2021年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标).pdf-得力文库

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1、全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标）一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）已知集合Ax R R|x|2，A（0，2）2（5 分）已知复数B0，2，则 AB（）C0，2D0，1，2（），是 z 的共轭复数，则A B C 13（5 分）曲线 yAy2x+1在点（1，1）处的切线方程为（）By2x1Cy2x3D2Dy2x2，），4（5 分）如图，质点P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（角速度为 1，那么点P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（）ABCDx在 R 为增函数，p

2、2：函数y2x+2x5（5 分）已知命题p1：函数y2x2在 R 为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和 q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q46（5 分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（）A100B200C300D4007（5 分）如果执行如图的框图，输入N5，则输出的数等于（）A B C D 8（5 分）设偶函数f（x）满足 f（x）2x4（x0），则x|f（x2）0（）Ax|x2 或 x4Dx|x2 或

3、 x2Bx|x0 或 x4 Cx|x0 或x69（5 分）若，是第三象限的角，则（）AB C 2D210（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2 C D 5a2，若a，b，c 互不相等，且f（a）f（b）11（5 分）已知函数f（c），则 abc 的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）12（5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过P 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且AB 的中点为N（12，15），则E 的方程式为（）A BC D二、填空题（共二、填空题（共 4 4

4、小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）设 yf（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算积，先产生两组（每组N 个）区间0，1上的均匀随机数x1，x2，xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i1，2，N），再数出其中满足 yif（xi）（i1，2，N）的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 14（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）15（5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 xy1 相切于点B（2，1），则圆 C 的方程为16（5 分）在ABC 中

5、，D 为边 BC 上一点，BDDC，ADB120，AD2，若ADC 的面积三、解答题（共三、解答题（共 8 8 小题，满分小题，满分 9090 分）分）17（12 分）设数列满足a12，an+1an322n（1）求数列an的通项公式；（2）令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn18（12 分）如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为1，则BACH，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（）证明：PEBC（）若APBADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值19（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调

6、查了 500 位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要不需要4016030270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由P（K2k）k附0.0503.8410.0106.6350.00110.82820（12 分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1 的直线与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求 E 的离心率；（2）设点 P（0，1）

7、满足|PA|PB|，求 E 的方程21（12 分）设函数f（x）ex1xax2（1）若 a0，求 f（x）的单调区间；（2）若当 x0 时 f（x）0，求 a 的取值范围22（10 分）如图：已知圆上的弧明：（）ACEBCD（）BC2BECD，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证23（10 分）已知直线C1（）当（t 为参数），C2（为参数），时，求 C1与 C2的交点坐标；（）过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线24（10 分）设函数f（x）|2x4|+1（）画出函数 yf（x）的图象：（）若不等式

8、f（x）ax 的解集非空，求 a 的取值范围20102010 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标）（全国新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）已知集合AxR R|x|2，A（0，2），则 AB（）C0，2D0，1，2B0，2【分析】先化简集合 A 和 B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解【解答】解：AxR R|x|2，xR R|2x2，故 AB0，1，2 应选 D【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及

9、集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题2（5 分）已知复数，是 z 的共轭复数，则（）A B C 1【分析】因，所以先求|z|再的值可D2【解答】解：由另解：故选：A【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算3（5 分）曲线 y在点（1，1）处的切线方程为（）Ay2x+1By2x1Cy2x3Dy2x2【分析】欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解y，所以 ky|x12，得切线的斜率为2，所以 k2

10、；所以曲线 yf（x）在点（1，1）处的切线方程为：y+12（x+1），即 y2x+1故选：A【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题4（5 分）如图，质点P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（角速度为 1，那么点P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（），），ABCD【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定答案【解答】解：通过分析可知当t0 时，点 P 到 x 轴距离 dD，再根据故选：C，于是可以排除答案A，时，可知点 P 在 x 轴上

11、此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0，排除答案 B，【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题5（5 分）已知命题p1：函数y2x2x在 R 为增函数，p2：函数y2x+2x在 R 为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和 q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1p2为真命题，（p2）为真命题，p1（p2）为真命题【解答】解：易知 p1是真命题，而对x0，+）时，ln2ln2（），当，又 ln20，所以 y0，函数单调递增；同理得当

