01 模块一　三角函数与解三角形、平面向量 【正文】听课手册.docx

《01 模块一　三角函数与解三角形、平面向量 【正文】听课手册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《01 模块一　三角函数与解三角形、平面向量 【正文】听课手册.docx（19页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微专题1三角函数的图象与性质微点1由解析式探性质 例1 (多选题)2023湖南雅礼中学一模 已知函数f(x)=sin(3x+)-20,0)性质的考查关键在于单调性、对称性、奇偶性与函数的值域.自测题1.(多选题)2023嘉兴二模 已知函数f(x)=sinx+3(0),下列说法正确的是( )A.若f(x)的最小正周期为,则=2B.若=4,则f(x)在0,8上的最大值为12C.若f(x)在0,2上单调递增,则00)上的偶函数,且f(x)在0,b上的图象是函数g(x)=sin(x+)(0,0)图象的一部分(如图所示),则( )A.f(x)的定义域为-,B.当x=6时,f(x)取得最大值C.当-bx0

2、时,f(x)的单调递增区间为-23,-6D.当-bx0,0)的关键在于三利用:利用最值定A,B,利用最小正周期T定;利用特殊点定.自测题1.已知函数f(x)=sinx+3(0),当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为2.若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,然后再将得到的图象向右平移3个单位长度,得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)12的解集为( )A.6+k,3+k(kZ)B.3+2k,23+2k(kZ)C.12+k,512+k(kZ)D.6+2k,56+2k(kZ)2.(多选题)2023辽宁教研联盟二调 函数f(x)=Acos(x+)A

3、0,0,|0)的图象向左平移5个单位长度后得到函数f(x)的图象,已知f(x)在0,2上有且只有5个零点,则下列结论正确的是( )A.f(x)的图象关于点2,0对称B.f(x)在(0,2)上有且只有5个极值点C.f(x)在0,10上单调递增D.的取值范围是125,2910自测题1.2023广东佛山二模 已知函数f(x)=sin(2x+)|0,则的值为( )A.-6B.6C.-3D.32.2023山东菏泽二模 已知函数f(x)=3sin x-cos x(0)在区间-25,34上单调递增,且在区间0,上只有一个最大值,则的取值范围是( )A.23,83B.23,56C.23,89D.56,891.

4、2021新高考全国卷 下列区间中,函数f(x)=7sinx-6单调递增的区间是( ) A.0,2B.2,C.,32D.32,22.2022新高考全国卷 记函数f(x)=sinx+4+b(0)的最小正周期为T,若23T,且y=f(x)的图象关于点32,2中心对称,则f2=( )A.1B.32C.52D.33.2022全国甲卷 设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )A.53,136B.53,196C.136,83D.136,1964.(多选题)2020全国新高考卷 如图是函数y=sin(x+)的部分图象,则sin(x+)=( ) A.sinx+3B

5、.sin3-2xC.cos2x+6D.cos56-2x5.(多选题)2022新高考全国卷 已知函数f(x)=sin(2x+)(00)在区间0,2有且仅有3个零点,则的取值范围是.7.2021全国甲卷 已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-74f(x)-f430的最小正整数x为.交汇一三角函数与基本函数 1 (多选题)若函数f(x)=|sin x|+e|sin x|,则( )A.函数f(x)为偶函数B.函数f(x)的一个周期为C.函数f(x)在区间(0,)上单调递增D.函数f(x)的最大值为e+1,无最小值自测题(多选题)2023安徽皖江名校联考 若函数f

6、(x)=2sin2xlog2sin x+2cos2xlog2cos x,则( )A.f(x)的最小正周期为B.f(x)的图象关于直线x=4对称C.f(x)的最小值为-1D.f(x)的单调递减区间为2k,4+2k,kZ交汇二三角函数与导数2 (1)2023石家庄联考 设函数f(x)在R上的导函数为f(x),对任意的xR,有f(x)-f(-x)=2sin x,且f(x)cos x在0,+)上恒成立.若f2-t-f(t)cos t-sin t,则实数t的取值范围为( )A.-,4B.4,+C.4,2D.2,+(2) 2023武汉模拟 已知函数f(x)=1+sinx2cosx+sinx,x0,2,则函

7、数f(x)的最小值为.自测题(多选题)2023江苏苏锡常镇四市调研 已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则( )A.f(x)是偶函数,也是周期函数B.f(x)的最大值为332C.f(x)的图象关于直线x=3对称D.f(x)在0,3上单调递增微专题2三角恒等变换微点1给值求值 例1 (1)已知4,2,且sin 2=53,则tan =( ) A.55 B.5C.10D.55或5(2)2023安徽淮北二模 若cos+12=23,则sin2+23=.听课笔记 自测题1.已知sin2+2sin cos -2sin -4cos =0,则cos2-sin cos =( )A.-45B.35C.-3

8、5D.452.2023江苏七市调研 已知cos(40-)+cos(40+)+cos(80-)=0,则tan =( )A.-3B.-33C.33D.3微点2给值求角 例2 2023江苏无锡三模 已知tan =cos1-sin,tan(+)=1+sincos,若0,2,则=( )A.12B.6C.4D.3听课笔记 自测题1.已知(0,),tan 2=sin1+cos,则=( )A.3B.56C.34D.232.已知02,cos 2+cos 2+1=2cos(-)+cos(+),则( )A.+=6B.+=3C.-=6D.-=3微点3综合应用例3 (1)2023浙江金丽衢十二校二联 数学里有一种证明方

9、法叫作Proof without words,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,点C为半圆O上一点,CHAB,垂足为H,记COB=,则由tanBCH=BHCH可以直接证明的三角函数公式是( ) A.tan2=sin1-cosB.tan2=sin1+cosC.tan2=1-cossinD.tan2=1+cossin(2)2023三明三模 在平面直角坐标系中,O(0,0),A(sin ,cos ),Bcos+6,sin+6,当AOB=23时,写出的一个值为 .听课笔记 自测题1.202

10、3江苏无锡联考 已知0,2,sin41+cos4=sincos-2,则tan2=( ) A.155B.53C.1515D.552.2023江苏苏锡常镇四市调研 在平面直角坐标系xOy中,已知点A35,45,将线段OA绕原点按顺时针方向旋转3得到线段OB,则点B的横坐标为.【规律提炼】1.三角化简问题总的方向是变角与变式,达到“角、名和次”以及结构的统一;2.常见技巧涉及换元法、切化弦、整体代换等方法;3.求角问题要考虑对应三角函数值与特殊角之间的关系,考虑是单一值或者多个值. 1.2023新课标卷 已知为锐角,cos =1+54,则sin2=( ) A.3-58B.-1+58C.3-54D.-

11、1+542.2023新课标卷 已知sin(-)=13,cos sin =16,则cos(2+2)=( )A.79B.19C.-19D.-793.2022新高考全国卷 若sin(+)+cos(+)=22cos+4sin ,则( )A.tan(+)=-1B.tan(+)=1C.tan(-)=-1D.tan(-)=14.2021新高考全国卷 若tan =-2,则sin(1+sin2)sin+cos=( )A.-65B.-25C.25D.655.2021全国甲卷 若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =( )A.1515B.55C.53D.153微专题3解三角形微点1结构不良问题例1 在A

12、BC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin Acos B=2sin A-cos Asin B.(1)求sinCsinA的值;(2)若b=3,从下列三个条件中选出一个条件作为已知,使得ABC存在且唯一确定,并求ABC的面积.cos B=1116;sin C=154;ABC的周长为9.自测题2020全国新高考卷 在ac=3,csin A=3,c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=6,?注:如果选择多个条件分别解答,按

13、第一个解答计分.微点2最值范围问题例2 2023嘉兴二模 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)若B=12,求A;(2)求(b+c+a)(b+c-a)ac的取值范围.【规律提炼】1.当限制角的取值范围时,函数方法比不等式方法更具有操作性和普适性.2.在对边对角模型下,若已知a,A,则形如mbnc(m,nR)等结构的取值范围均可利用函数关系等求出.自测题2022新高考全国卷 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.(1)若C=23,求B;(2)求a2+b2c2的最小值.微点3平面向量在解三

14、角形中的应用例3 2023长沙一模 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ab=12tanCtanB+1.(1)求C的大小;(2)若ABC的面积为103,且CD=2DA,求线段BD的长度的最小值.【规律提炼】平面向量在解三角形中的应用侧重于将平面向量的几何特征转化为数量运算,再结合正、余弦定理求解即可.自测题2023山东济南二模 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如图,点G是ABC的重心,且AGBG=0.(1)若GAB=6,求tanGAC的值;(2)求cosACB的取值范围. 1.2023新课标卷 已知在ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.

15、(1)求sin A;(2)设AB=5,求AB边上的高.2.2021新高考全国卷 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cosABC.3.2023新课标卷 记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若ADC=3,求tan B;(2)若b2+c2=8,求b,c.类型一三角形中线例1 2023安徽安庆一模 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,cosB+cosAcosCsinBcosC=43b.(

16、1)若c=23,求sin A;(2)若AB边上的中线长为372,求边AB的长.自测题2023潍坊模拟 设钝角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a2+b2-c2)R=ab2,其中R是ABC外接圆的半径.(1)若B=712,求C的大小;(2)若CD=2DA,CBD=2,证明:ABC为等腰三角形.类型二三角形角平分线例2 2023山东泰安模拟 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足sinAsinC-1=sin2A-sin2Csin2B,且AC.(1)求证:B=2C;(2)已知BD在ABC的平分线上,D在AC边上,若a=6,求线段BD长度的取值范围.

17、自测题2023苏州三模 在ABC中,ABC=2,点D,E在边BC上,BAD=DAE=EAC,且BD=3,DE=5.(1)求边AB的长;(2)求AEC的面积.类型三四边形问题例3 2023福建漳州质检 在平面四边形ABCD中,ABC=2,BCD=34,BD=5,CD=2.(1)求cosCBD;(2)若ABD为锐角三角形,求ABD的面积的取值范围.自测题2023泰安二模 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,cos B=-13.(1)求sin C;(2)若点D在ABC的外接圆上,且ABD=CBD,求线段AD的长.【规律提炼】1.解三角形实际就是利用正余弦定理及三角恒等变

18、换等三角知识解决边角关系问题;2.在解决多三角形问题时,要关注题目中几何性质的应用,如求中线长时可结合平面向量知识,注意角平分线定理的运用,当四点共圆时注意对角互补等.微专题4平面向量微点1基底法应用例1 (1)2023山东潍坊二模 在ABC中,D为边BC上一点,BD=13BC,点E是AD的中点,记AB=a,AC=b,则BE=( )A.-13a+13bB.-23a+16bC.-13a-13bD.23a-16b(2)2023石家庄模拟 在边长为6的正三角形ABC中,若点D满足BD=2DC,则ADBC=.听课笔记 自测题1.2023福建泉州模拟 在正方形ABCD中,E在边CD上,且CE=2ED,A

19、E与对角线BD交于F,则AF=( ) A.13AB+23ADB.34AB+14ADC.14AB+34ADD.13AD+AB2.2023安徽淮南二模 在ABC中,已知ACB=23,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点E满足AE=34AB+14AC,则CDDE=( )A.-58B.-1C.12D.18微点2坐标法应用 例2 2023江苏无锡四校联考 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为2,P为勒洛三角形的弧AC上的点,且PBC=45,则BPCP的值为(

20、)A.4-2B.4+2C.4-22D.4+22听课笔记 自测题1.2023湖南怀化二模 如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则EAEB的最小值为( )A.2116B.32C.34D.22.2023全国甲卷 已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos=( )A.-45B.-25C.25D.45微点3投影法应用例3 (1)2023浙江Z20名校联考 已知点P是边长为1的正十二边形A1A2A12的边上任意一点,则A1PA1A2的最小值为( )A.-3-12B.-3+12C.-3D.-2(2)2

21、023广东佛山一模 如图所示,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=1,则APAC=.听课笔记 自测题1.若向量a=(-1,2),b=(3,-4),则a在b上的投影向量的坐标为( )A.-3325,4425B.3325,-4425C.(33,44) D.(-33,-44)2.2023湖北荆门模拟 已知点O为ABC所在平面内一点,满足2ABAO=|AB|2,2ACAO=|AC|2,则点O为该三角形的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心【规律提炼】1.解决向量问题的主要方法为基底法与坐标法;2.常规模长、夹角、数量积问题主要是探求公式中的相关量问题;3.解决含参问题,除了建立方程组

22、,还常借助向量的几何性质或结合图象处理. 1.2023新课标卷 已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+b)(a+b),则( )A.+=1B.+=-1C.=1D.=-12.2022新高考全国卷 在ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=( )A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n3.2022新高考全国卷 已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=( )A.-6B.-5C.5D.64.2020全国新高考卷 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是( )A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)5.2022全国甲卷 设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)b=.6.2023新课标卷 已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=.7.2023天津卷 在ABC中,A=60,BC=1,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设AB=a,AC=b,则AE=(用a,b表示);若BF=13BC,则AEAF的最大值为.