2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (三).pdf

《2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (三).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (三).pdf（29页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2021年高考练习：全国统一高考数学试卷（理科）（新课标团）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.（5分）设复数z满 足.=i,则|z|=（）l-zA.1 B.V2 C.M D.22.（5 ）sin20cosl0-co sl6 0 sin l0=（）A.2ZI c.D.2 2 2 23.（5 分）设命题 p：3 nGN,n22%则p 为（）A.V nN,n2 2nB.B n e N,n2 2nC.V nE N,n2 2nD.3 n N,n2=2n4.（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学

2、通过测试的概率为（）A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3122 c5.（5分）已知M（xo，yo）是双曲线C：专_ _ y 2=1上的一点，Fi,F2是C的左、右两个焦点，若 西 近 0，则yo的取值范围是（）A.（冬冬 B.（冬哈）C.（警，等）口（警，竽）6.（5分）九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放

3、的米约有（）A.1 4 斛 B.2 2 斛 C.3 6 斛 D.6 6 斛7.（5分）设D为aABC所在平面内一点，B C=3 C D，则（）A.A D=-y A B+y A C B.A D ABACC.A D y A B-F y A C D.A D A B-y A C8.（5分）函数f （x）=c o s（3 X+6）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（A.（k n -,42 k n+-),4k G zC.(k -,k+),k z D.(2k,，2 k+),k z4 4 Z 4 49.（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.0 1,则 输 出 的 （)A.5 B.6 C

4、.7 D.810.（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A.10 B.20 C.30 D.6011.（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20H,A.1 B.2 C.4 D.812.（5分）设函数f（x）=ex（2x-1）-a x+a,其中al,若存在唯一的整数xo使得f（xo）0,则a的取值范围是（）A+0 C.X,D.脸,1）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13.（5分）若函数f（x）=xln（x+J ）为偶函数，则2=.2 214.（5分）一个圆经过椭圆0,an

5、2+2an=4Sn+3（I）求 an的通项公式：（回）设bn=1ananFl求数列 b j 的前n 项和.18.（12分）如图，四边形ABCD为菱形，ZABC=120,E,F 是平面ABCD同一侧的两点，BE _L平面 ABCD,DF_L平面 ABCD,BE=2DF,AE EC.（回）证明：平面AEC_L平面AFC（回）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.19.（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费用 和年销售量yi（i=l,2,.8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些

6、统计量的值.(国)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d4哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(回)根据(回)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(回)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2 y-x.根 据(0)的结果回答下列问题：(i)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(i i)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(U1V1),(u2V2).(U n V n),其回归线V=a+0U的斜率nX(U j-u)(v-v)和截距的最小二乘估计分别为：岳 且 不-二-，仑=三-荷.(ui-u)2

7、i=l220.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C：y=5-与直线I：y=kx+a(a0)交于M,N两点.(回)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.(回)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有NOPM=N O P N?(说明理由)21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax+,g(x)=-Inx4(i)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(ii)用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min f(x),g(x)(x 0),讨论h(x)零点的个数.选修4 一 1：几何证明选讲22.(10分)如图，AB是。0的直径，AC是。0的切线，BC交。于点E.(回)若

8、D为AC的中点，证明：DE是 的 切 线；(回)若OA=CE,求NACB的大小.选修4 一 4：坐标系与参数方程23.（10分）在直角坐标系xOy中，直线Ci：x=-2,圆C2：（x-1）2+（y-2）2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（回）求Cl，C2的极坐标方程；（回）若直线C3的极坐标方程为8=工（pGR）,设C2与C3的交点为M,N,4求C2MN的面积.选修4 一 5：不等式选讲24.(10 分)已知函数 f(x)=x+11-2 x-a,a0.（回）当a=l时，求不等式f（x）1的解集；（回）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015

