01 模块一　三角函数与解三角形、平面向量 【答案】作业手册.docx

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1、模块一三角函数与解三角形、平面向量限时集训(一)1.A解析 令2x-3=k,kZ,得x=6+k2,kZ,当k=0时,x=6,所以函数f(x)图象的一个对称中心是6,0.故选A.2.B解析 因为函数f(x)的一个周期为4,且C,D选项中函数的最小正周期为8,所以排除C,D.对于A,当x=2时,f(2)=sin22=sin =0,所以直线x=2不是该函数图象的对称轴,排除A.对于B,当x=2时,f(2)=cos22=cos =-1,所以直线x=2是该函数图象的对称轴.故选B.3.D解析 观察图象得f(x)=|2cos(2x+)+1|02的图象过点(0,2),则f(0)=|2cos +1|=2,得c

2、os =12,又00,所以=2T=2,则f(x)=sin(2x+).易知函数f(x)的图象过点6,-1,所以sin26+=-1,所以3+=-2+2k(kZ),即=-56+2k(kZ),不妨令k=0,则=-56,所以f(x)=sin2x-56,于是f-512=sin2-512-56=sin-53=32.故选D.6.D解析 由2k+2x+42k+32,kZ,0,得2k+4x2k+54,kZ,即函数f(x)的单调递减区间为2k+4,2k+54,kZ.若函数f(x)在区间2,上单调递减,则22k+4,kZ,2k+54,kZ,解得8k+128k+54,kZ,又0,所以k=0,所以的取值范围是12,54.

3、故选D.7.A解析 因为BCx轴,所以f(x)图象的一条对称轴方程为x=122+23=712,所以T4=712-3=4(T为f(x)的最小正周期),则T=,所以=2T=2,又23+=+2k,kZ,且0,所以=3,故f(x)=sin2x+3.当x0,4时,因为不等式f(x)m-sin 2x恒成立,所以mf(x)+sin 2x=sin2x+3+sin 2x=32sin 2x+32cos 2x=3sin2x+6恒成立.令g(x)=3sin2x+6,因为x0,4,所以2x+66,23,所以sin2x+612,1,所以g(x)=3sin2x+632,3,所以m32.故选A.8.AD解析 f(x)=cos

4、(x+),因为f(x)的最大值是2,所以=2,所以f(x)=sin(2x+),又-3,0是f(x)图象的一个对称中心,所以2-3+=k,kZ,所以=k+23,kZ,又|2,所以=-3,所以f(x)=sin2x-3.对于A,f(x)的最小正周期T=22=,故A正确;对于B,将f(x)的图象向左平移3个单位长度,得到y=sin2x+3-3=sin2x+3的图象,该图象不关于原点对称,故B不正确;对于C,若x3,34,则2x-33,76,所以f(x)在区间3,34上有增有减,故C不正确;对于D,若x(0,5),则2x-3-3,293,所以f(x)在区间(0,5)上有且仅有5个极大值点,故D正确.故选

5、AD.9.AD解析 对于A,由图象可得,T4=712-3=4(T为f(x)的最小正周期),所以T=,则=2=2,故A正确.对于B,由图象可得,A=2,所以f(x)=2sin(2x+),根据图象可得2712+=32+2k,kZ,所以=3+2k,kZ,又-22,所以=3,所以f(x)=2sin2x+3,故B错误.对于C,因为-1x1,所以-2+32x+32+3.因为0,所以26,所以2+36+3=2.因为y=sin x在-2,2上单调递增,在2,32上单调递减,所以f(x)在-1,1上不单调,故C错误.对于D,因为f(x)=2sin2x+3,所以将函数f(x)的图象向左平移12个单位长度,可得fx

6、+12=2sin2x+12+3=2sin2x+2=2cos 2x的图象,故D正确.故选AD.10.ACD解析 因为点B0,22在f(x)的图象上,所以f(0)=cos =22,又0,所以=4.因为f(x)图象的一个对称中心是A8,0,所以8+4=2+k,kZ,则=2+8k,kZ,又00,(0,2)的图象的一条对称轴为直线x=-6,-6+=k1+2(k1Z) , =k1+2+6 (k1Z) .由x+k1+2+6=k2+2(k1,k2Z) ,令k=k2-k1 ,则kZ,得x=k-6(kZ),若f(x) 在,43上单调,则存在kZ,使得k-6,(k+1)-643,解得67k23(k+1),由67k2

7、3(k+1),解得k72,当k=3时,取得最大值83.12.-2,2解析 因为f(x)=2sin(2x+),所以将f(x)的图象向右平移8个单位长度后得到g(x)=2sin2x-8+=2sin2x-4+的图象,又g(x)为偶函数,所以-4+=2+k,kZ,解得=34+k,kZ.因为|0,0)取特殊函数y=sin x,若一条直线与函数y=sin x的图象有且仅有两个切点,设为P(x0,sin x0),Q(x0,sin x0),因为y=cos x,所以cos x0=cos x0,所以x0=x0+2k,kZ或x0=-x0+2k,kZ.当x0=x0+2k,kZ时,sin x0=sin x0,不符合题意

8、;当x0=-x0+2k,kZ时,sin x0=-sin x0,符合题意.即若一条直线与函数y=sin x的图象有且仅有两个切点,则这两个切点关于点(k,0),kZ对称.因为k1,k2是满足条件的k所有可能取值中最大的两个值,且k1k2,所以两条直线的位置可以如图所示,斜率为k1的直线过点(,0),设切点为A(x1,sin x1),C(2-x1,-sin x1);斜率为k2的直线过点(2,0),设切点为B(x2,sin x2),D(4-x2,-sin x2),由图可知-2x2x10.易得k1=cos x1=-sin x1-x1,k2=cos x2=-sin x22-x2,即tan x1=x1-,

9、tan x2=x2-2,根据函数零点存在定理得-2x2x1g(x2),即sin x1x1-sin x2x2-,即sin x1sin x2x1-x2-,得k1k2=sin x1sin x2x2-2x1-x1-x2-x2-2x1-=x2-2x2-=1+-x21+2=53,由-2x2x1-3,得-1sin x2sin x10,得sin x1sin x2(0,1),故k1k2=sin x1sin x2x2-2x1-2-x2-x12+2+3=15873,所以53k1k20,当x6,2时,f(x)0,故函数f(x)在-2,6上单调递增,在6,2上单调递减,结合周期性,可知C正确;作出函数y=f(x),y=

10、32的大致图象如图所示,由图可知函数y=f(x)-32在-,上有4个零点,故D正确.故选BCD. 15.AD解析 函数f(x)=Asin(x+),则f(x)=Acos(x+),由图象可知A=3,Acos23+=32,Asin23+=32,解得cos23+=12,sin23+=32,A=3,=3,A选项正确.由cos2+=12,sin2+=32,且0,解得532312,所以的最小值是53.限时集训(二)1.D解析 因为f(x)=cos2x2-sin2x2=cos x,所以函数f(x)的最小正周期T=2.故选D.2.A解析 3sin+2cos2sin-cos=3tan+22tan-1=83,解得t

11、an =2,所以tan+4=tan+tan41-tantan4=2+11-2=-3.故选A.3.B解析 因为sin +cos =63,所以(sin +cos )2=23,即sin2+2sin cos +cos2=23,所以2sin cos =-13,又因为0,所以cos 00.又因为(sin -cos )2=sin2-2sin cos +cos2=1+13=43,所以sin -cos =233.故选B.4.A解析 31+cos36(4sin218+cos72-2cos236-1)sin144=31+2cos218-14sin218+cos(90-18)-cos72-2sin(180-36)=3

12、2cos18(4sin218+sin18-sin18-2)sin36=32cos18(4sin218-2)sin36=32cos18-2cos36sin36=32cos18-sin72=32cos18-sin(90-18)=32cos18-cos18=-32.故选A.5.C解析 tan(+),tan(-)是关于x的方程x2+mx-4=0的两根,tan(+)+tan(-)=-m,tan(+)tan(-)=-4,tan 2=tan (+)+(-)=tan(+)+tan(-)1-tan(+)tan(-)=-m5,又tan 2=2tan1-tan2=431-49=125,-m5=125,解得m=-12

13、.故选C.6.D解析 因为tan -tan =3,且-=6,所以sincos-sincos=sincos-cossincoscos=sin(-)coscos=12coscos=3,整理得cos cos =16,则由cos(-)=cos cos +sin sin =32,整理得sin sin =32-16,所以cos(+)=cos cos -sin sin =16-32+16=13-32,故选D.7.A解析 点(cos2,cos 2)在直线y=-x上,cos 2=-cos2,即2cos2-1=-cos2,解得cos2=13,又0,2,cos =33,sin =1-cos2=63,tan =sin

14、cos=2,则tan+4=tan+tan41-tantan4=2+11-2=-3-22.故选A.8.ABC解析 对于A,cos 82sin 52+sin 82cos 128=cos 82sin 52-sin 82cos 52=sin(52-82)=sin(-30)=-12,故A正确;对于B,sin 15sin 30sin 75=sin 15sin 30cos 15=12sin230=18,故B正确;对于C,cos215-sin215=cos 30=32,故C正确;对于D,tan48+tan721-tan48tan72=tan(48+72)=tan 120=-3,故D错误.故选ABC.9.AC解

15、析 对于A,4个直角三角形的面积之和为9-4=5,故每一个直角三角形的面积为54,故A正确;对于B,C,由题意可知,大正方形的边长为3,小正方形的边长为2,可得3sin -3cos =2,又,互余,所以3sin -3sin =2,故B错误,C正确;对于D,3cos -3sin =2,3sin -3cos =2,且cos =sin ,sin =cos ,则4=9cos sin +9sin cos -9cos cos -9sin sin =9sin2+9cos2-9cos(-)=9-9cos(-),故cos(-)=59,故D错误.故选AC.10.3解析 由sin56-=3cos+6,可得sin-6

16、+=3cos+6,故sin6+=3cos+6,则tan+6=3.11.4-3310解析 f(x)=3sin x+cos x=2sinx+6,f()=2sin+6=85,sin+6=45,又6,56,+63,sin+6=45tan 200,tan 25tan 210,所以a=(1+tan 20)(1+tan 21)4,故选项C中结论正确;对于选项D,因为tan 15=tan45-tan301+tan45tan30=2-3,所以a=(1+tan 20)(1+tan 21)(3-3)2,因为(3-3)2ab,ab=4,所以(3-3)2a2,则36(7-43)a236(7-41.733)=2.448=

17、9-4.10429-172,9+1724,所以a2无解,假设不成立,故选项D中结论不正确.故选ABC.16.-18解析 由题知,1,2,3是cos 4+cos 3=0的三个根,cos 4+cos 3=0可化为cos 4=-cos 3,即cos 4=cos(+3),所以4=+3+2k,kZ或4+3=2k,kZ,解得=+2k,kZ或=-7+2k7,kZ,因为(0,),所以=+2k,kZ不成立,当=-7+2k7,kZ成立时,取k=1,得=7(0,), 取k=2,得=37(0,),取k=3,得=57(0,),取k=4,得=(0,)(舍),不妨令120.又sin B=13,cos B=223,ac=1c

18、osB=324,故SABC=12acsin B=1232413=28.(2)由(1)知ac=324.由正弦定理得b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94,故bsinB=32,则b=32sin B=12.3.解:(1)由题意得tan(A+C)=tanA+tanC1-tanAtanC=3tanAtanC-31-tanAtanC=-3(1-tanAtanC)1-tanAtanC=-3,又A+C=-B,所以tan(A+C)=tan(-B)=-tan B=-3,则tan B=3,又B0,2,所以B=3.(2)因为B=3,所以A=23-C,故cos A+cos C=co

19、s23-C+cos C=-12cos C+32sin C+cos C=12cos C+32sin C=cosC-3.因为ABC为锐角三角形,所以A=23-C0,2且C0,2,可得C6,2,则C-3-6,6,故cosC-332,1,即cos A+cos C的取值范围为32,1.4.解:(1)由题意知,当走私船发现巡逻艇时,走私船在D处,巡逻艇在C处,此时BD=31=3,AC=221=22,由题意知BAC=90-30=60.连接BC,在ABC中,AB=6+2,AC=22,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(6+2)2+(22)2-2(6+2)2212=12,所以BC=23

20、.在ABC中, 由正弦定理得ACsinABC=BCsinBAC,即22sinABC=23sin60,所以sinABC=223223=22,则ABC=45或ABC=135(舍去),所以ACB=180-60-45=75,CBD=180-45-45-60=30.连接CD,在BCD中, CBD=30,BD=3,BC=23,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(23)2+32-2233cos 30=3,所以CD=3, 故当走私船发现巡逻艇时,两船相距3海里.(2)设CE=32t,t0,则DE=3t.在BCD中,由正弦定理得CDsinCBD=BDsinBCD=BCsinBDC,即3

21、sin30=3sinBCD=23sinBDC,所以sinBCD=32,sinBDC=1,故BCD=60,BDC=90,则CDE=135.在CDE中,由正弦定理得CEsinCDE=DEsinDCE,则sinDCE=3tsin13532t=12,故DCE=30或DCE=150(舍去),则ACE=ACB+BCD+DCE=75+60+30=90+75,故巡逻艇应该沿北偏东75方向去追,才能在E处追上走私船.5.解:(1)因为(b-c)sin B=bsin(A-C),所以(b-c)sin B=b(sin Acos C-cos Asin C),所以b2-bc=abcos C-bccos A=a2+b2-c

22、22-b2+c2-a22=a2-c2,则b2+c2-a2=bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又A(0,),所以A=3.(2)由(1)可知S=12bcsin A=34bc,a2=b2+c2-bc,则a2+b2+c2S=433a2+b2+c2bc=4332b2+2c2-bcbc=833bc+cb-433.因为ABC为锐角三角形,所以0C2,023-C2,解得6C2,所以tan C33,+.因为bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=32tanC+12,所以12bc2.令bc=t,则函数y=t+1t12t2在12,1

23、上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以y2,52,即bc+cb2,52,故a2+b2+c2S的取值范围为43,1633.6.解:(1)若选择.在ABC中,由2a=b+2ccos B及余弦定理得2a=b+2ca2+c2-b22ac=b+a2+c2-b2a,整理得a2+b2-c2=ab,则cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,又C(0,),所以C=3.若选择.由2asin Acos B+bsin 2A=23acos C,得asin Acos B+bsin Acos A=3acos C,在ABC中,由正弦定理得sin2Acos B+sin Asin Bcos A=3sin Acos

24、 C,又sin A0,所以sin Acos B+sin Bcos A=3cos C,即sin(A+B)=3cos C,又A+B+C=,所以sin(A+B)=sin C,即sin C=3cos C,即tan C=3,又C(0,),所以C=3.若选择.由3sin C=3-2cos2C2,得3sin C=2-2cos2C2-1=2-cos C,即3sin C+cos C=2,则sinC+6=1,因为C(0,),所以C+66,76,则C+6=2,所以C=3.(2)由(1)知C=3,则ABC+BAC=23,又ABC与BAC的平分线交于点I,所以ABI+BAI=3,故AIB=23.设ABI=,则BAI=3

25、-,且03.在ABI中,由正弦定理得BIsin3-=AIsin=ABsinAIB=23sin23=4,所以BI=4sin3-,AI=4sin ,故ABI的周长为23+4sin3-+4sin =23+432cos-12sin+4sin =23+23cos +2sin =4sin+3+23,由03,得3+323,则当+3=2,即=6时,ABI的周长取得最大值4+23,所以ABI周长的最大值为4+23.提能特训(一)1.B解析 如图,设球O的半径为R,D,E为切点,连接OA,OB,OC,OD,OE,则OAAC,OABODB,OACOEC,ABD=60,ACE=20,AB=3R,AC=Rtan10,又

26、BC=AC-AB=Rtan10-3R=100,R=1001tan10-3=100sin10cos10-3sin10=100sin102sin(30-10)=50sin10sin20=50sin102sin10cos10=25cos10,2R=50cos10500.98550.76,即该球体建筑物的高度约为50.76 m.故选B. 2.C解析 如图,不妨设M在边AB上,N在边AC上,依题意得12AMANsin A=1212ABACsin A,得AMAN=1222=2,所以MN2=AM2+AN2-2AMANcos3=AM2+AN2-AMAN2AMAN-AMAN=AMAN=2,当且仅当AM=AN=2

27、时,等号成立,故MN2,即线段MN长度的最小值为2.故选C. 3.7或167158解析 在ABC中,AB=5,AC=3,cosABC=1314,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,即9=25+BC2-25BC1314,即7BC2-65BC+112=0,解得BC=167或BC=7.若ABBC,则BC=7,由余弦定理可得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=25+9-49253=-12,所以BAC=23,因为AD在BAC的平分线上,所以BAD=CAD=3,所以SABC=1235sin23=12(3+5)ADsin3,解得AD=158.4.解:(1)若选bsinA

28、+B2=csin B,则由正弦定理可得sin BsinA+B2=sin Csin B,0B,sinA+B2=sin C,即sin-C2=sin C,cosC2=2sinC2cosC2,又0C22,sinC2=12,C2=6,解得C=3.若选3CACB=2SABC,则3abcos C=212absin C,故tan C=sinCcosC=3,C(0,),C=3.若选3sin A+cos A=a+bc,则由正弦定理可得3sin A+cos A=sinA+sinBsinC,即3sin Asin C+cos Asin C=sin A+sin B,即3sin Asin C+cos Asin C=sin

29、A+sin(A+C),即3sin Asin C+cos Asin C=sin A+sin Acos C+cos Asin C,又sin A0,故3sin C=1+cos C,即32sin C-12cos C=12,即sinC-6=12.C(0,),C-6-6,56,C-6=6,故C=3.(2)由SABC=12absin C=12ab32=83,解得ab=32.在BCD中,由余弦定理可得BD2=a2+b22-2ab2cos3=a2+b24-12ab2ab2-12ab=16,当且仅当a=b2,即a=4,b=8时取等号,BD4,故线段BD长度的最小值为4.5.解:(1)由sin2C+sin2B-si

30、n2A=sin Bsin C及正弦定理可得c2+b2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=c2+b2-a22bc=12,又A(0,),所以A=3.(2)BDCD=SABDSACD=12ABADsinBAD12ACADsinCAD=ABAC=cb=sinCsinB=sin23-BsinB=sin23cosB-cos23sinBsinB=32tanB+12.因为ABC为锐角三角形,所以0B2,023-B2,解得6B33,所以1232tanB+120,sin B0,所以2a+b23+22sinAsinBsinBsinA=6+42,当且仅当2sin2A=sin2B时取等号,因此2a+b的最小值为6+42.8.解:(1)由ABAC=-1,得bccos A=-1.因为ABC的面积为2,