12、 x（，0）时，函数单调递减，故p2是假命题由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故选：C【点评】只有 p1与 P2都是真命题时，p1p2才是真命题只要p1与 p2中至少有一个真命题，p1p2就是真命题6（5 分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则 X 的数学期望为（）A100B200C300D400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，即不发芽率为 0.1，故没有发芽的种子数服从二项分布，即B（1000，0.1）又没发芽的补种 2 个，故补种的种子数记为X2

13、，根据二项分布的期望公式即可求出结果【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即 B（1000，0.1）而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X故 X2，则 EX2E210000.1200故选：B【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力属于基础性题目7（5 分）如果执行如图的框图，输入N5，则输出的数等于（）A B C D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S故选：D

15、，再求解不等式，可得答案【解答】解：由偶函数 f（x）满足f（x）2x4（x0），可得 f（x）f（|x|）2|x|4，则 f（x2）f（|x2|）2|x解得 x4，或 x0应选：B2|4，要使 f（|x2|）0，只需2|x2|40，|x2|2【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算9（5 分）若，是第三象限的角，则（）AB C 2D2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同，是第三象限的角，【解答】解：可则，应选 A【点评】本题主要考查三角恒等

16、变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力10（5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2BCD5a2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积故选：B，【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力11（5 分）已知函数，若a，b，c 互不相等，且f（a）f（b）f（c），则 abc 的取值范围是（）A（1

17、，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）f（b）f（c），不妨abc，求出abc 的范围即可【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图，不妨设 abc，则ab1，则 abcc（10，12）故选：C【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力12（5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过P 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且AB 的中点为N（12，15），则E 的方程式为（）ABC D【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A，B 点坐标代入方程联立相减得 x1+

18、x224，根和 b，进而可得答案，可求得 a 和 b 的关系，再根据c3，求得 a【解答】解：由已知条件易得直线l 的斜率为 kkPN1，设双曲线方程为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合 x1+x224，y1+y230 得，从而1即 4b25a2，又 a2+b29，解得 a24，b25，故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程考查了学生综合分析问题和解决问题的能力二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13（5 分）设 yf（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计

19、算积，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上的均匀随机数x1，x2，xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i1，2，N），再数出其中满足 yif（xi）（i1，2，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为【分析】要求f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得【解答】解：由题意可故积分故答案为的近似值得，【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题14（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；

20、圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力15（5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线xy1 相切于点B（2，1），则圆C 的方程为（x3）2+y22【分析】设圆的标准方程，再用过点 A（4，1），过 B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程【解答】解：设圆的方程为（xa）2+（yb）2r2，则解得1，故所求圆的方程为（x3）2+y22故答案为：（x3）

21、2+y22【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解16（5 分）在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BDDC，ADB120，AD2，若ADC 的面积，则BAC 60【分析】先根据三角形的面积公式利用 ADC 的面积求得 DC，进而根据三角形ABC 的面积求得 BD 和 BC，进而根据余弦定理求得AB最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得 cosBAC，求得BAC 的值【解答】解：由ADC 的面积可得解，AB2AD2+BD22ADBDcos120，则故BAC60【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应

22、的运算能力三、解答题（共三、解答题（共 8 8 小题，满分小题，满分 9090 分）分）17（12 分）设数列满足a12，an+1an322n（1）求数列an的通项公式；（2）令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn1【分析】（）由题意得 an+1（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a13（22n1+22n 3+2）+222（n+1）11由此可知数列an的通项公式为 an22n 1（）由 bnnann22n知 Sn12+223+325+n22n 1，由此入手可知答案【解答】解：（）由已知，当 n1 时，an+1（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a13（22n 1

23、+22n 3+2）+23+222（n+1）1而 a12，所以数列an的通项公式为 an22n 1（）由 bnnann22n1知 Sn12+223+325+n22n 1从而 22Sn123+225+n22n+1得（122）Sn2+23+25+22n 1n22n+1即【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力18（12 分）如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（）证明：PEBC（）若APBADB60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值【分析】以 H 为原点，HA

24、，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系（1）表，计，就证明 PEBC（2）APBADB60，求出 C，P 的坐标，再求平面 PEH 的法向量，求向，然后与面 PEH 的法向量的数量积，可求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值【解答】解：以H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（）设 C（m，0，0），P（0，0，n）（m0，n0）则可因为所以 PEBC（）由已知条件可得m，n 1，故C（），（x，y，z）为平面PEH 的法向量则即因此