9、年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标团)参考答案与试题解析一、选 择 题(共12小题，每小题5分，满 分60分)1.(5分)设 复 数z满 足 也=i,则|z|=()1-zA.1 B.A/2 C.M D.2【考点剖析】先化简复数，再求模即可.【解答】解：.复数z满 足 也=i,1-zl+z=i-zi,Az(1+i)=i-1,/.|z|=1,故选：A.【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础.2.(5 )sin20cosl0-cosl60sinl0=()A.返J D.工2 2 2 2【考点剖析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可.【解答】解：sin20cosl0

10、-cosl60sinl0=sin200cosl0+cos200sinl0=sin30=12故选：D.【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查.3.（5 分）设命题 p：3 nGN,n22%则p 为（）A.V nGN,n22nB.3 nGN,n2 2nC.V nGN,n2 2nD.3 nGN,n2=2n【考点剖析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】解：命题的否定是：V n W N,MW2 n,故选：C.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.4.(5分)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且

11、各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.0.648 B.0.43 2 C.0.3 6 D.0.3 12【考点剖析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可.【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X-B (3,0.6),该同学通过测试的概率为C(0.6)2X (1-0.6)+C j(0.6)3=0.648.故选：A.【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查.2 65.(5分)已 知 M(X。，y0)是双曲线C：上的一点，F i，F 2 是 C的左、右两个焦点，若 西 耐 0，则 yo的取值范围是()【考点剖析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即

12、可 确 定 yo的取值范围.【解答】解：由题意，MF；(-V 3-xo,-yo),(V 3-xo,-yo)=X o2-3+yo2=3 yo2-1V0,所 以-Y J v y o v I3 3故选：A.【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力,比较基础.6.（5分）九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米的体积约为L 6 2立方尺，圆周率约为3,估算出

13、堆放的米约有（）A.1 4 斛 B.22 斛 C.3 6 斛 D.6 6 斛【考点剖析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.【解答】解：设圆锥的底面半径为r,则 工 厂 8,解 得 r=些,n故米堆的体积为工XLXTIX（至）2X 5 您，4 3 兀 9VI斛米的体积约为1.6 2立方，.您+1 6 2 七 22,9故选：B.【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础.7.（5分）设 D为a A B C 所在平面内一点，B C=3 C D，则（）A.A D=-y A B+y A C B.A D ABACC.A D y A B-F y A C D.A D A B-y A C【考点剖析】将

14、向量标利用向量的三角形法则首先表示为互+前，然后结合已知表示为瓦，正的形式.【解答】解：*AD=AB+BD=由已知得到如图AB-4-BC=AB+-(AC-AB)=故选：A.【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量标表示为AB,A C-8.(5分)函 数f(x)=cos(wx+4)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减 区 间 为()。A.(kn-,kn+),kz B.(2kn-,2kn+),kGz4 4 4 4C.(k-,k+),k z D.(2 k-2k+),k z4 4 4 4【考点剖析】由周期求出3,由五点法作图求出巾，可 得f(x)的解析式，再根据余弦函数的单调性，

15、求 得f(x)的减区间.【解答】解：由函数f(x)=cos(u)x+(p)的部分图象，可得函数的周期为近=2(-)=2,.,.3=兀，f(x)=cos(nx+p).4 4再根据函数的图象以及五点法作图，可 得 工+年=,k E z,即p=三，f4 2 4(x)=cos(n x+-).由 2k7iW 7ix+N W 2kn+7i,求得 2k-x 2 k+,故 f(x)的单调递减区间为（2 k，2 k+）,ke z,4 4故选：D.【点评】本题主要考查由函数y=As in（a x+巾）的部分图象求解析式，由周期求出3,由五点法作图求出。的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题.9.（5 分）执行

16、如图所示的程序框图，如果输入的t=0.0 1,则输出的n=（）A.5 B.6 C.7 D.8【考点剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体后，S=1,m=1,n=1,不满足退出循2 4环的条件；再次执行循环体后，S=1,m=1,n=2,不满足退出循环的条件；4 8再次执行循环体后，S=1,m=L，n=3,不满足退出循环的条件；8 1 6再次执行循环体后,再次执行循环体后,再次执行循环体后,再次执行循环体后,故输出的n值 为7,S=,m=,n=4,不满足退出循环的条件；

