该椭圆的标准方程 ; (2) 若 P是椭圆上的动点 , 求线段 PA中点 M的轨迹方程 ; (3) 过原点 O的直线交椭圆于点B,C, 求ABC面积的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页解:(1) 由已知得椭圆的短半轴b=1

20、,半焦距 c=, 则长半轴 a=2. 又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆的标准方程为24x+y2=1. (2) 设线段 PA的中点为 M(x,y), 点 P的坐标是 (x0,y0), 由001,2122xxyy得0021,12.2xxyy由点 P在椭圆上 , 得2214x+（2y-12）2=1, 线段 PA中点 M的轨迹方程是（x-12）2+4（y-14）2=1. (3) 当直线 BC垂直于 x 轴时,BC=2,因此 ABC 的面积 S ABC=1. 当直线 BC不垂直于 x 轴时, 设该直线方程为 y=kx, 代入24x+y2=1, 解得 B（2241k,2241kk）, C（-2241k,-

21、2241kk）, 则|BC|=24 114kk, 又点 A到直线 BC的距离 d=2121kk, ABC的面积 S ABC= |BC| 2 d=22114kk. 于是 S ABC=2244141kkk=24141kk, 由2441kk=114kk1, 得2441kk-1, 得 SABC, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页其中, 当 k=- 时,等号成立 . SABC的最大值是. 自我补偿(教师备用 ) 1.( 求离心率的取值范围时 , 不能正确寻求限定条件 )已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0) 的右

22、焦点为 F, 若过 F且倾斜角为4的直线与双曲线的右支有两个交点 ,则此双曲线离心率的取值范围是( C ) (A)(1,2) (B)2,+) (C)(1,) (D),+) 解析: 倾斜角为4的直线斜率为 1, 而双曲线的渐近线为y=bax, 若直线与双曲线的右支有两个交点, 则需满足 1ba, 即 122ba=222caa, 整理得 c22a2, 可得 e1, 故 1e0) 上, 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n, 则( C ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页(A)n=0 (B)n=1 (C)n

23、=2 (D)n3 解析: 根据抛物线的对称性 , 正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称 ,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30和 150, 这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点,如图, 所以正三角形的个数n=2,所以选C. 3.( 不能灵活应用圆锥曲线的定义) 椭圆29x+22y=1的左、右焦点为 F1,F2,点 P在椭圆上 .若|PF1|=4, 则|PF2|= ; F1PF2的大小为. 解析: 由|PF1|+|PF2|=6, 且|PF1|=4, 知|PF2|=2, 在PF1F2中, cosF1PF2=2221212122PFPFF FPFPF=-12. F1PF2=120. 答案:2 12

24、04.( 中点弦问题忘记 “点差法”的应用 ) 已知抛物线 C的顶点在坐标原点, 焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C相交于不同的 A、B两点. 若 AB的中点为 (2,2),则直线 l 的方程为. 解析: 由 F(1,0) 知抛物线 C的方程为 y2=4x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 =4x1,=4x2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页两式相减有-=4(x1-x2) ?1212yyxx2 (y1+y2)=4? kl=1. 故直线 l 的方程为 y-2=x-2, 即 y=x. 答案:y=x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页