2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题1.9 全等三角形中的经典模型-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

《2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题1.9 全等三角形中的经典模型-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题1.9 全等三角形中的经典模型-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx（112页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题1.9 全等三角形中的经典模型【苏科版】【题型1 平移模型】【例1】（2020秋襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，AD，ABDE，老师说：再添加一个条件就可以使ABCDEF下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加ABDE；乙说：添加ACDF；丙说：添加BECF（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明【解题思路】（1）根据平行线的性质，由ABDE可得BDEC，再加上条件AD，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加ACDF不能证明ABCDEF；（2）添加ABDE，

2、然后再利用ASA判定ABCDEF即可【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）证明：ABDE，BDEC，在ABC和DEF中A=DAB=DEB=DEF，ABCDEF（ASA）【变式1-1】（2020秋苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，ABDF，ABDF，点E与点C在BF上，且BECF（1）求证：ABCDFE；（2）求证：点O为BF的中点【变式1-2】（2020秋富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不

3、成立，请说明理由【变式1-3】（2021春雁塔区校级期中）如图点A、B、C、D在同一直线上，ABCD，作CEAD，BFAD，且AEDF（1）证明：EF平分线段BC；（2）若BFD沿AD方向平移得到图时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由【题型2 轴对称模型】【例2】（2020秋杭州校级月考）如图，在ABC和BAD中，AC与BD相交于点E，已知ADBC，另外只能从下面给出的三个条件DABCBA，DCDBACAB 选择其中的一个用来证明在ABC和BAD全等，这个条件是 （填写编号），并证明ABCBAD【解题思路】选择条件，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可【解答过程】解：这

4、个条件是：，证明如下：在ABD与BAC中，BC=ADCBA=DABBA=AB，ABCBAD（SAS）【变式2-1】如图，ABAC，BEAC于E，CDAB于D，BE、CD交于点O，求证：OBOC【变式2-2】（2020秋海珠区校级期中）如图，PBAB，PCAC，PBPC，D是AP上一点求证：BDPCDP【变式2-3】如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于M，ANBE干N求证：AMAN【题型3 旋转模型】【例3】（2020秋渝水区校级期中）如图，ABAC，ADAE，BACDAE求证：ABDACE【解题思路】根据等式的性质得出BADCAE，利用SAS证明ABD与ACE全等，进而解答

5、即可【解答过程】证明：BACDAE，BACCADDAECAD，BADCAE，在ABD与ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），ABDACE【变式3-1】（2020秋怀宁县期末）如图，已知：ADAB，AEAC，ADAB，AEAC猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想【变式3-2】（2020秋合江县月考）已知ABC和ADE均为等腰三角形，且BACDAE，ABAC，ADAE（1）如图1，点E在BC上，求证：BCBD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BCBDBE【变式3-3】（2021春浦东新区期末）如图，在ABC和ADE中，ABAC，

6、ADAE，BACDAE90（1）当点D在AC上时，如图，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图中的ADE绕点A顺时针旋转（090），如图，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由【题型4 一线三等角模型】【例4】（2020秋覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作ABC，使ABAC，连接BD，CE（1）如图，若BAC90，BDm，CEm，求证：ABDACE；（2）如图，若BDAAECBAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由【解题思路】（1）根据BD直线m，CE直线m得BDACEA90，而BAC90，根据等

7、角的余角相等得CAEABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA；（2）由BDAAECBAC，就可以求出BADACE，进而由ASA就可以得出BADACE，就可以得出BDAE，DACE，即可得出结论【解答过程】解：（1）证明：如图，D，A，E三点都在直线m上，BAC90，BAD+CAE90，BDm，CEm，ADBCEA90，BAD+ABD90，ABDCAE，在ABD和ACE中，ADB=AECABD=CAEAB=AC，ABDACE（AAS）；（2）DEBD+CE理由是：如图，BDAAECBAC，由三角形内角和及平角性质，得：BAD+ABDBAD+CAECAE+ACE，ABDCAE，BADACE，在

8、ABD和ACE中，ABD=CAEAB=ACBAD=ACE，ABDACE（ASA），BDAE，ADCE，DEAD+AEBD+CE【变式4-1】（2020春香坊区期末）如图，在ABC中，点D是边BC上一点，CDAB，点E在边AC上，且ADDE，BADCDE（1）如图1，求证：BDCE；（2）如图2，若DE平分ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与ADE相等的角（ADE除外）【变式4-2】（2020春历下区期中）CD是经过BCA定点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E、F在射线CD上，若BCA90，90，例如图1，则BE

