2022年中考一元二次方程总复习 .pdf

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1、一元二次方程一、中考要求 ：1经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型2能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力3了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、 公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想4经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2009、2010 年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号所考知识点比率1 一元二次方程的解法4%

2、2 一元二次方程的应用47% (二)中考热点：本章多考查一元二次方程的解法及应用，另外本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、 分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力根据已知方程编写实际问题的应用题也是中考热点三、中考命题趋势及复习对策本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，题型有填空、 选择、 解答 中考对数学思想方法的考查一方程的应用将进一步提高，对方程的应用将会加大力度，一大批具有较强的时代气息、格调清新、 设计自然， 紧密联系日常实际生活的应用题将会不断涌现针对中考命题趋势， 在复习时应掌握解方程的方法，还应在方程的实际应用上多下功夫，加大

3、力度， 多观察日常生活中的实际问题(I)考点突破 考点 1：一元二次方程的解法一、考点讲解 ：1一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程一般形式： ax2bx+c=0(a0） 。注意： 判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。2一元二次方程的解法：直接开平方法：对形如(x+m ）2=n（n0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加

4、上一次项系数的一半的平方；化原方程为 (x+m）2=n 的形式； 如果 n0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是aacbbx242(b24ac0)。步骤：把方程转化为一般形式；确定a，b，c 的值；求出b24ac的值，当 b24ac0 时代入求根公式。因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法 理论根据：若 ab=0， 则 a=0 或 b=0。步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个

5、一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。3一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程如关于x 的方程（ m24）x2+2mx+1=0 中，当 m=2 时就是一元一次方程了 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；若 b24a0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如 2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去 x4。 注意： 解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元

6、二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法4一元二次方程解的情况 b24ac0方程有两个不相等的实数根； b24ac=0方程有两个相等的实数根； b24ac0方程没有实数根。解题小诀窍： 当题目中含有 “两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根” 时，往往首先考虑用b24ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。5根与系数的关系:韦达定理对于方程 ax2bx+c=0(a0）来说， x1 +x2 = ab，x1x2=ac。利用韦达定理可以求一些代数式的值，如2122122212)(xxxxxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

7、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 21212111xxxxxx。解题小诀窍： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。二、经典考题剖析：【考题 11】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）Aax2bx+c=0 B. k2 x5k+6=0 C.3x22x+x1=0 D.( k23) x22x+1=0 【考题 12】解方程： x22x3=0 【考题 13】 （2009、青岛， 6 分）已知方程5x2+kx10=0一个根是 5，求它的另一个根及k

8、的值三、针对性训练：1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21AxxBxyC axbxcD xxx2、若22324x( )xx与互为相反数，则的值为A12B、2 C、 2 D、123、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2- 2x- 99=0 化为 (x- 1)2=100B.x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 C.2t2-7t-4=0化为1681)47(2t D.3y2-4y-2=0化为910)32(2y4、关于 x 的一元二次方程22(1)2mxxmm30的一个根为x=0，则 m 的值为（）Am=3 或 m=1 Bm=

9、3 或 m= 1 Cm=1 Dm=3 5、(2009 济南 )若 x1 ，x2 是方程 x25x+6=0 的两个根，则x1 +x2的值是（）A .1 B.5 C. 5 D.6 6、(2009 眉山 ) 若 x1 ，x2 是方程 x23x1=0 的两个根，则2111xx的值为（）A.3 B. 3 C.31D317、 (2009 潍坊 ) 若 x1 ， x2 是方程 x26x+k1=0的两个根，且242221xx，则 k 的值为（）A.8 B. 7 C.6 D.5 8、(2009 成都 ) 若关于 x 的方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.k 1 B. k 1

