2022年高中数学常用公式及常用结论 .docx

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1、精品_精品资料_高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系,.2. 德摩根公式.5集合的子集个数共有个.真子集有 1 个.非空子集有 1 个.非空的真子集有2个.(1) 一般式 ;(2) 顶点式 ;(3) 零点式 .8. 方程在上有且只有一个实根, 与不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特殊的,方程有且只有一个实根在内, 等价于 , 或且, 或且.9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,详细如下：(1) 当 a0 时,假设,就., .(2) 当 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,就的周期 T=a.2, 或,

2、或,或, 就的周期 T=2a.(3) ,就的周期 T=3a.(4) 且,就的周期 T=4a. 5, 就的周期 T=5a.6 ,就的周期 T=6a.30. 分数指数幂(1) ,且 .(2) ,且 . 31根式的性质1.2当为奇数时, . 当为偶数时, .32有理指数幂的运算性质1 .2 . 3.注： 假设 a 0, p 是一个无理数,就ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.34. 对数的换底公式,且, 且, .推论 ,且, 且, . 35对数的四就运算法就假设 a 0, a 1, M 0, N0,就1;2 ; 3.36. 设函数 , 记. 假设的定义域为 ,

3、就,且 ; 假设的值域为 , 就,且 . 对于的情形 , 需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广假设 ,就函数(1) 当时 , 在和上为增函数., 2当时 , 在和上为减函数 .推论 : 设,且,就1.2.38. 平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为,就对于时间的总产值,有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的前 n 项的和为 .其前 n 项和公式为.其前 n 项的和公式为或.42. 等比差数列 : 的通项公式为.其前 n 项和公式为.43. 分期付款 按揭贷款 每次仍款元 贷款元 , 次仍清 , 每期利率为 . 44常见三角不等式1假设,就 .(2)

4、 假设,就 .3 .45. 同角三角函数的基本关系式, =, .46. 正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变,符号看象限;. 平方正弦公式 ;.= 帮助角所在象限由点的象限打算, .48. 二倍角公式.49. 三倍角公式.50. 三角函数的周期公式函数, x R 及函数, x RA, , 为常数, 且 A 0, 0 的周期. 函数, A, , 为常数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 A0, 0 的周期 .51. 正弦定理 .;.1分别表示 a、b、c 边上的高 .2. 3.54. 三角形内角和定理在 ABC中,有.55. 简洁的三角方程的通解.特殊的 , 有.设、为实数,那么(1

5、) 结合律： a= a;(2) 第一安排律： + a= a+ a;(3) 其次安排律： a+b= a+b.58. 向量的数量积的运算律：(1) a b= b a 交换律 ;(2) a b= a b=a b= a b;(3) a+b c= ac +b c.59. 平面对量基本定理.假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、 e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底60. 向量平行的坐标表示.设 a=,b= ,且 b0,就 abb0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5

6、3. a与 b 的数量积 或内积 a b=|a|b|cos61. a b 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos的乘积1设a=,b= ,就 a+b=.2设a=,b= ,就 a-b=.3设A, B, 就.4设a=,就 a=.5设a=,b= ,就 ab=.a=,b=.=A , B.65. 向量的平行与垂直设 a=,b= ,且 b0,就A|bb= a .aba0a b=0.66. 线段的定比分公式.设,是线段的分点 , 是实数,且,就 .67. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、 、, 就 ABC的重心的坐标是 .68. 点的平

7、移公式.注: 图形 F上的任意一点 Px, y 在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.69. “按向量平移”的几个结论12点按向量 a=平移后得到点 .函数的图象按向量a=平移后得到图象 , 就的函数解析式为.3图象按向量 a=平移后得到图象 , 假设的解析式 , 就的函数解析式为.4曲线 : 按向量 a=平移后得到图象 , 就的方程为 .5向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍旧为m=.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点,角所对边长分别为,就1为的外心 .2为的重心 .3为的垂心 .4为的内心 .5为的的旁心 .71. 常用不等式：1 当且仅当 ab 时取“ =”号

8、2 当且仅当 ab 时取“ =”号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34柯西不等式5.已知都是正数,就有1假设积是定值,就当时和有最小值.2假设和是定值,就当时积有最大值.推广 已知,就有1假设积是定值, 就当最大时, 最大.当最小时 , 最小 .2假设和是定值, 就当最大时,最小.当最小时 ,最大 .73. 一元二次不等式, 假如与同号, 就其解集在两根之外.假如与异号, 就其解集在两根之间 .简言之：同号两根之外,异号两根之间.74. 含有肯定值的不等式当 a 0 时,有.或.1 .2.3.76. 指数不等式与对数不等式(1) 当时 ,;.(2) 当时 ,;77. 斜率公式