17、16 32S=,m=,n=5,不满足退出循环的条件；32 64S=,m=，n=6,不满足退出循环的条件;64 128S=m=一，n=7,满足退出循环的条件；128 256故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.10.（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的 系 数 为（）A.10 B.20 C.30 D.60【考点剖析】利用展开式的通项，即可得出结论.【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr,1=Cr（x2+x）5-ryr,令 r=2,则（x?+x）3 的 通 项 为 鼠2）3%15=ck 6-k,令 6-k=5,

18、则 k=l,（x2+x+y）5的 展 开 式 中,x5y2的系数为整以=30.D u故选：c.【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键.11.（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20兀,则 r=（）正视图俯视图A.IB,2 C.4 D.8【考点剖析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可.【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，/.其表面积为：1.X 4nr2+-1-X 兀 心 卷 x

19、 2r X 2nr+2rX 2r+-1-X nr2=5nr2+4r2,又.该几何体的表面积为16+2071,.,.5nr2+4r2=16+20n,解得 r=2,故选：B.【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12.(5分)设 函 数f(x)=ex(2x-1)-a x+a,其 中al,若存在唯一的整数X。使 得f(X0)g(0)=-1且g(-1)=-Se -a-a,解关于a的不等式组可得.【解答】解：设 g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数xo使得g(x o)在直线y=a x-a的下方，.g(x)=ex(2x-1)+2

20、ex=ex(2x+l),.,.当 x V-时，g(x)-时，g(x)0,1.当x=-L时，g(x)取最小值-2 1巨，2 e当 x=0 时，g(0)=-1,当 x=l 时，g(1)=e 0,直线y=ax-a恒过定点(1,0)且斜率为a,故-ag(0)=-1 且 g(-1)=-3e-a-a,解得gW aVl【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题.二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+J )为偶函数，则a=1.【考点剖析】由题意可得，f(-x)=f(x),代入根据对数的运算性质即可求解.【解答】解：(X)=xln(x+J=)为偶

21、函数，/.f(-X)=f(x)-X)In(-x+yja+J)=x ln(x+式?)，-g(-x+Va+x2)=,n(x+Va+x2),，,l n(x+Va+x2)+ln (x+Va+x2)=0 I n(Va+x2+x)(Va+x2 x)=0,lna=0,a=1.故答案为：1.【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题.2 21 4.（5分）一个圆经过椭圆式+=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则1 6 4该圆标准方程为（X-W）2+丫2=空 .-1.-_ 4 _【考点剖析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程.2 2【解答】

22、解：一个圆经过椭圆工+工=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.1 6 4可知椭圆的右顶点坐标（4,0）,上下顶点坐标（0,2）,设圆的圆心（a,0）,则,（a-O）2+（o_ 2）2=4-a，解得 a=微，圆的半径为：”，2所求圆的方程为：（X -更）2+y2=2 5.2 4故答案为：（X-2）2+y2=.2 4【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力.x-l 01 5.（5分）若x,y满 足 约 束 条 件,.则上的最大值为3 .x+y-4 4 0【考点剖析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定上的最大值.【解答】解：作出不等式组对

23、应的平面区域如图：（阴影部分ABC）.设k=X,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,X由图象知0 A的斜率最大，由0口，解得即A（1,3）,Ix+y-4=0 I y=3koA=3，1即工的最大值为3.x故答案为：3.【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.16.（5分）在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75.BC=2,则A B的取值 范 围 是（巫二近，近+迎 【考点剖析】如图所示，延长BA,CD交于点E,设A D=LG A E=返*,DE=2 2运 返x,C D=m,求出近H lx+m=代+正，即可