10、且 k0 C. k1D. k 1 且 k0 9、已知一元二次方程x2 +2x8=0 的一根是 2，则另一个根是_. 10、(2009 泰安 ) 若关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+2k2 =0有实数根，则k 的取值范围是 _11、解方程： (1)32)32(22x;(2)3(1)2(1)y yy; (3) 3(4x29) (2x 3)=0;(4) x26x+8=0 12、(2009 鄂州 ) 关于 x 的方程 kx2+(k+2)x+4k=0 有两个不相等的实数根，(1)求 k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。考点 2

11、：一元二次方程的应用一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低） 两次得到新数据， 常见的等量关系是a(1x）2=b，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。 注意： 所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。 经济利润问题： 总利润 =（单件销售额单件成本）销售数量；或者，总利润=总销售额总成本。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系

12、列出方程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性二、经典考题剖析：【考题1】 （2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地， 开辟一个面积为130 平方米的花圃（如图 121） ，打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33 米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为332x米，依题意得332130 xx，C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

13、- - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 22331300 xx110 x2132x又 当110 x时，33213x当2132x时，33220 x15 132x不合题意，舍去10 x答：花圃的长为13 米，宽为 10 米【考题2】 （2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间， 将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10 平方米提高到12.1 平方米， 若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9B.10C. 11 D.12 解：设年增长率为x，根据题意得10(1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=

14、2.1因为增长率不为负，所以x=0.1。故选 D。【考题3】 （2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(5002 0 x)（10+x）=6000整理，得 x215x50=0解这个方程，x1=5，x2=10要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克应涨价 5 元 点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数； 应根据 “要使顾客

15、得到实惠”来取舍根的情况【考题 4】如图，在 ABC中，B=90 ， AB=5 ，BC=7 ，点P从 A点开始沿AB边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动， 点 Q从 B点开始沿 BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动 . （1）如果点 P、Q分别从 A、B两点同时出发，经过几秒钟， PBQ的面积等于4？（2）如果点 P、Q分别从 A、B两点同时出发，经过几秒钟， PQ的长度等于5？解： （1）设经过 x 秒钟， PBQ的面积等于4，则由题意得 AP=x，BP=5 x，BQ=2x, 由21BPBQ=4 ，得21（5x） 2x=4，解得， x1=1，x2=4当 x=4 时， BQ=2x=8

16、7=BC ，不符合题意。故x=1 （2）由 BP2+BQ2=52得（ 5x）2+（2x）2=52, 解得 x1=0（不合题意），x2=2所以 2 秒后， PQ的长度等于5。三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时， 正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜05 元，结果小明的妈妈只比上次多花了 2 元钱，却比上次多买了2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐” 牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元。为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：

17、如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200 元， 那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540 米 2，道路的宽应为多少？4小红的妈妈前年存了5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存 .今年到期扣除利息税 （利息税为利息的20%） ，共取得 5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5如图 12-3 ， ABC 中， B=90，点 P从 A点开始沿 AB向点 B以 1cm/s 的速度移动，点 Q从 B 点开始沿 BC边向C点以

18、2cm/s 的速度移动。（1）如果 P、Q分别从 A 、B同时出发，经几秒钟，使ABQ的面积等于8cm2? (2) 如果 P、Q分别从 A、B同时出发， 并且 P到 B后又继续在 BC边上前进， Q以 C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使 PCQ的面积等于 12.6 cm2。P Q B C A 32m 20m 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解：依题意，得：21（6-x ） 2x=8 解这个方

19、程得： x1=2，x2=4 即经过 2s，点 P到距离 B点 4cm处，点 Q到距离 B点 4cm处；经过 4s，点 P 到距离 B点 2cm处，点 Q到距离 B 点8cm处。故本小题有两解。（2）设经过 x 秒，点 P移动到 BC上，且有 CP= （14-x ）cm,点 Q移动到 CA上，且命名CQ= （2x-8 ） cm，过 Q作QD CB于 D。 CQD CAB ，ACABxQD82，即 QD=10)82(6x。依题意，得：21（14-x ） 10)82(6x=12.6 ，解这个方程得： x1=7，x2=11 经过 7s，点 P 在 BC距离 C点 7cm处，点 Q在 CA上距离 C点