9、 CF，EF |BEAF|（填“”，“”，“”）；若0BCA180，且+BCA180，例如图2，中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过BCA外部，且BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）【变式4-3】（2020秋余杭区月考）如图，点B、C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求证：ABECAF应用：如图，在ABC中，ABAC，ABBC，点D在边BC上，且CD2BD，点E，F在线段AD上12BAC，若ABC的面积为15，求ABE与CDF的面积之和【题型5 倍长中线模型】

10、【例5】（2020秋津南区校级期中）已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF【解题思路】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到ADCGDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF【解答过程】证明：如图，延长AD到点G，使得ADDG，连接BGAD是BC边上的中线（已知），DCDB，在ADC和GDB中，AD=DGADC=GDB(对顶角相等)DC=DB ADCGDB（SAS），CADG，BGAC又BEAC，BEBG，BEDG，BEDAEF，AEFCAD，即：AEF

11、FAE，AFEF【变式5-1】（2020春大庆期末）如图ABAE，ABAE，ADACADAC，点M为BC的中点，求证：DE2AM【变式5-2】（2020秋西城区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BFCG【变式5-3】（2020秋安陆市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧【探究与发现】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使EDAD，连接BE，写出图中全等的两个三角形 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是DEF的中线，若EF5，DE3，设

12、EPx，则x的取值范围是 （3）已知：如图3，AD是ABC的中线，BACACB，点Q在BC的延长线上，QCBC，求证：AQ2AD【题型6 截长补短模型】【例6】（2020秋涪城区校级月考）如图，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC，BCD求证：AEDE【解题思路】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明FCEBCE，得出EFBE，BCFC，进一步可得出AEBDEF，可得出结论【解答过程】证明：如图，延长BE交CD的延长线于F，CE是BCD的平分线，BCEFCE，ABCD，FFBA，BE是ABC的平分线，ABFFBC，FBCF在FCE和BCE中F=FBCFCE=BCECE

13、=CE，FCEBCE（AAS），EFBE，BCFC，在AEB和DEF中，AEB=DEFBE=EFFBA=F，AEBDEF（ASA），AEED【变式6-1】（2020秋蕲春县期中）如图，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，若E在AD上求证：（1）BECE；（2）BCAB+CD【变式6-2】（2020秋新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，ABAE，BC+DECD，ABC+AED180，求证：DA平分CDE【变式6-3】（2020秋北流市期中）已知ABC中，BD，CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O（1）直接写出BOC与A的数量关系；（2）若A60，利用（1）的关系，求出

14、BOC的度数；（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明专题1.9 全等三角形中的经典模型【苏科版】【题型1 平移模型】【模型解读】把ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到DEF与ABC称为平移型全等三角形，图，图是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【例1】（2020秋襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，AD，ABDE，老师说：再添加一个条件就可以使ABCDEF下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加ABDE；乙说：添加ACDF；丙说：添加BECF（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明【解题思路】（1）根据平

15、行线的性质，由ABDE可得BDEC，再加上条件AD，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加ACDF不能证明ABCDEF；（2）添加ABDE，然后再利用ASA判定ABCDEF即可【解答过程】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）证明：ABDE，BDEC，在ABC和DEF中A=DAB=DEB=DEF，ABCDEF（ASA）【变式1-1】（2020秋苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，ABDF，ABDF，点E与点C在BF上，且BECF（1）求证：ABCDFE；（2）求证：点O为BF的中点【解题思路】（1）由“SAS”可证ABCDFE；（2）由“AAS”可证A

16、CODEO，可得EOCO，可得结论【解答过程】证明：（1）ABDF，BF，BECF，BCEF，在ABC和DFE中，AB=DFB=FBC=EF，ABCDFE（SAS）；（2）ABCDFE，ACDE，ACBDEF，在ACO和DEO中，ACB=DEFAOC=DOEAC=DE，ACODEO（AAS），EOCO，点O为BF的中点【变式1-2】（2020秋富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由【解题思路】可以根据已知利用S

17、AS判定AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证【解答过程】解：ABCD，AB+BCCD+BC，即ACBDDEAF，AD在AFC和DEB中，AF=DEA=DAC=DB，AFCDEB（SAS）在（2），（3）中结论依然成立如在（3）中，ABCD，ABBCCDBC，即ACBD，AFDE，AD在ACF和DEB中，AF=DEA=DAC=DB，ACFDEB（SAS）【变式1-3】（2021春雁塔区校级期中）如图点A、B、C、D在同一直线上，ABCD，作CEAD，BFAD，且AEDF（1）证明：EF平分线段B

18、C；（2）若BFD沿AD方向平移得到图时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由【解题思路】（1）由ABCD，利用等式的性质得到ACBD，再由AEDF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到ECBF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BGCG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由ACDB，利用等式的性质得到ACBD，再由AEDF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到ECBF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等

19、得到BGCG，即可得证【解答过程】（1）证明：CEAD，BFAD，ACEDBF90，ABCD，AB+BCBC+CD，即ACDB，在RtACE和RtDBF中，AE=DFAC=DB，RtACERtDBF（HL），CEFB，在CEG和BFG中，ECG=FBG=90EGC=BGFEC=FB，CEGBFG（AAS），CGBG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：CEAD，BFAD，ACEDBF90，ABCD，ABBCCDBC，即ACDB，在RtACE和RtDBF中，AE=DFAC=DB，RtACERtDBF（HL），CEFB，在CEG和BFG中，ECG=FBG=90EGC=BGFE

20、C=FB，CEGBFG（AAS），CGBG，即EF平分线段BC【题型2 轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】 【例2】（2020秋杭州校级月考）如图，在ABC和BAD中，AC与BD相交于点E，已知ADBC，另外只能从下面给出的三个条件DABCBA，DCDBACAB 选择其中的一个用来证明在ABC和BAD全等，这个条件是 （填写编号），并证明ABCBAD【解题思路】选择条件，根据全等三角形的判定定理SAS进行证明即可【解答过程】解：这个条件是：，证明如

21、下：在ABD与BAC中，BC=ADCBA=DABBA=AB，ABCBAD（SAS）【变式2-1】如图，ABAC，BEAC于E，CDAB于D，BE、CD交于点O，求证：OBOC【解题思路】证ABEACD，推出BC，ADAE，求出BDCE，证BDOCEO，根据全等三角形的性质推出即可【解答过程】证明：BEAC，CDAB，ADCAEB90，在ABE和ACD中A=AAEB=ADCAB=AC ABEACD （AAS），BC，ADAE，ABAC，BDCE，在BDO和CEO中DOB=EOCB=CBD=CE BDOCEO （AAS），OBOC【变式2-2】（2020秋海珠区校级期中）如图，PBAB，PCAC，

22、PBPC，D是AP上一点求证：BDPCDP【解题思路】求出ABPACP90，根据HL推出RtABPRtACP，根据全等三角形的性质得出BPDCPD，根据SAS推出BPDCPD，即可得出答案【解答过程】证明：PBAB，PCAC，ABPACP90，在RtABP和RtACP中AP=APPB=PC RtABPRtACP（HL），BPDCPD，在BPD和CPD中PB=PCBPD=CPDPD=PD BPDCPD，BDPCDP【变式2-3】如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于M，ANBE干N求证：AMAN【解题思路】利用已知条件先证明DBCEBC，再证明AMDANE，即可解答【解答过程】

23、解：ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，ADBDAEEC，BC，在DBC和EBC中BD=ECB=CBC=CB DBCEBC，BDCBDE，BDCADM，BECAEN，ADMAEN，在AMD和ANE中AMD=ANE=90ADM=AENAD=AEAMDANEAMAN【题型3 旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】 【例3】（2020秋渝水区校级期中）如图，ABAC，ADAE，BACDAE求证：ABDACE【解题思路】根据等式的性质得出BADCAE

24、，利用SAS证明ABD与ACE全等，进而解答即可【解答过程】证明：BACDAE，BACCADDAECAD，BADCAE，在ABD与ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），ABDACE【变式3-1】（2020秋怀宁县期末）如图，已知：ADAB，AEAC，ADAB，AEAC猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想【解题思路】证明ACDAEB，根据全等三角形的性质得到CDBE，ADCABE，根据三角形内角和定理得出BFDBAD90，证明结论【解答过程】解：猜想：CDBE，CDBE，理由如下：ADAB，AEAC，DABEAC90DAB+BACEAC+BA

25、C，即CADEAB，在ACD和AEB中，AD=ABCAD=EABAC=AE，ACDAEB（SAS），CDBE，ADCABE，AGDFGB，BFDBAD90，即CDBE【变式3-2】（2020秋合江县月考）已知ABC和ADE均为等腰三角形，且BACDAE，ABAC，ADAE（1）如图1，点E在BC上，求证：BCBD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BCBDBE【解题思路】（1）先证DABEAC，再证DABEAC（SAS），得出BDCE，则可得出结论；（2）证明DABEAC（SAS），得出BDCE，进而得出结论【解答过程】（1）证明：BACDAE，BACBAEDAEBAE，即DAB

26、EAC，又ABAC，ADAE，DABEAC（SAS），BDCE，BCBE+CEBD+BE；（2）证明：BACDAE，BAC+EABDAE+EAB，即DABEAC，又ABAC，ADAE，DABEAC（SAS），BDCE，BCCEBEBDBE【变式3-3】（2021春浦东新区期末）如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90（1）当点D在AC上时，如图，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图中的ADE绕点A顺时针旋转（090），如图，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由【解题思路】（1）延长BD交CE于F，易证EACDAB，可得BDC

27、E，ABDACE，根据AEC+ACE90，可得ABD+AEC90，即可解题；（2）延长BD交CE于F，易证BADEAC，即可证明EACDAB，可得BDCE，ABDACE，根据ABC+ACB90，可以求得CBF+BCF90，即可解题【解答过程】证明：（1）延长BD交CE于F，在EAC和DAB中，AE=ADEAC=DABAC=AB，EACDAB（SAS），BDCE，ABDACE，AEC+ACE90，ABD+AEC90，BFE90，即ECBD；（2）延长BD交CE于F，BAD+CAD90，CAD+EAC90，BADEAC，在EAC和DAB中，AD=AEBAD=EACAB=AC，EACDAB（SAS）

28、，BDCE，ABDACE，ABC+ACB90，CBF+BCFABCABD+ACB+ACE90，BFC90，即ECBD【题型4 一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDDE，ABAC，CEDE，那么一定有B=CAE. 【常见模型】【例4】（2020秋覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作ABC，使ABAC，连接BD，CE（1）如图，若BAC90，BDm，CEm，求证：ABDACE；（2）如图，若BDAAECBAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由【解题思路】（1）根据BD直线m，CE直线m得BDACEA90，而BAC90，根

29、据等角的余角相等得CAEABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA；（2）由BDAAECBAC，就可以求出BADACE，进而由ASA就可以得出BADACE，就可以得出BDAE，DACE，即可得出结论【解答过程】解：（1）证明：如图，D，A，E三点都在直线m上，BAC90，BAD+CAE90，BDm，CEm，ADBCEA90，BAD+ABD90，ABDCAE，在ABD和ACE中，ADB=AECABD=CAEAB=AC，ABDACE（AAS）；（2）DEBD+CE理由是：如图，BDAAECBAC，由三角形内角和及平角性质，得：BAD+ABDBAD+CAECAE+ACE，ABDCAE，BADACE

30、，在ABD和ACE中，ABD=CAEAB=ACBAD=ACE，ABDACE（ASA），BDAE，ADCE，DEAD+AEBD+CE【变式4-1】（2020春香坊区期末）如图，在ABC中，点D是边BC上一点，CDAB，点E在边AC上，且ADDE，BADCDE（1）如图1，求证：BDCE；（2）如图2，若DE平分ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与ADE相等的角（ADE除外）【解题思路】（1）由“SAS”可证ABDDCE，可得BDCE；（2）由全等三角形的性质可得BC，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解【解答过程】解：（1）在ABD和DCE中，AB=CDBAD=CDEAD=D

31、E，ABDDCE（SAS），BDCE；（2）ABDDCE，BC，DE平分ADC，ADECDEBAD，ADCB+BADADE+CDE，BADEBADEDCC，与ADE相等的角有EDC，BAD，B，C【变式4-2】（2020春历下区期中）CD是经过BCA定点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E、F在射线CD上，若BCA90，90，例如图1，则BE CF，EF |BEAF|（填“”，“”，“”）；若0BCA180，且+BCA180，例如图2，中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过BCA外部，且BCA，请直接写出

32、线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）【解题思路】（1）求出BECAFC90，CBEACF，根据AAS证BCECAF，推出BECF，CEAF即可；求出BECAFC，CBEACF，根据AAS证BCECAF，推出BECF，CEAF即可；（2）求出BECAFC，CBEACF，根据AAS证BCECAF，推出BECF，CEAF即可【解答过程】解：（1）如图1，E点在F点的左侧，BECD，AFCD，ACB90，BECAFC90，BCE+ACF90，CBE+BCE90，CBEACF，在BCE和CAF中，EBC=ACFBEC=AFCBC=AC，BCECAF（AAS），BECF，CEAF，EFCFCEBE

33、AF，当E在F的右侧时，同理可证EFAFBE，EF|BEAF|；故答案为，：中两个结论仍然成立；证明：如图2，BECCFAa，+ACB180，CBEACF，在BCE和CAF中，EBC=ACFBEC=AFCBC=AC，BCECAF（AAS），BECF，CEAF，EFCFCEBEAF，当E在F的右侧时，如图3，同理可证EFAFBE，EF|BEAF|；（2）EFBE+AF理由是：如图4，BECCFAa，aBCA，又EBC+BCE+BEC180，BCE+ACF+ACB180，EBC+BCEBCE+ACF，EBCACF，在BEC和CFA中，EBC=ACFBEC=AFCBC=AC，BECCFA（AAS），

34、AFCE，BECF，EFCE+CF，EFBE+AF【变式4-3】（2020秋余杭区月考）如图，点B、C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求证：ABECAF应用：如图，在ABC中，ABAC，ABBC，点D在边BC上，且CD2BD，点E，F在线段AD上12BAC，若ABC的面积为15，求ABE与CDF的面积之和【解题思路】（1）由“ASA”可证ABECAF；（2）由“ASA”可证ABECAF，由全等三角形的性质可得SABESCAF，由三角形的面积关系可求解【解答过程】证明：（1）12BAC，且1BAE+ABE，2FA

35、C+FCA，BACBAE+FAC，BAEFCA，ABEFAC，且ABAC，ABECAF（ASA）（2）12BAC，且1BAE+ABE，2FAC+FCA，BACBAE+FAC，BAEFCA，ABEFAC，且ABAC，ABECAF（ASA）SABESCAF，CD2BD，ABC的面积为15，SACD10SABE+SCDF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明ABECAF是本题的关键【题型5 倍长中线模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关

36、知识来解决问题的方法【常见模型】 【例5】（2020秋津南区校级期中）已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF【解题思路】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到ADCGDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF【解答过程】证明：如图，延长AD到点G，使得ADDG，连接BGAD是BC边上的中线（已知），DCDB，在ADC和GDB中，AD=DGADC=GDB(对顶角相等)DC=DB ADCGDB（SAS），CADG，BGAC又BEAC，BEBG，BEDG，BE

37、DAEF，AEFCAD，即：AEFFAE，AFEF【变式5-1】（2020春大庆期末）如图ABAE，ABAE，ADACADAC，点M为BC的中点，求证：DE2AM【解题思路】延长AM至N，使MNAM，证AMCNMB，推出ACBNAD，求出EADABN，证EADABN即可【解答过程】证明：延长AM至N，使MNAM，连接BN，点M为BC的中点，CMBM，在AMC和NMB中AM=MNAMC=NMBCM=BM AMCNMB（SAS），ACBN，CNBM，ABAE，ADAC，EABDAC90，EAD+BAC180，ABNABC+C180BACEAD，在EAD和ABN中AE=ABEAD=ABNAD=BN，

38、ABNEAD（SAS），DEAN2AM【变式5-2】（2020秋西城区校级期中）如图，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BFCG【解题思路】延长FE至Q，使EQEF，连接CQ，根据SAS证BEFCEQ，推出BFCQ，BFEQ，根据平行线性质和角平分线性质推出GGFABFE，推出GQ，推出CQCG即可【解答过程】证明：延长FE至Q，使EQEF，连接CQ，E为BC边的中点，BECE，在BEF和CEQ中BE=CEBEF=CEQEF=EQ，BEFCEQ，BFCQ，BFEQ，AD平分BAC，CADBAD，EFAD，CADG，BADGFA，GGFA，GFABFE，BFEQ（已证），GQ，CQCG，CQBF，BFCG【变式5-3】（2020秋安陆市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧【探究与发现】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使EDAD，连接BE，写出图中全等的两个三角形 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP