数列经典例题.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流数列经典例题.精品文档.（2010广东4）已知数列为等比数列，是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则（ ）A、35B、33C、3lD、29答案： C （2010江西5）等比数列中，=4，函数，则（ ）A、B、C、D、答案： C2010湖南15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得 成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则_，_答案： 2，（2010辽宁16）已知数列满足则的最小值为_答案： （2010陕西9）对于数列，“”是“为递增数列”的（ ）A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充要条件

2、D、既不充分也不必要条件（2011北京20）若数列：，满足（，2，），则称为E数列记（）写出一个满足，且的E数列；（）若，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由答案及评分标准： （）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列An是递增数列，所以所以An是首项为12，公差为1的等差数列所以a2000=12+（20001）1=2011充分性，由于a2000a19991，A1999a19981a2a11所以

3、a2000a11999，即a2000a1+1999又因为a1=12，a2000=2011, a2000=a1+1999故是递增数列综上，结论得证（）令为偶数,要使为偶数,即4整除当时，数列的项满足= =0，时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得答案： B（2011四川20）设为非零实数，（）写出并判断是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；（）设，求数列的前n项和答案及评分标准： 因为为常数，所以当是以为首项，为公比的等比数列（2）（1），2011四川8）数列的首项为，为等差数列且 若则，则（ ）A、0B、3C、8D、11答案： B（2011天津4）已知为等差数列

4、，其公差为-2，且是与的等比中项， 为的前项和，则的值为（ ）A、-110B、-90C、90D、110答案： D （2012全国理22）函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式答案及评分标准： (1)用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线PQ1的方程为令y0，解得，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为，令y0，解得，由归纳假设知；xk2xk1，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1

5、时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn13.(2) xn的通项公式为.（2012四川文12）设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7（ ）A、0B、7C、14D、21答案： D（2012四川文20）已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？答案及评分标准： (1)当a10时，an0；当a10时，.(2)当n7时，bnb7lg 10，故数列的前6项的和最大（2012四川理12）设函数f(x)2xcosx，

6、an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5（ ）A、0B、C、D、答案： D （2012四川理20）已知数列an的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立(1)求a1，a2的值；(2)设a10，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值答案及评分标准： (1) a10，a20；或a11，a22；或a11，a22.(2)当a10时，由(1)知a11，a22.当n2时，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，所以(1)an(2)an1，即anan1(n2)，所以ana1()n1(1)()n1.令，则bn1lg()n11

7、(n1)lg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为)，从而b1b2b7lg10，当n8时，故n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为.一、问答题1、（2012陕西文16）已知等比数列an的公比.(1)若，求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列2、（2012陕西理17）设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列3、（2012湖北理18）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成

8、等比数列，求数列|an|的前n项和4、（2012江苏20）已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：，nN*.(1)设bn11，nN*，求证：数列是等差数列；(2)设，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值5、（2012重庆文16）已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值6、（2012广东理19）设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.7、（2012广东文

9、19）设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式8、（2012浙江文19）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn9、（2012安徽理21）数列xn满足x10，xn1xn2xnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列10、（2012安徽文21）设函数f(x)sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)设xn的

10、前n项和为Sn，求sinSn11、（2012湖南理19）已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列12、（2012湖南文20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要

11、求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)答案：1、(1) .(2)证明：对任意kN，2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)，由，得2q2q10，故2ak2(akak1)0，即2ak2akak1，所以，对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列2、(1)设数列an的公比为q(q0，q1)，q2.(2)证法一：对任意k

12、N，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列证法二：对任意kN，Sk2Sk1，2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列3、(1)设等差数列|an|的公差为d， an3n5或an3n7.(2) 4、(1)证明：由题设知，所以，从而(nN*)，所以数列是以1为公差的等差数列(2) a1b1.5、(1)设数列an的公差为d， ana1(n1)d22(n1)2n.(2)6.6、1(2) an3n2n(3)an3n2n33n12n3n

13、12(3n12n1)3n1，7、(1) 1(2)an32n128、(1) an4log2bn3，bn2n1，nN*(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5故Tn(4n5)2n5，nN*9、(1)先证充分性，若c0，由于xn1xncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1可得c0(2) (0，10、(1)xn2n(nN*)(2)11、(1) an1(n1)44n3.(2)必要性：若数列an是公比为q的等比数

14、列，则对任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是，即.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列充分性：若对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以.故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列12、(1)an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1d(an2d)d()2an2dd()n1a1d1()2()n2整理得an()n1(3 000d)2d()n11()n1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，即()m1(3 0003d)2d4 000.解得，故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元