2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型（举一反三）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【变式1-1】（2020秋长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16，高BC12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离【变式1-2】（2020秋碑林区校级月考）如图，透

2、明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【变式1-3】（2020秋淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB18cm，BC12cm，BF10cm，点M在棱AB上，且AM6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿

3、北偏东35方向航行，乙船沿南偏东55向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式2-1】（2020春孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45方向航行，乙轮船向南偏西45方向航行已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【变式2-2】（2020春鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治已知C岛在基地A的北偏东58方向且距基地A3

4、2海里，在B处的北偏西32的方向上军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【变式2-3】（2020春灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在

5、城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由【变式3-1】（2021春南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【变式3-2】（2020秋雁江区期末

6、）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式3-3】（2020秋内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC300km，BC400

7、km，又AB500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域（1）求ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CECF250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【变式4-1】（2020秋玄武区期末）如图

8、是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC4m，BE1m求滑道AC的长度【变式4-2】（2020秋阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度【变式4-3】（2020秋惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A，那么梯子的底端B在水平

9、方向滑动的距离BB为多少米？【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春合肥期中）九章算术是我国古代数学的经典著作书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【变式5-1】（2021春汉阳区期中）“引葭赴岸”是九章算术中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的

10、方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图）问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【变式5-2】（2020春安庆期中）九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC中，ACB90，AC+AB10，BC4，求AC的长【变式5-3】（2020庐阳区一模）九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会问甲乙行各几何”大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3乙一直向东走，甲先向南走10步，

11、后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲、乙各走了多远？【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图小敏经过现场测量得知：CD1米，AD15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度【变式6-1】（2020秋宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因

12、，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB1.5千米，CH1.2千米，HB0.9千米（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【变式6-2】（2021春越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：测得BD的长度为8米：（注：BDCE）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；牵线放风筝的松松身高1.6米（1）求风筝的高度CE（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少

13、米？【变式6-3】（2020秋荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB1.8m，BC2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由 专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【分

14、析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答【解答】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长在RtABC中，BC55cm，AC10+6+10+6+10+648（cm）由勾股定理，得AB2AC2+BC25329所以AB73（cm）因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm【点评】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键【变式1-1】（2020秋长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面

15、圆的直径AB=16，高BC12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=1216=8（cm），BP=12BC6（cm），所以AP=82+62=10（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm【点评】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法【变式1-2】（2020秋碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）

16、的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A，连接AB交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BFAB20cm，延长BG，过A作ADBG于D，AEAEDG4cm，BD16cm，RtADB中，由勾股定理得：AD=202-162=12（cm），则该圆柱底面周

17、长为24cm【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力【变式1-3】（2020秋淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB18cm，BC12cm，BF10cm，点M在棱AB上，且AM6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可【解答】解：如图1，AB18cm，BCGF12cm，BF10cm，BM18612，BN10+616，MN=122+162=20（cm）；如图2，

18、AB18cm，BCGF12cm，BF10cm，PM186+618，NP10，MN=182+102=2106（cm）如图3中，MN=222+62=2130（cm），2021062130，蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35方向航行，乙船沿南偏东55向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【

19、分析】根据已知判定CAB为直角，根据路程公式求得AC的长再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度【解答】解：甲的速度是30海里/时，时间是2小时，AC60海里EAC35，FAB55，CAB90BC100海里，AB=1002-602=80海里乙船也用2小时，乙船的速度是40海里/时【点评】此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答【变式2-1】（2020春孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45方向航行，乙轮船向南偏西45方向航行已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【

20、分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程速度时间，根据勾股定理解答即可【解答】解：甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45方向航行，乙轮船向南偏西45方向航行，AOBO，甲以20海里/时的速度向南偏东45方向航行，OB20240（海里），AB50海里，在RtAOB中，AO=AB2-OB2=502-402=30，乙轮船平均每小时航行30215海里【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单【变式2-2】（2020春鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名

21、患病的渔民到基地的医院救治已知C岛在基地A的北偏东58方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32的方向上军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【分析】先根据方向角得出ACD是直角三角形，在RtACB中，根据勾股定理可求BC，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间【解答】解：根据题意，得CAB32，CBA58，则C180325890，在RtACB中，BC=AB2-AC2=24（海里），则AC+CB32+2456（海里），56401.4（小时）故至少需要1.4小时长时间能把患病渔民送到基地【点评】考查了方向角，勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理

22、求出AC的长【变式2-3】（2020春灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来

23、求甲乙的距离【解答】解：（1）由题意得：CBA902367，AC120660=12（海里），BC50660=5（海里），AB13（海里），AC 2+BC 2AB 2，ABC是直角三角形，CBA67，CAB23，甲的航向为北偏东67；（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为：120360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50360=2.5（海里），3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：62+252=6.5（海里）【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（20

24、21春江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由【分析】由勾股定理计算出小汽车4秒行驶的路程，再计算出速度，比较即可【解答】解：如图，AB21，BC75，在RtABC中，由勾股定理得：AC=BC2-AB2=752-212=72m，72418米/秒64.8千米/时60千米/时，超速了【点评】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键【变式3-1】（2021春南川区期

25、中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BPBQ800米，求得PQ1600米，于是得到结论【解答】解：小明能听到宣传，理由：村庄A到公路MN的距离为600米1000米，小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到

26、Q点小明听不到广播，则APAQ1000米，AB600米，BPBQ=10002-6002=800（米），PQ1600米，小明听到广播的时间为：16002506.4（分钟），他总共能听到6.4分钟的广播【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意【变式3-2】（2020秋雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟5

