01 模块一　三角函数与解三角形、平面向量 【答案】听课手册.docx

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1、模块一三角函数与解三角形、平面向量微专题1三角函数的图象与性质微点1例1AC解析 因为f(x)=sin(3x+)的图象关于直线x=8对称,所以38+=2+k,kZ,得=8+k,kZ,又-22,所以=8,所以f(x)=sin3x+8.对于A,fx-24=sin 3x-24+8=sin 3x,所以y=fx-24为奇函数,故选项A正确;对于B,当x-24,524时,3x+80,34,函数f(x)在-24,524上不单调,故选项B不正确;对于C,因为f(x)max=1,f(x)min=-1,|f(x1)-f(x2)|=2,所以|x1-x2|的最小值为f(x)的半个最小正周期,即2312=3,故选项C正

2、确;对于D,将函数f(x)的图象向右平移38个单位长度后,得到y=sin3x-38+8=sin(3x-)=-sin 3x的图象,故选项D不正确.故选AC.【自测题】1.AC解析 对于A,若f(x)的最小正周期为,则2=,所以=2,故A正确;对于B,若=4,则f(x)=sin4x+3,当x0,8时,4x+33,56,所以sin4x+312,1,则f(x)在0,8上的最大值为1,故B不正确;对于C,当x0,2时,x+33,2+3,若f(x)在0,2上单调递增,则32+32,所以00,所以的最小值为52,故D不正确.故选AC.2.k+38,k+78(kZ)解析 由题得,f(x)=1-cos2x2+1

3、2sin 2x+1=22sin2x-4+32,故函数f(x)的最小正周期是.令2k+22x-42k+32(kZ),得k+38xk+78(kZ),故f(x)的单调递减区间是k+38,k+78(kZ).微点2例2(1)BCD(2)-32解析 (1)由题图得g(0)=sin =12,所以=6+2k,kZ,又因为023,则23+6=32+2k,kZ,289,得=2+3k,kZ,094,所以=2,所以g(x)=sin2x+6.由图可知,b=23+T4=23+4=1112,所以f(x)的定义域为-1112,1112,故A错误.当x0,1112时,f(x)=sin2x+6,因为f6=sin2=1为最大值,所

4、以当x=6时,f(x)取得最大值,故B正确.令2+2k2x+632+2k,kZ,得6+kx23+k,kZ,所以f(x)在0,1112上的单调递减区间为6,23,因为函数f(x)为偶函数,所以当-1112x0时,f(x)的单调递增区间为-23,-6,故C正确.当x0,1112时,2x+66,2,令f(x)=sin2x+6=0,得2x+6=或2,则x=512或1112,因为函数f(x)为偶函数,所以当x0),所以f(x)min=-1,f(x)max=1,当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为T2(T为f(x)的最小正周期),即T2=2,则T=,所以=2=2,即f(x)=sin

5、2x+3.将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sinx+3的图象,然后再将得到的图象向右平移3个单位长度,得到g(x)=sin x的图象.由g(x)12,得sin x12,解得6+2kx56+2k,kZ,即不等式g(x)12的解集为6+2k,56+2k,kZ.故选D.2.BC解析 设f(x)的最小正周期为T,根据图象可得12T=1112-712=3,解得T=23,因为0,所以2=23,解得=3,则f712=Acos74+=Acos-4+=0,所以cos-4+=0,又-22,所以-34-44,故-4=-2,解得=-4,A错误;因为f(x)=Acos3x-4,所

6、以f2=Acos32-4=-22A=-23,解得A=223,B正确;将f(x)=223cos3x-4的图象向右平移12个单位长度得到g(x)=223cos3x-4-4=223cos3x-2=223sin 3x的图象,g(x)的定义域为R,因为g(-x)=223sin(-3x)=-223sin 3x=-g(x),所以g(x)为奇函数,C正确;由3x-4-+2k,2k,kZ,解得x-4+2k3,12+2k3,kZ,故f(x)的单调递增区间为-4+2k3,12+2k3,kZ,D错误.故选BC.微点3例3CD解析 由题知f(x)=gx+5=sinx+5,令t=x+5,因为x0,2,所以t5,2+5,所

7、以y=sin t在5,2+5上有且只有5个零点,则52+56,解得1252910,D正确;由以上分析知,f(x)在(0,2)上的极值点个数为5或6,B错误;f2=sin2+5,因为2+575,3320,所以f2的值不为0,A错误;当x0,10时,t5,10+5,因为10+51125,49100,所以y=sin t单调递增,即f(x)在0,10上单调递增,C正确.故选CD.【自测题】1.A解析 因为x3-x2=2(x2-x1)=4x1,所以x2=3x1,x3=7x1,令t1=2x1+,t2=2x2+,t3=2x3+,因为x1,x2, x30,32,所以t1,t2, t3(,3+),|0,所以x3

8、-x1=,结合y=sin t的图象(如图所示),得到t1+t2=,t2+t3=3或t1+t2=3,t2+t3=5.当t1+t2=,t2+t3=3时,8x1+2=,20x1+2=3,解得=-6,此时x1=6,x2=2,x3=76,符合题意;当t1+t2=3,t2+t3=5时,8x1+2=3,20x1+2=5,解得=56,不符合题意,舍去.故选A.2.B解析 依题意,函数f(x)=2sinx-6(0),由x-25,34,0,得x-6-25-6,34-6,因为f(x)在区间-25,34上单调递增,所以-25-6-2且34-62,解得56且89,所以056.当x0,时,x-6-6,-6,因为f(x)在

9、区间0,上只有一个最大值,所以2-652,解得2383.故的取值范围是23,56.故选B.1.A解析 方法一:当x-6-2+2k,2+2k,kZ,即x-3+2k,23+2k,kZ时,函数f(x)单调递增,故选A.方法二:当x0,2时,x-6-6,3,函数f(x)单调递增;当x2,时,x-63,56,函数f(x)不单调递增,同理可知,区间,32,32,2均不是函数f(x)的单调递增区间.故选A.2.A解析 因为23T,即232,所以23.因为y=f(x)的图象关于点32,2中心对称,所以b=2,且32+4=k,kZ,解得=23k-14,kZ,又20,当x(0,)时,x+33,+3.函数f(x)在

10、区间(0,)上恰有三个极值点、两个零点,结合y=sin x的图象可知52+33,解得1360,右侧y0,当=2时,sin3+=0,可得3+=+2k,kZ,=23+2k,kZ,该图象对应的函数解析式可以是y=sin2x+23.对于B,y=sin2x+23=sin2x-3+=-sin2x-3=sin3-2x,故B选项正确.对于C,y=sin2x+23=sin2x+6+2=cos2x+6,故C选项正确.对于D,当x=0时,y=cos56-2x=cos56=-320,与图象不符,故D选项错误.故选BC.5.AD解析 由题意得43+=k(kZ),所以=-43+k(kZ),又00,所以x0,2,若函数f(

11、x)在区间0,2有且仅有3个零点,则需满足426,所以20,则f(x)1或f(x)1,可得0x4,区间0,4内没有整数;易知f56=0,由题图知,当x3,56时,f(x)0,f(x)单调递增,当x2,时,f(x)0且cos x0得f(x)的定义域为2k,2+2k,kZ.对于A,当x0,2时,x+,32,32不在f(x)的定义域内,故选项A错误;对于B,f2-x=2cos2xlog2cos x+2sin2xlog2sin x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故选项B正确;对于C,因为f(x)=sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x,设t=sin2x,所以函数转

12、化为g(t)=tlog2t+(1-t)log2(1-t),t(0,1),则g(t)=log2t-log2(1-t),由g(t)0得12t1,由g(t)0得0t12,所以g(t)在0,12上单调递减,在12,1上单调递增,故g(t)min=g12=-1,即f(x)min=-1,故选项C正确;对于D,因为g(t)在0,12上单调递减,在12,1上单调递增,t=sin2x,所以令0sin2x12,得0sin x22,又f(x)的定义域为2k,2+2k,kZ,所以2kxcos x在0,+)上恒成立,所以g(x)=f(x)-cos x0在0,+)上恒成立,故g(x)在0,+)上单调递增,根据偶函数图象的

13、对称性可知,g(x)在(-,0)上单调递减.由f2-t-f(t)cos t-sin t得f(t)-sin tf2-t-cos t=f2-t-sin2-t,即g(t)g2-t,所以|t|2-t,即t20,解得t0,所以g(x)=2+2sin x-cos x在0,2上单调递增,所以g(x)g(0)=2-1=10,所以f(x)0在0,2上恒成立,所以f(x)=1+sinx2cosx+sinx在0,2上单调递增,故当x=0时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(0)=1+021+0=12.【自测题】BD解析 因为f(x)=2sin x+sin 2x的定义域为R,且f(-x)=2sin(-x)+sin(

14、-2x)=-2sin x-sin 2x=-(2sin x+sin 2x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A错误;f(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1),令f(x)=0,得cos x=12或cos x=-1,当x-3+2k,3+2k,kZ时,f(x)0,函数f(x)单调递增,当x3+2k,53+2k,kZ时,f(x)0,函数f(x)单调递减,所以f(x)max=f3+2k=2sin3+sin23=332,kZ,故B正确;因为f(0)=0,f23=2sin23+sin43=320,所以f(x)的图象不关于直线x=

15、3对称,故C错误;f(x)=2(2cos x-1)(cos x+1),当x0,3时,2cos x-10,cos x+10,则f(x)0,所以f(x)在0,3上单调递增,故D正确.故选BD.微专题2三角恒等变换微点1例1(1)B(2)-19解析 (1)sin 2=2sin cos =2sincossin2+cos2=2tantan2+1=53,tan =55或5,又4,2,tan 1,tan =5.故选B.(2)sin2+23=sin2+12+2=cos2+12=2cos2+12-1=2232-1=-19.【自测题】1.B解析 因为sin2+2sin cos -2sin -4cos =0,所以s

16、in (sin +2cos )-2(sin +2cos )=0,即(sin +2cos )(sin -2)=0,则sin +2cos =0或sin -2=0(舍去),所以tan =-2,所以cos2-sin cos =cos2-sincoscos2+sin2=1-tan1+tan2=1-(-2)1+(-2)2=35,故选B.2.A解析 因为cos(40-)+cos(40+)+cos(80-)=0,所以cos 40cos +sin 40sin +cos 40cos -sin 40sin +cos 80cos +sin 80sin =0,所以2cos 40cos +cos 80cos +sin 8

17、0sin =0,所以2cos 40+cos 80+sin 80tan =0,所以tan =-2cos40+cos80sin80=-2cos(120-80)+cos80sin80=-2(cos120cos80+sin120sin80)+cos80sin80=-3sin80sin80=-3.故选A.微点2例2C解析 因为tan =tan(+-)=tan(+)-tan1+tan(+)tan,且tan =cos1-sin,tan(+)=1+sincos,所以tan =1+sincos-cos1-sin1+1+sincoscos1-sin=(1+sin)(1-sin)-coscoscos(1-sin)c

18、os(1-sin)+cos(1+sin)cos(1-sin)=(1+sin)(1-sin)-coscoscos(1-sin)+cos(1+sin)=1-sin2-cos22cos,因为sin2+cos2=1,所以tan =0,所以=k,kZ,所以当k为奇数时,cos =-1,sin =0,当k为偶数时,cos =1,sin =0.因为tan =cos1-sin,所以tan =1,又因为0,2,所以=4.故选C.【自测题】1.D解析 由tan 2=sin1+cos,得sin2cos2=2sincos2cos2-1=sin1+cos,(0,),sin 0,2cos2cos2-1=11+cos,解得

19、cos =-12,=23.故选D.2.D解析 因为2=(+)+(-),2=(+)-(-),所以可将已知等式化为cos(+)+(-)+cos(+)-(-)+1=2cos(-)+cos(+),即2cos(+)cos(-)-2cos(-)-cos(+)+1=0,即cos(+)-12cos(-)-1=0,所以cos(+)=1或cos(-)=12.又02,所以0+,-2-0,所以cos(+)1,所以cos(-)=12,则-=-3,所以-=3,则D正确,故选D.微点3例3(1)C(2)-6答案不唯一,满足=-6+k(kZ)或=2+k(kZ)的其中一个值即可解析 (1)由已知得COB=,则CBO=2-2,B

20、CH=2,又tan2=BHCH,sin =CHOC,cos =OHOC,BH+OH=OB=OC,因此1-cossin=1-OHOCCHOC=BHCH=tan2,故选C.(2)由题意可得OA=(sin ,cos ),OB=cos+6,sin+6,所以|OA|=sin2+cos2=1,同理可得|OB|=1,则cosAOB=cos=OAOB|OA|OB|=sin cos+6+cos sin+6=sin2+6=cos23=-12,所以2+6=-6+2k(kZ)或2+6=76+2k(kZ),解得=-6+k(kZ)或=2+k(kZ),故的一个值为-6满足=-6+k(kZ)或=2+k(kZ)的其中一个值即可

21、.【自测题】1.A解析 0,2,sin41+cos4=sincos-2,2sin2cos22cos22=sincos-2,得sin2cos2=sincos-2,得sin 2cos -cos 2sin =2sin 2,可得sin =4sin cos ,cos =14,sin =154,tan =15,又tan =2tan21-tan22=15,15tan22+2tan2-15=0,解得tan2=155(负值舍去).故选A.2.3+4310解析 易知A35,45在单位圆上,记终边在射线OA上的角为,如图所示.根据三角函数的定义可知,cos =35,sin =45.将线段OA绕原点按顺时针方向旋转3

22、得到线段OB,则终边在射线OB上的角为-3,所以点B的横坐标为cos-3=cos cos3+sin sin3=3+4310.1.D解析 由倍角公式可知cos =1-2sin22,则sin22=3-58=6-2516=5-142.因为为锐角,所以20,4,则0sin20,可得a=2,则c=4,易知此时ABC存在且唯一确定.cos B=11160,B0,2,sin B=1-cos2B=31516,故SABC=12acsin B=122431516=3154.若选择.ca,CA.若C为锐角,则cos C=1-sin2C=14,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab,即14=a2+9-4a26

23、a,整理得2a2+a-6=0,结合a0,可得a=32,则c=3;若C为钝角,则cos C=-1-sin2C=-14,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab,即-14=a2+9-4a26a,整理得2a2-a-6=0,结合a0,可得a=2,则c=4.综上所述,此时ABC存在但不唯一确定,不符合题意.若选择.由题意可得a+b+c=9,即a+3+2a=9,解得a=2,则c=4,易知此时ABC存在且唯一确定.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=4+16-9224=11160,则B0,2,可得sin B=1-cos2B=31516,故SABC=12acsin B=122431516=

24、3154.【自测题】解:方案一:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=6,A=23.由csin A=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件.由C=6和余弦定理得a2+

25、b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.微点2例2解:(1)由b+c=2acos B结合正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,又sin C=sin(A+B),所以sin B=2sin Acos B-sin(A+B),则sin B=2sin Acos B-(sin Acos B+sin Bcos A),则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B),所以B=A-B或-B=A-B,得A=2B或A=(舍去)

26、,又B=12,所以A=6.(2)(b+c+a)(b+c-a)ac=(b+c)2-a2ac=(b+c)2-(b2+c2-2bccosA)ac=2b(1+cosA)a,由正弦定理得2b(1+cosA)a=2sinB(1+cosA)sinA.由(1)知A=2B,则2sinB(1+cosA)sinA=2sinB(1+cos2B)sin2B,又cos 2B=2cos2B-1,sin 2B=2sin Bcos B,所以2sinB(1+cos2B)sin2B=2sinB2cos2B2sinBcosB=2cos B,即(b+c+a)(b+c-a)ac=2cos B.因为A+B=3B0,则B=C-2,则sin

27、A=sin(B+C)=sin2C-2=-cos 2C.由正弦定理得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22C+cos2Csin2C=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)sin2C=2+4sin4C-5sin2Csin2C=2sin2C+4sin2C-522sin2C4sin2C-5=42-5,当且仅当sin2C=22时等号成立,所以a2+b2c2的最小值为42-5.微点3例3解:(1)因为ab=12tanCtanB+1,所以由正弦定理得sinAsinB=12sinCcosBcosCsinB+1=sin(B+C)2cosCsinB,因为A+B+C=,所以sin(B+C)

28、=sin A,则sinAsinB=sinA2cosCsinB,即2sin Acos Csin B=sin Asin B,由A(0,),得sin A0,由B0,22,得sin B0,故cos C=12,又C0,22,所以C=3.(2)因为ABC的面积为103,所以12absin C=12ab32=103,解得ab=40.由CD=2DA,得CD=23b.在BCD中,由余弦定理得BD2=a2+49b2-2a23bcos C=a2+49b2-23ab2a249b2-23ab=223ab-23ab=23ab=803,当且仅当a=23b,且ab=40,即a=4153,b=215时,等号成立,故线段BD的长

29、度的最小值为803=4153.【自测题】解:方法一:(1)如图所示,连接CG并延长,交AB于点D.点G是ABC的重心,D是AB的中点,且DG=12CG.AGBG=0,AGBG,DG=DA=DB=12c,GC=2DG=c.又GAB=6,AG=32c.在AGC中,设GAC=,由正弦定理得AGsinACG=CGsin,即32csin6-=csin,32sin =sin6-,即cos =23sin ,tan =sincos=123=36,即tanGAC=36. (2)由(1)得CD=32c,在ABC中,由余弦定理得cosBAC=AC2+AB2-BC22ACAB=b2+c2-a22bc.在ACD中,由余

30、弦定理得cosDAC=AD2+AC2-DC22ADAC=c24+b2-94c22bc2=b2-2c2bc,b2+c2-a22bc=b2-2c2bc,即a2+b2=5c2.在ABC中,由余弦定理得cosACB=a2+b2-c22ab=2(a2+b2)5ab45,当且仅当a=b时等号成立,又ACB(0,),cosACB1,故cosACB的取值范围为45,1.方法二:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 设AB的中点为D,连接GD,CG,则D,G,C三点共线且|DG|=12|GC|.设|AB|=2,则A(0,0),B(2,0).(1)因为AGBG=0,GAB=6,所以G3

31、2,32,所以GA=-32,-32,GB=12,-32,又GC=-GB-GA=(1,3),故C52,332,故tanBAC=335,所以tanGAC=tanBAC-6=335-331+33533=36.(2)设GAB=,0,2,则G(2cos2,2cos sin ),所以GA=(-2cos2,-2cos sin ),GB=(2sin2,-2sin cos ),又GC=-GB-GA=(2cos2-2sin2,4sin cos )=(2cos 2,2sin 2),所以C(2cos 2+2cos2,3sin 2),即C(3cos 2+1,3sin 2),则CA=(-3cos 2-1,-3sin 2),CB=(1-3cos 2,-3sin 2),故cosACB=cos=8(1-3cos2)2+9sin22(1+3cos2)2+9sin22=8100-36cos22,又0,2,所以2(0,),故-1cos 21,所以458100-36cos221,故cosACB的取值范围为45,1.1.解:(1)方法一:因为A+B+C=,A+B=3C,所以C=4,即A+B=34,则