20、6cm处，使 S PCQ=12.6cm2经过 11s，点 P在 BC距离 C点 3cm处，点 Q在 CA上距离C点 14cm处， 140, 点 Q已超出 CA范围，此解不存在。故本题只有一解。(II)2010年新课标中考题一网打尽【回顾 1】 （2010、绍兴，4 分）钟老师出示了小黑板上的题目(如图 122）后，小敏回答：“方程有一根为1” ，小聪回答：“方程有一根为2” 则你认为（）A只有小敏回答正确B只有小聪回答正确C两人回答都正确D两人回答都不正确【回顾 2】（2010、 河北，2 分）解一元二次方程x2x12=0，结果正确的是（）Ax1=4，x2=3 Bx1=4，x2=3 Cx1=4

21、，x2=3 Dx1=4，x2=3 【回顾 3】 （2010、安徽， 4 分）方程(3)(3)x xx解是（）Ax1=1 Bx1=0， x2=3 Cx1=1，x2=3 Dx1=1， x2=3 【回顾 4】 （2010、杭州， 3 分）若 t 是一元二次方程ax2bx+c=0(a0）的根，则判别式=b24ac 和完全平方式M=(2a+b)2的关系是（）A=M BM CM D大小关系不能确定【回顾 5】（2010、 湖州，3 分） 方程2(1)0 xx的根是（）A0 B1 C 0， 1 D0，1 【回顾 6】 （2010、湖州， 3 分）已知一元二次方程x22x7=0 的两个根为x1，x2，则 x1

22、 + x12的值为（）A 2 B2 C 7 D7【回顾 7】 （2010、温州）已知 x1、x2是方程 x23x1 0的两个实数根，则1x11x2的值是 ( ) A、3 B、 3 C、13D、1 【回顾 8】 （2010、温州）用换元法解方程(x2x)2(x2x)6 时，如果设x2xy，那么原方程可变形为（）A、y2y60 B、y2y60 C、y2y60 D、y2y6 0 【回顾 9】 （2010、嘉峪关， 3 分）方程 x25x=0 的根是（）A0 B0，5 C5，5 D5【回顾 10】 （2010、嘉峪关， 3 分）若关于x 的方程 x22xk=0 有实数根，则（）Ak1，Bk1 Ck1

23、Dk 1 【回顾 11】 （2010、金华）如果一元二次方程x24x20的两个根是 x1，x2，那么 x1x2等于（）A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【回顾 12】 （2010、金华）用换元法解方程(x2x)x2x6 时，设x2xy，那么原方程可化为（）A. y2y60 B. y2 y60 C. y2y60 D. y2 y60 【回顾 13】 （2010、衢州）设x1，x2是方程 2x2+3x-2=0 的两个根，则 x1+x2的值是( ) A-3 B3 C23D23【回顾 14】 （2010、衢州）方程x3-x=0 的解是（）A0，1 B1，-1 C0，-1 D0，1， 1 【回顾 1

24、5】 （2010、嘉峪关）用换元法解方程25x()40=y,11x+1xxxx时，若设则原方程_ 【回顾 16】 （2010、杭州， 4 分）两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是_ 【回顾 17】 （2010、江西）方程x2x=0 的解是_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 【回顾 18】 （2010、 ，内江）等腰 ABC 中， BC=8，AB 、BC 的长是关于x

25、 的方程 x210 x+m= 0 的两根，则m 的值是 _. 【回顾 19】（2010、 南充）关于 x 的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a 的取值范围是_.【回顾 20】 （2010、衢州）解方程22x -9x+5=x-3【回顾 21】 （2010、金华）解方程：x32x23x0. 【回顾 22】 （2010、湖州）解方程组：22y=x+1x +y =5【回顾 23】 （2010、自贡）解方程：2（x1）2+5（xl）+2=0【回顾 24】 （2010、重庆）解方程：x22x2=0 【回顾 25】 （2010、武汉）解方程：x2 +5 x+3=0 【回顾26】 （ 2010

