2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题2.6 等边三角形-重难点题型（举一反三）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.6 等边三角形-重难点题型【苏科版】【知识点1 等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.【题型1 等边三角形的性质（角度问题）】【例1】（2020秋赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC45，求ACE的度数【变式1-1】（2020秋河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形AB

2、C的BC，CA边上，且BMCN，AM，BN交于点Q求证：BQM60【变式1-2】（2020秋肥东县期末）如图，ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F（1）求EFB的度数；（2）求证：DE2DF【变式1-3】（2020秋郑州期末）如图，已知AOB120，COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60的三角形），OM平分BOC（1）如图1，当AOC30时，DOM ；（2）如图2，当AOC100时，DOM ；（3）如图3，当AOC（0180）时，求DOM的度数，请借助图3填空解：因为AOC，AOB120，所以BOCAOCAOB120，因为O

3、M平分BOC，所以MOC BOC （用表示），因为COD为等边三角形，所以DOC60，所以DOMMOC+DOC （用表示）（4）由（1）（2）（3）问可知，当AOC（0180）时，直接写出DOM的度数（用来表示，无需说明理由）【题型2 等边三角形的性质（规律问题）】【例2】（2021春渠县期末）如图，已知MON30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，均为等边三角形，若OA12，则A6B6A7的边长为（）A16B32C64D128【变式2-1】（2020秋新化县期末）如图，MON30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点

4、B1，B2，B3，在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4均为等边三角形若OA11，则AnBnAn+1的边长为【变式2-2】如图，等边A1C1C2的周长为1，作C1D1A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边A2C2C3；作C2D2A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边A3C3C4；且点A1，A2，A3，都在直线C1C2同侧，如此下去，则A1C1C2，A2C2C3，A3C3C4，AnnCn+1的周长和为 （n2，且n为整数）【变式2-3】（2020秋汉阳区期末

5、）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点 【题型3 等边三角形的性质（动点问题）】【例3】（2021春渭滨区期末）如图，在等边ABC中，AB12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边

6、上运动时，是否存在使AMAN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由【变式3-1】如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动设运动时间为：t（s），当t2时，判断BQP的形状，并说明理由【变式3-2】（2020春市中区期中）如图，在等边ABC中，AB9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟（1）你能用t

7、表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？【变式3-3】（2020秋大武口区期末）如图所示，已知ABC中，ABACBC10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰AMN，

8、如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【题型4 等边三角形的判定】【例4】（2020秋渑池县期末）下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（）ABCD【变式4-1】 （2021春平川区校级期末）下面给出的几种三角形：三个内角都相等有两个外角为120一边上的高也是这边所对的角的平分线三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（）A4个B3个C2个D1个【变式4-2】（2020春福山区期末）在下列结论中：（1）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的

9、等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【变式4-3】（2020春文登区期末）如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有（）A2个B3个C4个D无数个【题型5 等边三角形的判定与性质综合】【例5】（2020秋松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边ABC的各边上，且MPAB于点P，MNBC于点M，PNAC于点N（1）求证：PMN是等边三角形；（2）若AB12cm，求CM的长【变式5-1】（202

10、0秋邵阳县期末）如图，在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC10，求ODE的周长【变式5-2】（2020秋浦城县期中）如图，ABC是等边三角形（1）如图，DEBC，分别交AB、AC于点D、E求证：ADE是等边三角形；（2）如图，ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由【变式5-3】在ABC中，ABAC，BAC120，ADBC，垂足为G，且ADABEDF60，其两边分别交边AB，AC于点E，F（1）求证：ABD是等边三角形；（2）求证

11、：BEAF【题型6 等边三角形中的多结论问题）】【例6】（2020春武侯区校级期末）已知：如图，ABC和DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：ADBE；BMCANC；APM60；ANBM；CMN是等边三角形其中，正确的有（）A2个B3个C4个D5个【变式6-1】（2021春靖边县期末）如图，已知ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DEAB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：DEF一定为等腰三角形；CFG

12、一定为等边三角形；FDC可能为等腰三角形其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【变式6-2】（2020秋勃利县期末）如图，在ABC中，ACB90，D是AB上的点，过点D作DEAB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，DCADAC，则下列结论正确的有（）DCBB；CD=12AB；ADC是等边三角形；若E30，则DEEF+CFABCD【变式6-3】（2020秋遂宁期末）如图，将含有30角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：DACDCA；ED为AC的垂直平分线；EB平分AED；ABD为等边三角形其中正确的是 （填

13、序号）专题2.6 等边三角形-重难点题型【苏科版】【知识点1 等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.【题型1 等边三角形的性质（角度问题）】【例1】（2020秋赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC45，求ACE的度数【解题思路】依据等边三角形三线合一的性质，即可得到AD垂直平分BC；利用垂直平分线的性质即可得到ECEB，进而得

14、到ECD的度数；再根据角的和差关系即可得出结论【解答过程】解：等边三角形ABC中，ADBC，D是BC的中点，AD垂直平分BC，EBEC，EBCECB45，又ACB60，ACEACBECB604515【变式1-1】（2020秋河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BMCN，AM，BN交于点Q求证：BQM60【解题思路】根据BMCN可得CMAN，易证AMCBNA，得BNAAMC，根据内角和为180即可求得BQMACB60，即可解题【解答过程】证明：BMCN，BCAC，CMAN，又ABAC，BANACM，AMCBNA，则BNAAMC，MAN+ANB+AQN180MAN+A

15、MC+ACB180，AQNACB，BQMAQN，BQMAQNACB60【变式1-2】（2020秋肥东县期末）如图，ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F（1）求EFB的度数；（2）求证：DE2DF【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出ACBC，ACBB60，求出CDCE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出E30，求出BFE即可；（2）连接BD，求出BDDE，根据含30角的直角三角形的性质得出BD2DF，即可得出答案【解答过程】（1）解：ABC是等边三角形，ACBC，ACBB60，D为AC的中点，ADCD=12AC，CE=12BC

16、，CDCE，E+CDEACB60，ECDE30，B60，EFB180603090；（2）证明：连接BD，ABC是等边三角形，ABBC，ABC60，D为AC的中点，DBCABD=12ABC30，E30，DBCE，DEBD，BFE90，ABD30，BD2DF，即DE2DF【变式1-3】（2020秋郑州期末）如图，已知AOB120，COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60的三角形），OM平分BOC（1）如图1，当AOC30时，DOM15；（2）如图2，当AOC100时，DOM50；（3）如图3，当AOC（0180）时，求DOM的度数，请借助图3填空解：因为AOC，AOB120，所以BOCA

17、OCAOB120，因为OM平分BOC，所以MOC12BOC12-60（用表示），因为COD为等边三角形，所以DOC60，所以DOMMOC+DOC12（用表示）（4）由（1）（2）（3）问可知，当AOC（0180）时，直接写出DOM的度数（用来表示，无需说明理由）【解题思路】（1）首先求出BOC90，利用角平分线可得COM45，再利用角的和差可得答案；（2）同（1）的思路；（3）首先求出BOC120，利用角平分线可得COM=12-60，再利用角的和差可得答案；（4）根据（3）的思路可得答案【解答过程】解：（1）AOC30，AOB120，BOC1203090，OM平分BOC，COM90245，MO

18、D604515故答案为：15（2）AOC100，AOB120，BOC12010020，OM平分BOC，COM20210，MOD601050故答案为：50（3）解：因为AOC，AOB120，所以BOCAOCAOB120，因为OM平分BOC，所以MOC=12BOC=12-60（用表示），因为COD为等边三角形，所以DOC60，所以DOMMOC+DOC=12（用表示）故答案为：12，12-60，12（4）当AOC（0180）时，DOM=12因为AOC，AOB120，所以BOCAOCAOB120，因为OM平分BOC，所以MOC=12BOC=12-60，因为COD为等边三角形，所以DOC60，所以DOM

19、MOC+DOC=12【题型2 等边三角形的性质（规律问题）】【例2】（2021春渠县期末）如图，已知MON30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，均为等边三角形，若OA12，则A6B6A7的边长为（）A16B32C64D128【解题思路】由等边三角形的性质得到B1A1A260，A1B1A1A2，再由三角形外角的性质求出A1B1O30，则A1B1A1A2OA1，同理得A2B2A2A3OA22OA1，A3B3A3A422OA1，A4B4A4A523OA1，由此得出规律AnBnAnAn+12n1OA12n，即可求解【解答过程

20、】解：A1B1A2为等边三角形，B1A1A260，A1B1A1A2，A1B1OB1A1A2MON603030，A1B1OMON，A1B1OA1，A1B1A1A2OA1，同理可得A2B2A2A3OA22OA1，A3B3A3A4OA32OA222OA1，A4B4A4A5OA42OA323OA1，AnBnAnAn+12n1OA12n，A6B6A7的边长：A6B62664，故选：C【变式2-1】（2020秋新化县期末）如图，MON30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4均为等边三角形若OA11，则AnBnAn+1的边长为2n1【

21、分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1A2B2A3B3，以及A2B22B1A2，得出A3B34B1A24，A4B48B1A28，A5B516B1A2进而得出答案【解答】解：A1B1A2是等边三角形，A1B1A2B1，341260，2120，MON30，11801203030，又360，5180603090，MON130，OA1A1B11，A2B11，A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，111060，1360，41260，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3，16730，5890，A2B22B1A2，B3A32B2A3，A3B34B1A24，A4B48B1A28，A5B

22、516B1A216，以此类推：AnBnAn+1的边长为 2n1故答案是：2n1【变式2-2】如图，等边A1C1C2的周长为1，作C1D1A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边A2C2C3；作C2D2A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边A3C3C4；且点A1，A2，A3，都在直线C1C2同侧，如此下去，则A1C1C2，A2C2C3，A3C3C4，AnnCn+1的周长和为2n-12n-1（n2，且n为整数）【分析】根据等边三角形的性质分别求出A1C1C2，A2C2C3，A3

23、C3C4，AnnCn+1的周长即可解决问题【解答】解：等边A1C1C2的周长为1，作C1D1A1C2于D1，A1D1D1C2，A2C2C3的周长=12A1C1C2的周长=12，A1C1C2，A2C2C3，A3C3C4，AnnCn+1的周长分别为1，12，122，12n-1，A1C1C2，A2C2C3，A3C3C4，AnnCn+1的周长和为1+12+122+12n-1=2n-12n-1故答案为2n-12n-1【变式2-3】（2020秋汉阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚

24、动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点A，C【解题思路】先作直线y1，以C为圆心以1为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点A、B经过点（2，1），同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论【解答过程】解：由题意可知：第一次滚动：点A、B经过点（2，1），第二次滚动：点B、C经过点（3，1），第三次滚动：点A、C经过点（4，1），第四次滚动：点A、B经过点（5，1），发现，每三次一循环，所以（20201）3673，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2020，1）的是点A、C，故答案为：A，C【题型3 等边三角形的性质（动点问题）】【

25、例3】（2021春渭滨区期末）如图，在等边ABC中，AB12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AMAN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由【解题思路】（1）首先根据M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；（2）首先假设AMN是等腰三角形，可证出ACMABN，

26、可得CMBN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值【解答过程】解：（1）由题意，t1+122t，解得：t12，当t12时，M，N两点重合，此时两点在点C处重合；（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设AMN是等腰三角形，ANAM，AMNANM，AMCANB，ACB是等边三角形，CB，在ACM和ABN中，C=BAMC=ANBAC=AB，ACMABN（AAS），CMBN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN是等腰三角形，CMy12，NB362y，CM

27、NB，y12362y，解得：y16故假设成立当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AMAN【变式3-1】如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动设运动时间为：t（s），当t2时，判断BQP的形状，并说明理由【解题思路】当t2时，可分别计算出BP、BQ的长，再根据B60对BPQ的形状进行判断即可【解答过程】解：BPQ是等边三角形，当t2时，AP212，BQ224，BPABAP624，BQBP，又B60，BPQ是等边三角

28、形【变式3-2】（2020春市中区期中）如图，在等边ABC中，AB9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？【解题思路】（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到ABBC9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去C

29、P即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；（2）若PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PBBQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程P运动的路程18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置【解答过程】

30、解：（1）ABC是等边三角形，BCAB9cm，点P的速度为2cm/s，时间为ts，CP2t，则PBBCCP（92t）cm；点Q的速度为5cm/s，时间为ts，BQ5t；（2）若PBQ为等边三角形，则有BQBP，即92t5t，解得t=97，所以当t=97s时，PBQ为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5t2t18，解得t6，则6s时，两点第一次相遇当t6s时，P走过得路程为2612cm，而91218，即此时P在AB边上，则两点在AB上第一次相遇【变式3-3】（2020秋大武口区期末）如图所示，已知ABC中，ABACBC10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边

31、运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【解题思路】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于A等于60，所以只要AMAN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设AM

32、N是等腰三角形，可证出ACMABN，可得CMBN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值【解答过程】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x1+102x，解得：x10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图，AMt1t，ANABBN102t，AMN是等边三角形，t102t，解得t=103，点M、N运动103秒后，可得到等边三角形AMN（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设AMN是等腰三角形，ANAM，AMNANM，AMCANB，ABBCAC，ACB是等边三角

33、形，CB，在ACM和ABN中，C=BAMC=ANBAC=AB，ACMABN（AAS），CMBN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN是等腰三角形，CMy10，NB302y，CMNB，y10302y，解得：y=403故假设成立当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN，此时M、N运动的时间为403秒声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布【题型4 等边三角形的判定】【例4】（2020秋渑池县期末）下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角

34、形其中是等边三角形的有（）ABCD【解题思路】根据等边三角形的判定判断【解答过程】解：两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；这是等边三角形的判定2，故正确；三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；根据线段的垂直平分线的性质可以证明三边相等，故正确所以都正确故选：D【变式4-1】 （2021春平川区校级期末）下面给出的几种三角形：三个内角都相等有两个外角为120一边上的高也是这边所对的角的平分线三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（）A4个B3个C2个D1个【解题思路】根据等边三角形的判定定理、三角形的外角的概念、三角形的面积公式判断即可【解答过程】解：

35、三个内角都相等的三角形是等边三角形；有两个外角为120，则两个内角都是60，这个三角形是等边三角形；一边上的高也是这边所对的角的平分线的三角形是等腰三角形；根据三角形的面积公式可知，三条边上的高相等的三角形是等边三角形，故选：B【变式4-2】（2020春福山区期末）在下列结论中：（1）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【解题思路】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；

36、三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题【解答过程】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180，已知有一个外角是120，即是有一个内角是60，有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形该结论正确（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形该结论错误（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形该结论错误（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形正确；故选：C【变式4-3】（2020春文登区期末）如图，AOB120，OP平分AOB

37、，且OP2若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有（）A2个B3个C4个D无数个【解题思路】如图在OA、OB上截取OEOFOP，作MPN60，只要证明PEMPON即可推出PMN是等边三角形，由此即可得结论【解答过程】解：如图在OA、OB上截取OEOFOP，作MPN60OP平分AOB，EOPPOF60，OPOEOF，OPE，OPF是等边三角形，EPOP，EPOOEPPONMPN60，EPMOPN，在PEM和PON中，PEM=PONPE=POEPM=OPN，PEMPON（ASA）PMPN，MPN60，PNM是等边三角形，只要MPN60，PMN就是等边三角形，故这

38、样的三角形有无数个故选：D【题型5 等边三角形的判定与性质综合】【例5】（2020秋松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边ABC的各边上，且MPAB于点P，MNBC于点M，PNAC于点N（1）求证：PMN是等边三角形；（2）若AB12cm，求CM的长【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出ABC，进而得出MPBNMCPNA90，再根据平角的意义即可得出NPMPMNMNP，即可证得PMN是等边三角形；（2）易证得PBMMCNNAP，得出PABMCN，PBMCAN，从而求得BM+PBAB12cm，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半得出2PBBM，即可求得PB的长，进而得出MC的长【

39、解答过程】解：（1）ABC是正三角形，ABC，MPAB，MNBC，PNAC，MPBNMCPNA90，PMBMNCAPN，NPMPMNMNP，PMN是等边三角形；（2）根据题意PBMMCNNAP，PABMCN，PBMCAN，BM+PBAB12cm，ABC是正三角形，ABC60，2PBBM，2PB+PB12cm，PB4cm，MC4cm【变式5-1】（2020秋邵阳县期末）如图，在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC10，求ODE的周长【解题思路】（1）证明ABCACB60；证明ODEABC60，OEDACB60，

40、即可解决问题（2）证明BDOD；同理可证CEOE；即可解决问题【解答过程】解：（1）ODE是等边三角形；理由如下：ABC是等边三角形，ABCACB60；ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60，ODE为等边三角形（2）OB平分ABC，ODAB，ABODOB，ABODBO，DOBDBO，BDOD；同理可证CEOE；ODE的周长BC10【变式5-2】（2020秋浦城县期中）如图，ABC是等边三角形（1）如图，DEBC，分别交AB、AC于点D、E求证：ADE是等边三角形；（2）如图，ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得到BC60，根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可；（2）证明BADCAE，得到BDCE即可证明【