24、求出A B的取值范围.4 4【解答】解：方法一：如图所示，延长BA,CD交于点E,则在4ADE 中，ZDAE=105,ZADE=45,ZE=30,.,.设 AD=x,AE=-x,DE=逐包乙乂,CD=m,2 2 4BC=2,（找+&x+m）sinl5=1,4巨x+m=巫+血，4.*.0 x0,an2+2an=4Sn+3（I）求 an 的通项公式：（回）设bn=一，求数歹U bn的前n 项和.ananFl【考点剖析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求 a j 的通项公式:（回）求出bn=一，利用裂项法即可求数列出小的前n 项和.anarH-l【解答】解:由 an2+2an=4Sn+3,可

25、知 an+i2+2an+i=4Sn+i+3两式相减得 an+i2-an2+2（an+i-an）=4an+i，即 2（aml+an）=anM-an2=（an+1+an）（3n+l 3n）dn。，3n+l 3n=2,:ai2+2ai=4ai+3,/ai=-1（舍）或 ai=3,则 加 是首项为3,公差d=2 的等差数列,工 a j 的通项公式 an=3+2（n-1）=2n+l：（0）Van=2n+1,bn=1-1 1 (1-1),“anard-l(2n+l)(2n+3)2 2n+l 2n+3.数列 bn的前n项和Tn=1(1 -1+!+.+2 3 5 5 7 2n+l1)-1(1.1)2n+3 2

26、 3 2n+3.n 3（2n+3）【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键.18.（12分）如图，四边形ABCD为菱形，ZABC=120,E,F 是平面ABCD同一侧的两点，BE _L平面 ABCD,D F,平面 ABCD,BE=2DF,AE EC.（回）证明：平面AEC_L平面AFC（国）求直线A E与直线CF所成角的余弦值.【考点剖析】（回）连接B D,设BDAAC=G,连接EG、EF、F G,运用线面垂直的判定定理得到EG_L平面A F C,再由面面垂直的判定定理，即可得到；（回）以G为坐标原点，分别以GB,GC为x轴，y轴，|G B|为单位长度，

27、建立空间直角坐标系G-x y z,求得A,E,F,C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值.【解答】解：（回）连接BD,设 BDDAC=G,连接 EG、EF、FG,在菱形ABCD中，不妨设BG=1,由 NABC=120,可得AG=GC=晶，BE_L平面 ABCD,AB=BC=2,可知 AE=EC,又 AE_LEC,所以 E G=b，且 EG_LAC,在直角E B G中，可得B E=&,故D F=第，在直角三角形FDG中，可得FG=返，2 _在直角梯形BDFE中，由BD=2,B E=圾，F D=理，可得EF=+（近半_ 372-f2从而 EG2+FG2=EF2,则 EG1FG

28、,（或由 tanNEGB,tanNFGD=益 =1,BG DG 2可得NEGB+NFGD=90,则 EG_LFG）ACCFG=G,可得 EG_L平面 AFC,由EGu平面AEC,所以平面A E C,平面AFC；（回）如图，以G 为坐标原点，分别以GB,GC为x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-x y z,由（回）可得A（0,-M，0）,E（1,0,正）,F（-1,0,返），C（0,43,0）,2_即有近=（1，脏,我），而=（-1,喙），则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为返.【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所

29、成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题.19.（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费用和年销售量y（i=l,2,，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.f年消售里6206005805605405205004803436 3840 42 44 46 48 5。52 54 56年宣传费/千元XyW8 _ 8 _ (Xi-X)2 (W|-W)i=l i=l28_ (xi-x)(yi=l-y)8_ (wi-2i=l(yi-y)46.65636.8289.8

30、1.61469108.8表中 Wi=G，0=-52 w i8 i=l 1（回）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 4哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（0）根 据（回）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（回）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2 y-x.根 据（回）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数 据（U1V1）,（u2 V2）.（UnVn）,其回归线V=a+0U的斜率nX （uu）（vv）和截距的最小二乘估

31、计分别为：-z-，v-T.Y.（ui-u）2i=l【考点剖析】（回）根据散点图，即可判断出，（回）先建立中间量w=4，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w,问题得以解决；（回）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出.【解答】解：（回）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（回）令w=心 先建立V关于w的线性回归方程，由于幽8=68,1.6c=y dw=563-68X 6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为？=100.6+68w,因此y关于x的 回 归 方 程 为100.6+6

32、8,（0）（i）由（回）知，当x=49时，年销售量y的预报值Q=100.6+68/不 显576.6,年利润 z 的预报值：=576.6X0.2-49=66.32,（ii）根 据（0）的结果可知，年利润z的预报值G=0.2（100.6+6 8 ）-x=-x+13.6+20.12,当 正=电 旦=6.8时，即当x=46.2 4时，年利润的预报值最大.2【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题.220.（12分）在直角坐标系xO y中，曲线C：y=三-与直线I：y=kx+a（a 0）4交于M,N两点.（国）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.（回）

33、y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有NOPM=N O P N?（说明理由）尸&2【考点剖析】（I）联立 2,可得交点M,N的坐标，由曲线C：y=工，v=4利用导数的运算法则可得：y=I，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.(II)存在符合条件的点(0,-a),设P(0,b)满足NOPM=/O PN.M(X1，y i),N(X2,y2),直线PM,P N的斜率分别为：k i，k2.直线方程与抛物线方程联立化为x2-4kx-4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得ki+k2=a+ki+k2=0=直线PM,PN的倾斜角互补=N O PM=Z O P N,即可a证明.y=a【解答】解

34、：(|)联立 x2,不妨取M(2 J L a),N(-2、B，a),尸丁2由曲线C:y二三一可得：/=A,4 2.曲线C在M点处的切线斜率为竿=般,其切线方程为：y-a=八-2八),化为V xp-a=0.同理可得曲线C在点N处的切线方程为：x+y+a=0.(I I)存在符合条件的点(0,-a),下面给出证明：设 P(0,b)满足NOPM=NOPN.M(x i，y i),N(x2,y2),直线 PM,PN的斜率分别为：k i，k2.y=kx+a联立,y2,化为 x 2-4 k x-4 a=0,.*.Xi+X2=4k,XiX2=-4a.ki+k2=ylbxy2 b 2kX X 2+(a-b)(X

35、i+x2)_ k(a+b)x X2 xX?a当b=-a时，ki+k2=O,直线PM,PN的倾斜角互补，：.ZOPM=ZOPN.点P(0,-a)符合条件.【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax+,g(x)=-Inx4(i)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(ii)用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min f(x),g(x)(x 0),讨论h(x)零点的个数.【考点剖析】(i)f(x)=

36、3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x。，0),则f(xo)=0,f (xo)=0 解出即可.(i i)对x分类讨论：当x(1,+)时，g(x)=-ln x 0,可得函数h(x)=min f(x),g(x)Wg(x)0,即可得出零点的个数.当x=l时，对a分类讨论：a-上，a 0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论：当a W-3或a 2 0时，当-3 V a V 0时，利用导数研究其单调性极值即可得出.【解答】解：(i)f (x)=3x2+a.设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P (xo，0),则 f(xo)=0,f (xo)=0,xo+a xo+7

37、=93xg+a=0解得 a=T .因此当a=-W时，x轴为曲线y=f(x)的切线;4(i i)当(1,+8)时，g(x)=-lnx0,，函数 h(x)=min f(x),g(x)0,故h(x)在)(1,+8)时无零点.当x=l时，若则f(l)=a+20,4 4Ah(x)=min f(1),g(1)=g(1)=0,故 x=l 是函数 h(x)的一个零八占、-,若 a V-竺，则 f(l)=a+0,h(x)=min f(1),g(1)=f(1)0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.当aW-3或a 2 0时，fz（x）=3x2+a在（0,1）内无零点，因此f（x）在区 间（0,1）内单

