数列求和经典例题.pdf

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1、数列通项的方法数列通项的方法利用观察法观察法求数列的通项.（S1n 1)利用公式法公式法求数列的通项：an；an等差、等比数列an公式.S S(n 2)n1n应用迭加迭乘、迭代法迭加迭乘、迭代法求数列的通项：an1 an f(n)；an1 anf(n).构造构造等差、等比数列求通项：an1panq；an1 pan qn；an1 pan f(n)；an2 p an1 qan.2*例如例如 以下各数列an的前 n 项和Sn的公式为Sn 3n 2n n N，求an的通项公式。题型一题型一利用公式法求通项利用公式法求通项 例例 数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通

2、项公式；(2)等差数列bn的各项为正数，前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.练练 3 3数列an是公差大于零的等差数列，a2,a5是方程x12x 27 0的两根。数列bn的前n项和为Tn,且2Tn11bnn N，求数列an,bn的通项公式。23.数列an中，a11，an1anan1an，则数列通项 an_。(n N*)，求an的通项公式，并求a100的值。例例 an的首项a11，an1 an 2n，题型二题型二 应用迭加迭乘、迭代法求通项应用迭加迭乘、迭代法求通项 练练 1 1数列an中，a11,an n(an1 an)，则数列an的通项an()练练

3、2 2Sn为数列an的前n项和，a11，Sn n2an，求数列an的通项公式.例例 数列an中，an1 3an 2(n N),且a108，则a4()题型三构造等比数列求通项题型三构造等比数列求通项 练练 1 1数列an中，a11,an1an11n 2，求通项公式an。2 例例 数列an中，a11,an1 2an 3n，求数列an的通项公式.n 练练 2 2设数列an的前n项和为Sn，a1 a,an1 Sn 3(n N)，设bn Sn3n，求数列bn的通项公式数列求和方法数列求和方法1.根本数列的前n项和n(a1 an)21 等差数列an的前n项和：Snna1n(n 1)d22a n bn 等比

4、数列an的前n项和Sn：a1(1 qn)a1 anq当q 1时，Sn na1；当q 1时，Sn；1 q1 q2.数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.题型一题型一 公式法、性质法求和公式法、性质法求和1.Sn为等比数列an的前n项和，公比q 2,S99 7，则a3 a6 a9 a991，且a1 a3 a5 a99 60，则a1 a2 a3 a100.21111 例例 1 1求数列1，2，3，(n n)，的前n项和Sn.24822.等差数列an中，公差d 题型二拆项分组法求和题型二拆项分组

5、法求和 1求数列a的通项公式;2设数列a的前n项和为S，求S。练练 2 2在数列an中，a1=2，an+1=4an3n1，nN.nnnn2 练练.求数列(2n 1)的前n项和Sn.例例.求和：1111.122334n(n 1)题型三裂项相消法求和题型三裂项相消法求和 例例.求和：1111.2 13 24 3n 1 n1111 21 2 31 2 3 n 例例 求和：1*练练 4 4数列an满足a11,an1 2an1 nN(1)求数列an的通项公式。2假设数列bn满足414b 12b2143b314nbn1an1，求数列bn的通项n2n公式。3假设cn，求数列cn的前 n 项和Sn。anan1

6、【例如例如】以 a1为首项等比数列，q 为公比，前 n 项和 Sn的推导题型四题型四 错位相减法求和错位相减法求和 例例.设数列an为12,22,32,42 n2 x 0求此数列前n项的和233nn 例例.设数列an满足 a13a232a33n1an，nN*.3n(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn.an 练练 1 1数列an、bn满足a11，a2 3，（1）求数列bn的通项公式；*2数列cn满足cn bnlog2(an1)(n N)，求Sn 。n2222 练练 4 4等比数列an中，对任意自然数 n,a1 a2 a3an 2 1,求a1 a2 a3 an

7、的值bn1 2(nN*)，bn an1 an。bn课后练习课后练习1 1 设正项等比数列设正项等比数列的首项的首项，前，前 n n 项和为项和为，且，且。求求的通项；求的通项；求的前的前 n n 项和项和。2 2 数列数列的前的前项和记为项和记为求求的通项公式；的通项公式；3 3 在数列在数列aan n 与与bbn n 中中,a,a1 1=1,b=1,b1 1=4,=4,数列数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n满足满足 nSnSn+1n+1-(n+3)S-(n+3)Sn n=0,nN=0,nN*.(1)(1)求求 a a2 2,的值的值;(2);(2)求数列求数列aan n

8、 通项公式通项公式;4 4 设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，对任意的正整数，对任意的正整数n，都有，都有an 5Sn1成立，记成立，记bn求数列求数列bn的通项公式的通项公式5 5 设数列设数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，且对任意正整数，且对任意正整数 n n，a an n+S+Sn n=4096.=4096.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式：的通项公式：4an(nN*)。1an(2)(2)设数列设数列loglog2 2a an n 的前的前 n n 项和为项和为 T Tn n.对数列对数列TTn n，从第几项起，从第几项起 T Tn n

9、-509-509？6 6 设数列设数列a an n的前的前 n n 项和项和。(1)(1)求首项求首项 a a1 1求证求证是等比数列是等比数列2 2求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式7(17)7(17)设等差数列设等差数列 an 的前的前n项和为项和为sn，公比是正数的等比数列，公比是正数的等比数列 bn 的前的前n项和为项和为Tn，a11,b1 3,a3b317,T3S312,求an,bn的通项公式的通项公式.8 8 数列数列 an 的前的前 n n 项和项和sn 2n22n，数列，数列 bn 的前的前 n n 项和项和Tn 2bn求数列求数列 an 与与 bn 的通项公式；的通

10、项公式；设设cn an2bn，证明：当且仅当，证明：当且仅当 n n3 3 时，时，cn1 cn.9 9 等比数列等比数列 an 的前的前 n n 项和为项和为Sn，对任意的对任意的nN，点，点(n,Sn)，均在函数，均在函数y bx r(b 0且且b 1,b,r均为常数均为常数)的图像上的图像上.1 1求求 r r 的值；的值；1111当当 b=2b=2 时，记时，记bnn1(nN)求数列求数列bn的前的前n项和项和Tn4an4an(nN).1an1010 设数列设数列an的前的前 n n 项和为项和为sn,对任意的正整数对任意的正整数 n n，都有，都有an 5sn1成立，记成立，记bn求数列求数列an与数列与数列bn的通项公式；的通项公式；