27、0米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间【解答】解：（1）学校C会受噪声影响理由：如图，过点C作CDAB于D，AC150m，BC200m，AB250m，AC2+BC2AB2ABC是直角三角形ACBCCDAB，150200250CD，CD=150200250=120（m），拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，学校C会受噪声影响（2）当EC130m，FC130m时，正好影响C学校，ED=E

28、C2-CD2=1302-1202=50（m），EF100（m），拖拉机的行驶速度为每分钟50米，100502（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答【变式3-3】（2020秋内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC300km，BC400km，又AB500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域（1）求A

29、CB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CECF250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，进而得出ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间【解答】解：（1）AC300km，BC400km，AB500km，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，ACB90； （2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD

30、AB，ABC是直角三角形，ACBCCDAB，300400500CD，CD240（km），以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，海港C受台风影响； （3）当EC250km，FC250km时，正好影响C港口，ED=EC2-CD2=70（km），EF140km，台风的速度为20千米/小时，140207（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD

31、），升起云梯到火灾窗口B已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长【解答】解：ACBC，ACB90；根据勾股定理，得BC=172-82=15（米），BD15+1.516.5（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5米【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键【变式4-1】（2020秋玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC4m，BE1m求滑道AC的长度【分析】设ACxm，则

32、AEACxm，ABAEBE（x1）m，在在RtABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案【解答】解：设ACxm，则AEACxm，ABAEBE（x1）m，由题意得：ABC90，在RtABC中，AB2+BC2AC2，（x1）2+42x2解得x8.5AC8.5m【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大【变式4-2】（2020秋阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度【分析】先根据勾股

33、定理求出梯子的长，进而可得出结论【解答】解：在RtACB中，ACB90，BC0.7米，AC2.4米，AB20.72+2.426.25在RtABD中，ADB90，AD2米，BD2+AD2AB2，BD2+226.25，BD22.25，BD0，BD1.5米，CDBC+BD0.7+1.52.2（米）答：教学楼走廊的宽度是2.2米【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用【变式4-3】（2020秋惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2

34、.5米（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB为多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=AB2-OB2=2（米）；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA（20.5）1.5（米），根据勾股定理：OB=AB2-OA2=2（米

35、），所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了21.50.5（米），答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春合肥期中）九章算术是我国古代数学的经典著作书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10

36、x）尺利用勾股定理解题即可【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x2+32（10x）2，解得：x4.55答：原处还有4.55尺高的竹子【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题【变式5-1】（2021春汉阳区期中）“引葭赴岸”是九章算术中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图）问水深和芦苇长各多少

37、？（画出几何图形并解答）【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB的长为10尺，则BC5尺，设出ABABx尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长ABABx尺，则水深AC（x1）尺，因为BE10尺，所以BC5尺在RtABC中，52+（x1）2x2，解之得x13，即芦苇长13尺，水深12尺【点评】此题主要考查学生对题意的理解，熟悉数形结合的解题思想【变式5-2】（2020春安庆期中）九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺

38、，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC中，ACB90，AC+AB10，BC4，求AC的长【分析】直接利用勾股定理进而得出AC的长【解答】解：在ABC中，ACB90，AC2+BC2AB2，AC+AB10，BC4，设ACx，则AB10x，x2+42（10x）2，解得：x=215，答：AC的长为215【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键【变式5-3】（2020庐阳区一模）九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会问甲乙行各几何”大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3乙一直向东

39、走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲、乙各走了多远？【分析】设经x秒二人在B处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数【解答】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB3x，甲共行AC+BC7x，AC10，BC7x10，又A90，BC2AC2+AB2，（7x10）2102+（3x）2，x0（舍去）或x3.5，AB3x10.5，AC+BC7x24.5，答：甲走了24.5步，乙走了10.5步【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（202

40、0秋沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图小敏经过现场测量得知：CD1米，AD15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CGAB，AGCD1米，GCAD15米，设BGx米，则BC（261x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CGAB，AGCD1米，GCAD15米，设BGx米

41、，则BC（261x）米，在RtBGC中，BG2+CG2CB2，x2+152（261x）2，解得x8，BABG+GA8+19（米），小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键【变式6-1】（2020秋宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB1.5千米，CH1.2千米，HB0.9千米（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

42、（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可【解答】解：（1）是，理由是：在CHB中，CH2+BH2（1.2）2+（0.9）22.25，BC22.25，CH2+BH2BC2，CHAB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设ACx千米，在RtACH中，由已知得ACx，AHx0.9，CH1.2，由勾股定理得：AC2AH2+CH2x2（x0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x1.25，1.251.20.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答【变式6-2

43、】（2021春越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：测得BD的长度为8米：（注：BDCE）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；牵线放风筝的松松身高1.6米（1）求风筝的高度CE（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）在RtCDB中，由勾股定理得，CD2BC2BD217282225，所以，CD15（负值舍去），所以，CECD+DE15+1.616.6米，答：风筝的高度

44、CE为16.6米；（2）由题意得，CM9，DM6，BM=DM2+BD2=82+62=10，BCBM7，他应该往回收线7米【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键【变式6-3】（2020秋荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB1.8m，BC2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由【分析】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型【解答】解：能通过；理由：由题意得，运输车从中间过更容易通过储藏室，能通过的最大高度为EF的长度，如图，设点O为半圆的圆心，点P为运输车的外边沿，则OP0.8m，OE1m，OPE90，在RtOPE中，由勾股定理得，EP2OE2OP210.820.36，EP0.6（m），EF0.6+1.82.