38、调，而 f（0）=L,f（1）=a+，.当 aW-3 时，函数 f（x）在区间（0,1）4 4内有一个零点，当a 2 0时，函数f（x）在区间（0,1）内没有零点.当-3 V a 0时，函数f（x）在（0,J二 包）内单调递减，在（J二生，1）内单调递增，故当x=后 时,f(x)若f（后）0,即 字&0，则f（x）在（0,1）内无零点.若f（后）=0,即2=-1,则f（x）在（0,1）内有唯一零点.M三）0,即由 f（0）=L f（1）=a+月,3 4 4 4，当 应a 出时，f（x）在（0,1）内有两个零点.当-3V a4二时，f4 4 4（x）在（0,1）内有一个零点.综上可得：时，函数h

39、（x）有一个零点.4当a3时，h（x）有一个零点;当a=上 或3时，h（x）有两个零点；4 4当学出时，函数h（x）有三个零点.4 4【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题.选修4 一 1：几何证明选讲22.（10分）如图，AB是。的直径，AC是 的 切 线，BC交。于点E.（回）若D为AC的中点，证明：DE是。的切线；（0）若 OA=V3CE,求NACB 的大小.c【考点剖析】（0）连接AE和0 E,由三角形和圆的知识易得NOED=9 0 ,可得DE是。0 的切线；（回）设CE=1,

40、AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=日?，解方程可得x值，可得所求角度.【解答】解：（回）连接A E,由已知得AELBC,AC1AB,在 RTaABC 中，由已知可得 DE=DC,.*.ZDEC=ZDCE,连接 O E,则NOBE=ZOEB,又NACB+NABC=90,/.ZDEC+ZOEB=90,/.ZOED=90,，DE 是。的切线；（回）设 CE=1,AE=x,由已知得A B=2 ,BE=而 二由射影定理可得AE2=CEBE,x2=y 2-乂2，即 x4+x2-12=0,解方程可得x=5/3，ZACB=60C【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题.选修

41、4 一 4：坐标系与参数方程23.(1 0分)在直角坐标系xO y中，直线Ci：x=-2,圆C2：(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(回)求Cl，C2的极坐标方程；(回)若直线C3的极坐标方程为。=工(pR),设C2与C3的交点为M,N,4求ACaM N的面积.【考点剖析】(回)由条件根据x=pcos0,y=psin0求得Ci，C2的极坐标方程.(回)把直线C3的极坐标方程代入p 2-3扬+4=0,求得p i和P2的值，结合圆的半径可得C2M C2N,从而求得C2MN的面积1C2MCzN的值.2【解答】解：(回)由于 x=pcos&y=psinQ

42、,.C i：x=-2 的极坐标方程为pcos0=-2,故C 2：(X-1)2+(y-2)2=1的极坐标方程为：(pcosQ-1)2+(psin0-2)2=1,化简可得 p?-(2pcos0+4psin0)+4=0.(回)把直线C3的极坐标方程e=2 L (p G R)代入4圆 Cz：(x-1)2+(y-2)2=1,可得 p2-(2pcos0+4psin0)+4=0,求得 pi=2 y,p2=五,|M N|=|p i-p2|=V2 由于圆 C2 的半径为 1,；.C2M_LC2N,C2MN 的面积为LC2MCZN=-1*1=L.2 2 2【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义

43、，属于基础题.选修4 一 5：不等式选讲2 4.(10 分)已知函数 f(x)=I x+11 -2 1 x-a,a 0.(回)当a=l时，求不等式f(x)1 的解集；(回)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围.【考点剖析】(回)当a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.(团)化简函数f(x)的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a 的取值范围.【解答】解：(回)当a=l时，不等式f(x)1,KP|x+l|-2|x-1|1,x-l-x-1-2(l-x)l即，x+l-2(l-x)l,或产.x+l-2(x-l)l解求得XE 0,解求得2V x V l,解求得lWx a由此求得f(x)的图象与x 轴的交点A (生 L,0),3B (2 a+l,0),故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C (a,a+1),由4 A B C 的面积大于6,可得工 2 a+l-竺二(a+1)6,求得a 2.2 3故要求的a 的范围为(2,+8).【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.