25、可以，由可所以直线 PA与平面 PEH 所成角的正弦值【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力19（12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿者需要不需要4016030270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由P（

26、K2k）k附0.0503.8410.0106.6350.00110.828【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求 K2的观测值查表，下结论；（3）由 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样【解答】解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为 9.9676.635，且 P（K26.635）0.01，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关

27、，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题20（12 分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1 的直线与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求 E 的离心率；（2）设点 P（0，1）满足|PA|PB|，求 E 的方程【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|4a，进而根据|AF2|，|AB|，|

28、BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去 y，根据韦达定理表示出x1+x2和 x1x2进而根据，求得 a 和b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，离心率可得（II）设 AB 的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和 y0，根据|PA|PB|，推知直线 PN 的斜率，根求得 c，进而求得 a 和 b，椭圆的方程可得【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a，又 2|AB|AF2|+|BF2|，得，l 的方程为 yx+c，其设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B

29、两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）0则因为直线 AB 斜率为 1，|AB|，故 a22b2，所以 E 的离心（II）设 AB 的中点为N（x0，y0），由（I）知由|PA|PB|，得 kPN1，即，得 c3，从故椭圆 E 的方程为【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21（12 分）设函数f（x）ex1xax2（1）若 a0，求 f（x）的单调区间；（2）若当 x0 时 f（x）0，求 a 的取值范围【分析】（1）先对函数 f（x）求导，导函数大于0 时原函数单调递

30、增，导函数小于0 时原函数单调递减（2）根据 ex1+x 可得不等式 f（x）x2ax（12a）x，从而可知当 12a0，即时，f（x）0 判断出函数f（x）的单调性，得到答案【解答】解：（1）a0 时，f（x）ex1x，f（x）ex1 当x（，0）时，f（x）0；当 x（0，+）时，f（x）0 故 f（x）在（，0）单调减少，在（0，+）单调增加（II）f（x）ex12ax由（I）知 ex1+x，当且仅当x0 时等号成立故f（x）x2ax（12a）x，从而当 12a0，即时，f（x）0（x0），而 f（0）0，于是当 x0 时，f（x）0由 ex1+x（x0）可得 ex1x（x0）从而当时，

31、f（x）ex1+2a（ex1）ex（ex1）（ex2a），故当 x（0，ln2a）时，f（x）0，而 f（0）0，于是当 x（0，ln2a）时，f（x）0综合得 a 的取值范围【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力22（10 分）如图：已知圆上的弧明：（）ACEBCD，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证（）BC2BECD【分析】（I）先根据题中条件：“”，得BCDABC再根据EC 是圆的切线，得到ACEABC，从而即可得出结论（II）欲证 BC2BE x CD即【解答】解：（）因为所以BC

32、DABC又因为 EC 与圆相切于点C，故ACEABC所以ACEBCD（5 分）故只须证明BDCECB 即可，（）因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故即 BC2BECD（10 分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想属于基础题23（10 分）已知直线C1（）当（t 为参数），C2（为参数），时，求 C1与 C2的交点坐标；（）过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线【分析】（I）先消去参数将曲线 C1与 C2的参数方程化成普通方程，再联立方

33、程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线【解答】解：（）当时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y21联立方程组，解得 C1与 C2的交点为（1，0）（）C1的普通方程为 xsinycossin0 则 OA 的方程为 xcos+ysin0，联立可得 xsin2，ycossin；A 点坐标为（sin2，cossin），故当变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方故 P 点轨迹是圆心，半径的圆【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨

34、迹问题的能力24（10 分）设函数f（x）|2x4|+1（）画出函数 yf（x）的图象：（）若不等式 f（x）ax 的解集非空，求 a 的取值范围【分析】（I）先讨论 x 的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数yf（x）与函数 yax 的图象可知先寻找满足f（x）ax 的零界情况，从而求出a 的范围【解答】解：（）由于 f（x）函数 yf（x）的图象如图所示，（）由函数 yf（x）与函数 yax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当 a2 或时，函数 yf（x）与函数 yax 的图象有交点故不等式 f（x）ax 的解集非空时，a 的取值范围为（，2），+）【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题

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