9、、.78. 直线的五种方程1点斜式 直线过点,且斜率为 2斜截式b为直线在 y 轴上的截距 .3两点式、 .4 截距式 分别为直线的横、纵截距,5一般式 其中 A、B 不同时为 0.79. 两条直线的平行和垂直(1) 假设, ; .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设 , 且 A1、A2、 B1、B2 都不为零 ,.80. 夹角公式1. , ,2. ,.直线时,直线 l1 与 l2 的夹角是 .81. 到的角公式1. , ,2. ,.直线时,直线 l1 到 l2 的角是 .82. 四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程： 经过定点的直线系方程为 除直线 , 其中是待定

10、的系数;经过定点的直线系方程为 , 其中是待定的系数(2) 共点直线系方程：经过两直线, 的交点的直线系方程为 除 ,其中是待定的系数(3) 平行直线系方程： 直线中当斜率k 肯定而 b 变动时, 表示平行直线系方程 与直线平行的直线系方程是 ,是参变量(4) 垂直直线系方程：与直线A 0,B 0 垂直的直线系方程是 , 是参变量83. 点到直线的距离 点, 直线： .84. 或所表示的平面区域设直线,就或所表示的平面区域是：假设, 当与同号时, 表示直线的上方的区域.当与异号时, 表示直线的下方的区域. 简言之, 同号在上 , 异号在下 .假设,当与同号时,表示直线的右方的区域.当与异号时,

11、表示直线的左方的区域.简言之 , 同号在右 , 异号在左 .85. 或所表示的平面区域设曲线,就或所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分. 所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程1圆的标准方程 .2圆的一般方程 0.3圆的参数方程 .4圆的直径式方程 圆的直径的端点是、 .87. 圆系方程(1) 过点 , 的圆系方程是, 其中是直线的方程, 是待定的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 , 是待定的系数(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 , 是待定的系数点与圆的位置关系有三种假设,就点在圆外 ; 点在

12、圆上 ; 点在圆内 .直线与圆的位置关系有三种:;.其中 .设两圆圆心分别为O1, O2,半径分别为r1 , r2 ,;.(1) 已知圆假设已知切点在圆上,就切线只有一条,其方程是.当圆外时 ,表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线(2) 已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为.92. 椭圆的参数方程是.93. 椭圆焦半径公式, . 94椭圆的的内外部1点在椭圆的内部.2点在椭圆的外部.95.椭圆的切线方程1 椭圆上一点处的切线方程是

13、.2过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.3椭圆与直线相切的条件是., .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 点在双曲线的内部.(2) 点在双曲线的外部.1 假设双曲线方程为渐近线方程：.(2) 假设渐近线方程为双曲线可设为.(3) 假设双曲线与有公共渐近线,可设为,焦点在x 轴上,焦点在 y 轴上 .99. 双曲线的切线方程1双曲线上一点处的切线方程是.2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3双曲线与直线相切的条件是.100. 抛物线的焦半径公式抛物线焦半径 .过焦点弦长 .101. 抛物线上的动点可设为P 或 P ,其中 .102. 二次函数的图象是抛物线： 1

14、顶点坐标为. 2焦点的坐标为. 3准线方程是 .(1) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部 .(2) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部 .(3) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部 .(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部 .104.抛物线的切线方程1 抛物线上一点处的切线方程是.2过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3抛物线与直线相切的条件是.(1) 过曲线 , 的交点的曲线系方程是 为参数 .(2) 共焦点的有心圆锥曲线系方程, 其中. 当时 , 表示椭圆 ;当时 , 表示双曲线 .106. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式或弦端点 A,由方程 消去 y 得到, , 为直线的倾斜角

15、,为直线的斜率.1曲线关于点成中心对称的曲线是.2曲线关于直线成轴对称的曲线是.108. “四线”一方程对于一般的二次曲线,用代,用代,用代,用代,用代即得方程,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.109. 证明直线与直线的平行的摸索途径1转化为判定共面二直线无交点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2转化为二直线同与第三条直线平行.3转化为线面平行.4转化为线面垂直.5转化为面面平行. 110证明直线与平面的平行的摸索途径1转化为直线与平面无公共点.2转化为线线平行.3转化为面面平行. 111证明平面与平面平行的摸索途径1转化为判定二平面无公共点.2转化为线面

16、平行.3转化为线面垂直. 112证明直线与直线的垂直的摸索途径1转化为相交垂直.2转化为线面垂直.3转化为线与另一线的射影垂直.4转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的摸索途径1转化为该直线与平面内任始终线垂直.2转化为该直线与平面内相交二直线垂直.3转化为该直线与平面的一条垂线平行.4转化为该直线垂直于另一个平行平面.5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114证明平面与平面的垂直的摸索途径1转化为判定二面角是直二面角.2转化为线面垂直.(1) 加法交换律： ab=b a(2) 加法结合律： a b c=a b c (3) 数乘安排律： a b= a b始点相同且不在

17、同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.对空间任意两个向量a、bb 0 , a b 存在实数使 a= b 三点共线 .、共线且不共线且不共线.118. 共面对量定理向量 p 与两个不共线的向量a、b 共面的存在实数对, 使 推论空间一点 P 位于平面 MAB内的存在有序实数对 , 使,或对空间任肯定点O,有序实数对,使.119. 对空间任一点和不共线的三点A、B、C,满意,就当时,对于空间任一点,总有P、A、B、C 四点共面.当时,假设平面ABC,就 P、A、B、C 四点共面.假设平面ABC,就 P、A、B、C 四点不共面可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品_精品资料_四点共面与、共面平面 ABC .120. 空间向量基本定理假如三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯独的有序实数组x, y, z,使 p xa yb zc推论设 O、A、B、C 是不共面的四点,就对空间任一点P,都存在唯独的三个有序实数x, y,z,使 .已知向量 =a 和轴, e 是上与同方向的单位向量. 作 A 点在上的射影,作B 点在上的射影,就a, e=a e设 a, b就1a b. 2a b.3 a R . 4a b.123. 设 A,B,就= .124. 空间的线线平行或垂直设,就.125. 夹角公式 设 a, b,就co

19、s a, b =.推论 ,此即三维柯西不等式.126. 四周体的对棱所成的角 四周体中 ,与所成的角为 , 就.127. 异面直线所成角=其中为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量 为平面的法向量 .129. 假设所在平面假设与过假设的平面成的角, 另两边 , 与平面成的角分别是、 , 为的两个内角,就.特殊的 , 当时 , 有.130. 假设所在平面假设与过假设的平面成的角, 另两边 , 与平面成的角分别是、 , 为的两个内角,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的 , 当时 , 有.或,为平面,的法向量.设 AC是内的任一条直线,且BC AC,垂足为 C,又设 A

20、O与 AB所成的角为, AB与 AC所成的角为, AO与 AC所成的角为就 .133. 三射线定理假设夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是, 与二面角的棱所成的角是,就有; 当且仅当时等号成立 .134. 空间两点间的距离公式假设 A, B,就=. 点在直线上,直线的方向向量a=,向量 b=.136. 异面直线间的距离 是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离.137. 点到平面的距离为平面的法向量,是经过面的一条斜线,.138. 异面直线上两点距离公式. . 两条异面直线a、b 所成的角为,其公垂线段的长度为h. 在直线 a、b 上分别取两点 E、F, ,

21、.140. 长度为的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为, 就有.立体几何中长方体对角线长的公式是其特例.141. 面积射影定理. 平面多边形及其射影的面积分别是、,它们所在平面所成锐二面角的为.142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是, 侧面积和体积分别是和, 它的直截面的周长和面积分别是和, 就 . . 143作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线,就这三条交线交于一点或相互平行. 144棱锥的平行截面的性质假如棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相像,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相可编

22、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_似多边形, 相像多边形面积的比等于对应边的比的平方.相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145. 欧拉定理 欧拉公式 简洁多面体的顶点数V、棱数 E 和面数 F.1=各面多边形边数和的一半. 特殊的 , 假设每个面的边数为的多边形,就面数F 与棱数 E 的关系：.2假设每个顶点引出的棱数为,就顶点数V 与棱数 E 的关系： .146. 球的半径是 R,就其体积 ,其外表积(1) 球与长方体的组合体 :长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的

23、直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四周体的组合体:棱长为的正四周体的内切球的半径为, 外接球的半径为 . 148柱体、锥体的体积是柱体的底面积、是柱体的高.是锥体的底面积、是锥体的高.149. 分类计数原理加法原理.150. 分步计数原理乘法原理.151. 排列数公式=. , N*,且 注: 规定 .152. 排列恒等式1 ;2;3;4;5.6 .153. 组合数公式= N*,且 .1= ;2 +=.注: 规定 .1;2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3;4=;5. 6.7.8.9.10.157单条件排列以下各条的大前提是从个元

24、素中取个元素的排列.1“在位”与“不在位”某特元必在某位有种.某特元不在某位有补集思想着眼位置着眼元素种 .2紧贴与插空即相邻与不相邻定位紧贴：个元在固定位的排列有种.浮动紧贴：个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有种. 注：此类问题常用捆绑法.插空：两组元素分别有k、h 个,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的全部排列数有种.3两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法？ 当时,无解.当时,有种排法.4两组相同元素的排列：两组元素有m个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为. 158安排问题1 平均分组有归属问题 将相异的、 个物件等分给个人, 各得

25、件, 其安排方法数共有.2 平均分组无归属问题 将相异的 个物体等分为无记号或无次序的堆,其安排方法数共有. 3 非平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人,物件必需被分完,分别得到,件,且, ,这个数彼此不相等,就其安排方法数共有.4 非完全平均分组有归属问题 将相异的个物体分给个人,物件必需被分完, 分别得到,件,且, ,这个数中分别有a、b、c、个相等,就其安排方法数有.5 非平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的, ,件无记号的堆, 且, 这个数彼此不相等,就其安排方法数有.6 非完全平均分组无归属问题 将相异的个物体分为任意的, ,件无记号的堆, 且,这个数中分别有a、b、c

26、、个相等,就其安排方法数有.7 限定分组有归属问题 将相异的个物体分给甲、乙、丙,等个人,物体必需被分完,假如指定甲得件,乙得件,丙得件,时,就无论,等个数是否全相异或不全相异其安排方法数恒有.159. “错位问题”及其推广贝努利装错笺问题 : 信封信与个信封全部错位的组合数为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广 :个元素与个位置 , 其中至少有个元素错位的不同组合总数为.160. 不定方程的解的个数(1) 方程的正整数解有个.(2) 方程的非负整数解有个.3方程满意条件,的非负整数解有个.4方程满意条件,的正整数解有个 .161.二项式定理 ;二项绽开式的通项公式.163.

27、 互斥大事 A, B 分别发生的概率的和PA B=PA PB PA1 A2 An=PA1 PA2 PAn 165. 独立大事 A, B 同时发生的概率PA B= PA PB.PA1 A2 An=PA1 PA2 PAn 1;2.1.2假设 , 就.(3) 假设听从几何分布, 且,就 .=.1 .2 假设,就 .3假设听从几何分布, 且,就 .,式中的实数, 0是参数,分别表示个体的平均数与标准差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.177. 对于,取值小于 x 的概率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就. .178. 回来直线方程,其中 .179. 相关系数.|r|

28、 1,且|r|越接近于 1,相关程度越大.|r|越接近于 0,相关程度越小 .180. 特殊数列的极限1.2.3无穷等比数列 的和 .181. 函数的极限定理.182. 函数的夹逼性定理假如函数 fx, gx , hx 在点 x0 的邻近满意：1;2常数 ,本定理对于单侧极限和的情形仍旧成立.1,.2, .184. 两个重要的极限1.185. 函数极限的四就运算法就假设,就1 . 2; 3.186. 数列极限的四就运算法就假设,就1 .2 .34 c是常数 .187. 在处的导数或变化率或微商.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.191.函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数

29、是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.1C 为常数 .2 .3 .4 .5. . 6 ; .1.2.3.194. 复合函数的求导法就设函数在点处有导数, 函数在点处的对应点U 处有导数, 就复合函数在点处有导数,且, 或写作 .195. 常用的近似运算公式当充小时1;.2 . .3 .4 .(5) 为弧度.(6) 为弧度.(7) 为弧度196. 判别是极大小值的方法当函数在点处连续时,1假如在邻近的左侧,右侧,就是极大值.2假如在邻近的左侧,右侧,就是微小值. 198. 复数的模或肯定值=.1;2;3;4.对于任何,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交换律 :.结合律 :.

30、安排律 : .201. 复平面上的两点间的距离公式,.202. 向量的垂直非零复数,对应的向量分别是,就的实部为零为纯虚数 为非零实数 .203. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程,假设 , 就;假设 , 就;假设,它在实数集内没有实数根.在复数集内有且仅有两个共轭复数根.高中数学学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”.中元素各表示什么？留意借助于数轴和文氏图解集合问题.空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集.3. 留意以下性质：3德摩根定律：4. 你会用补集思想解决问题吗？排除法、间接法的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载

31、精品_精品资料_6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？互为逆否关系的命题是等价命题.原命题与逆否命题同真、同假.逆命题与否命题同真同假.7. 对映射的概念明白吗？映射f ：A B,是否留意到 A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？一对一,多对一,答应B 中有元素无原象. 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？定义域、对应法就、值域9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是.11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？一一对应函数求反函数的步骤把握了吗？反解

32、 x.互换 x、y.注明定义域13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y x 对称.储存了原先函数的单调性、奇函数性.14. 如何用定义证明函数的单调性？取值、作差、判正负如何判定复合函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如何利用导数判定函数的单调性？值是A. 0B. 1C. 2D. 3a 的最大值为 316. 函数 fx具有奇偶性的必要非充分条件是什么？fx定义域关于原点对称留意如下结论：1在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.17. 你熟识周期函数的定义吗？ 函数, T 是一个周期. 如：18. 你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下“翻折”变换：19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线.应用：“三个二次” 二次函数、二次方程、二次不等式的关系二次方程求闭区间 m, n上的最值.求区间定动 ,对称轴动定的最值问题.一元二次方程根的分布问题.由图象记性质；留意底数的限定； 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？20. 你在基本运算上常显现错误吗？21. 如何解抽象函数问题？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_赋值法、结构变换法