26、、丽水）已知关于x 的一元二次方程2(1)60 xkx的一个根是2，求方程的另一根和k的值【回顾 27】 （2010、嘉峪关， 7 分）已知关于x 的一元二次方程22(4)3340kxxkk的一个根为0， 求k 的值【回顾 28】 （2010、河南）要到玻璃店配一块面积为1 . 21m2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为_ 【回顾 29】 （2010、南昌， 3 分）如图 123 为长方形时钟钟面示意图， 时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20 厘米，钟面数字2 在长方形的顶点处，则长方形的长为 _厘米(III)2011年中考题预测（80 分60 分钟）(257）一、基础经典题( 44

27、 分) (一)选择题 (每题 4 分，共 28 分 ) 【备考 1】如果在 1 是方程 x2+mx1=0 的一个根，那么m 的值为（）A 2 B3 C1 D2 【备考 2】方程2 (3)5(3)x xx的解是（）A12553 .3,.322xB xC xxD x【备考 3】若 n 是方程20 xmxn的根，n0，则 m+n等于（）A 7 B6 C1 D 1 【备考 4】 关于 x 的方程20 xmxn的两根中只有一个等于 0，则下列条件中正确的是（）Am0，n0 Bm0，n 0 Cm 0，n = 0 Dm0，n0 【备考 5】以 526 和 5+26 为根的一元二次方程是（）A21010 xx

28、B21010 xxC21010 xxD21010 xx【备考 6】已知 x1，x2是方程 x2x3=0 的两根，那么 x12+x22的值是（）A1 B5 C 7 D、494【备考 7】关于 x 的方程221(3)04xmxm有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（）A2 B 1 C0 Dl （二）填空题（每题4 分，共 16 分）【备考 8】已知一元二次方程x23x+1=0 的两个根为x1，x2，那么（ 1+ x1） （1+ x2）的值等于 _. 【备考 9】已知一个一元二次方程x2+px+l=0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则P 的值是 _. 【备考 10】 （2009、襄樊）如图，在A

29、BCD 中， AEBC于 E，AE=EB=EC=a，且 a 是一元二次方程x2+2x3=0 的根，则ABCD 的周长是 _ 【备考 11】关于 x 的方程2(1)3(2)kxkx2420k的一次项系数是3，则 k=_ 【备考 12】关于 x 的方程221(1)50aaaxx是一元二次方程，则a=_. 三、实际应用题（9 分）【备考 13】2003 年 2 月 27 日广州日报报道：2002 年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比）为465，尚未达到国家A 级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2009 年底自然保护区覆盖率达到8以上，若要达到最低目标8，则广州市自然

30、保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）四、渗透新课标理念题（每题10 分，共 20 分）E A B D C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 【备考 14】 （阅读理解题）阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案已知：m是关于 x 的方程 mx22xm0 的一个根，求m 的值解：把 x=m 代人原方程， 化简得 m3=m， 两边同时除以m，得 m2

31、=1，所以 m=l ，把=l 代入原方程检验可知：m=1 符合题意，答： m 的值是 1【备考 15】 （阅读理解题）阅读材料，解答问题：为解方程222(1)5(1)40 xx，我们可以将x2l 看作一个整体，然后设x2l=y，那么原方程可化为y25y4=0， 解得 y1 =1， y2=4 当 y1=l 时， x2l=1 所以 x2 =2 所以 x=2 ； 当 y=4 时， x21=4 所以 x2 =5 所以 x=5 ,故原方程的解为x1=2 ， x2=2 ， x3=5 ，x4=5 ；上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的， 体现了转化的数学思想请利用以上知识解方程： x4x26 016 、 当m 是 何 值 时 ， 关 于x的 方 程22234)1()2(xxmxm（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若 x=-2 是它的一个根，求m的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -