2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标).pdf

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1、2021 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1（5 分）（2012新课标）已知集合A1，2，3，4，5，B（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（A3B6）C8D102（5 分）（2012新课标）将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（A12 种B10 种C9 种D8 种），）3（5

2、 分）（2012新课标）下面是关于复数zp1：|z|2，p2：z22i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1Ap2，p3Bp1，p2的四个命题：其中的真命题为（Cp2，p4+Dp3，p44（5 分）（2012新课标）设F1、F2是椭圆E：1（ab0）的左、右焦点，P为直线上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D5（5 分）（2012新课标）已知an为等比数列，a4+a72，a5a68，则a1+a10（A7B5C5D7）6（5 分）（2012新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（

3、）AA+B 为 a1，a2，an的和B为 a1，a2，an的算术平均数CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数7（5 分）（2012新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D188（5 分）（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y216x的准线交于点A 和点A，则 C 的实轴长为（C4）D8）在区间，上单调 B 9（5 分）（2012新课标）已知0，函数 f（x）sin（x+递减，则实数的取值范围是（A B）C D（

4、0，2，则 yf（x）的图象大致为10（5 分）（2012新课标）已知函数 f（x）（）ABCD11（5 分）（2012新课标）已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC为球 O 的直径，且 SC2，则此三棱锥的体积为（A B C D）12（5 分）（2012新课标）设点P 在曲线最小值为（上，点 Q 在曲线yln（2x）上，则|PQ|）C1+ln2D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分分夹角为 45，且，则A1ln213（5 分）（2012新课标）已知向量14（5 分）（2012新课标）设x，y 满足约

5、束条件：；则 zx2y 的取值范围为15（5 分）（2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为16（5 分）（2012新课标）数列an满足 an+1+（1）nan2n1，则an的前 60 项和为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2012新课标）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，

6、B，C的对边，acosC+bc0（1）求 A；（2）若 a2，ABC 的面积，求 b，casinC18（12 分）（2012新课标）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N N）的函数解析式（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n频数1410152016161716181519132010以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X

7、 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是 17 枝？请说明理由19（12 分）（2012新课标）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D 是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角 A1BDC1的大小20（12 分）（2012新课标）设抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线为l，A C C，已知以 F 为圆心，FA为半径的圆F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD90，ABD的面积，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线

8、m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值21（12 分）（2012新课标）已知函数f（x）满足f（x）f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2），求（a+1）b 的最大值四、请考生在第四、请考生在第 2222，2323，2424 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号时请写清题号22（10 分）（2012新课标）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明

9、：（1）CDBC；（2）BCDGBD23（2012新课标）选修44；坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围24（2012新课标）已知函数f（x）|x+a|+|x2|当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围）20122012

10、 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的1（5 分）（2012新课标）已知集合A1，2，3，4，5，B（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（A3B6）C8D10【分析】由题意，根据集合B 中的元素属性对x，y进行赋值得出 B 中所有元素，即可得出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x5

11、 时，y1，2，3，4，x4 时，y1，2，3，x3 时，y1，2，x2 时，y1综上知，B 中的元素个数为 10 个故选：D【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合 B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数2（5 分）（2012新课标）将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（A12 种B10 种C9 种D8 种）【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选

12、一名老师，第二步，为甲地选两个学生，2 种选法；6 种选法；第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法故不同的安排方案共有 26112 种故选：A【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3（5 分）（2012新课标）下面是关于复数zp1：|z|2，p2：z22i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1Ap2，p3【分析】由Bp1，p2的四个命题：其中的真命题为（），Cp2，p41i，知Dp3，p4，p3：z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，由此能求出结果【解答】解，1i，p3：z 的共轭复

13、数为1+i，p4：z 的虚部为1，故选：C【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5 分）（2012新课标）设F1、F2是椭圆E：+1（ab0）的左、右焦点，P为直线上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|F2F1|，根据 P 为直线 x上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形，|PF2|F2F1|P 为直线上一点故选：C【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题5（5 分）（2

14、012新课标）已知an为等比数列，a4+a72，a5a68，则a1+a10（A7B5C5D7）【分析】由 a4+a72，及 a5a6a4a78 可求 a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求 a1，a10，即可【解答】解：a4+a72，由等比数列的性质可得，a5a6a4a78a44，a72 或 a42，a74当 a44，a72 时a18，a101，a1+a107当 a42，a74 时，q32，则 a108，a11a1+a107综上可得，a1+a107故选：D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力，6（5 分）（2012新课标）如果执行右边的程序框图

15、，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）AA+B 为 a1，a2，an的和B为 a1，a2，an的算术平均数CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数其中 A 为 a1，a2，an中最大的数，B 为 a1，a2，an中最小的数故选：C【点

16、评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题7（5 分）（2012新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3；底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形，此几何体的体积为9故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力6338（5 分）（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x

17、 轴上，C 与抛物线y216x的准线交于点A 和点A，则 C 的实轴长为（C4）D8 B【分析】设等轴双曲线C：x2y2a2（a0），y216x 的准线l：x4，由 C 与抛物线 y216x 的准线交于A，B 两点，能求出 C 的实轴长【解答】解：设等轴双曲线C：x2y2a2（a0），y216x 的准线 l：x4，C 与抛物线 y216x 的准线 l：x4 交于 A，B 两点，A（4，2），B（4，2），4，将 A 点坐标代入双曲线方程a2，2a4 故选：C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化9（5 分）（2012新课标）

18、已知0，函数 f（x）sin（x+）在区间，上单调递减，则实数的取值范围是（A B）C D（0，2【分析】法一：通过特殊值 2、1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果法二：可以通过角的范围，直接推导的范围即可【解答】解：法一：令不合题意 排除（D）合题意 排除（B）（C）法二：，得故选：A【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力10（5 分）（2012新课标）已知函数 f（x）（，则 yf（x）的图象大致为）ABCD【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则 g（

19、x）g（x）在（1，0）上为增函数，在（0，+）上为减函数g（x）g（0）0f（x）0得：x0 或1x0 均有 f（x）0 排除 A，C，又中，能 排 除D 故选：B【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11（5 分）（2012新课标）已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC为球 O 的直径，且 SC2，则此三棱锥的体积为（A B C D）【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高 SD，即可计算出三棱锥的体积【解答】解：根据题意作出图

20、形：设球心为O，过 ABC 三点的小圆的圆心为O1，则 OO1平面 ABC，延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABCCO1，OO1高ABC 是边长为 1 的正三角形，SABCV三 棱 锥故选：C，【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离12（5 分）（2012新课标）设点P 在曲线最小值为（上，点 Q 在曲线yln（2x）上，则|PQ|）C1+ln2DA1ln2【分析】由于函与函数 yln（2x）互为反函数，图象关于 yx 对称，要求|PQ|上的 点到 直 线 y x 的 距离 为的 最小 值，只要求 出函 数的最小值，设即可求【解答】解

21、：函与函数 yln（2x）互为反函数，图象关于 yx 对称，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，函数设 g（x）由由上的点到直线 yx 的距离，（x0），则 g（x）0 可得 xln2，0 可得 0 xln2，函数 g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当 xln2 时，函数 g（x）min1ln2，由图象关于yx 对称得：|PQ|最小值 故选：B【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，

22、每小题 5 5 分分13（5 分）（2012新课标）已知向量夹角为 45，且，则【分析】由已知可得【解答】解，|是求解1可求，代入|2解故答案为【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|向量的模常用的方法14（5 分）（2012新课标）设x，y 满足约束条件：；则 zx2y 的取值范围为【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由zx2y 可得，则表示直线 x2yz0 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形可求z 的最大与最小值，从而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由 zx2y 可得越大，z 越小，则表示直线x2yz0在y轴上的截距，截距

23、结合函数的图形可知，当直线 x2yz0 平移到 B 时，截距最大，z 最小；当直线 x2yz0 平移到 A 时，截距最小，z 最大由可得 B（1，2），由可得 A（3，0）Zmax3，Zmin3则 zx2y 3，3故答案为：3，3【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案15（5 分）（2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正

24、态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000 小时”当且仅当“超过1000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 1000 小时时，元件 3 正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率设 A超过 1000 小时时，元件1、元件2 至少有一个正常，B超过 1000 小

25、时时，元件 3 正常C该部件的使用寿命超过 1000 小时则，P（B）P（C）P（AB）P（A）P（B）故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16（5 分）（2012新课标）数列an满足 an+1+（1）nan2n1，则an的前 60 项和为1830【分析】由题意可得 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997，变形可得 a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a9+a72，a12+a1040，a13+a152，a16+a1456，利用数列的结构特征

26、，求出an的前 60 项和【解答】解：an+1+（1）n an2n1，故 有 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997从而可得 a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a9+a112，a12+a1040，a13+a112，a16+a1456，从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列an的前 60 项和为）1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前 n 项和，属中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，

27、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2012新课标）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+bc0asinC（1）求 A；（2）若 a2，ABC 的面积，求 b，c【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出A的值；（2）若a2，由ABC 的面积结合求得 b 和 c 的值，求得 bc4，再利用余弦定理可得b+c4，【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+即sinAsinCsinB+sinCasinCbc0，sinAcosC+sinAsinCsin（A+C）+sinC，即sinAcosA1sin（A30）A

28、3030A60；（2）若 a2，ABC 的面积bc4再利用余弦定理可得：a2b2+c22bccosA（b+c）22bcbc（b+c）2344，b+c4结合求得 bc2【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题18（12 分）（2012新课标）某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：，日需求量 n频数141

29、0152016161716181519132010以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是 17 枝？请说明理由【分析】（1）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建立分段函数；（2）（i）X 可取 60，70，80，计算相应的概率，即可得到 X 的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17 枝时当天的利润，与购进 16 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论【解答】解：（1）当

30、 n16 时，y16（105）80；当 n15 时，y5n5（16n）10n80，得（2）（i）X 可取 60，70，80，当日需求量 n14 时，X60，n15 时，X70，其他情况 X80，P（X60）0.1，P（X70）0.2，P（X80）10.10.20.7，X 的分布列为XP600.1700.2800.7EX600.1+700.2+800.776DX1620.1+620.2+420.744（ii）购进 17 枝时，当天的利润的期望为 y（14535）0.1+（15525）0.2+（16515）0.16+1750.5476.476.476，应购进 17 枝【点评】本题考查分段函数模型的

31、建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力19（12 分）（2012新课标）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D 是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角 A1BDC1的大小【分析】（1）证明 DC1BC，只需证明DC1面 BCD，即证明DC1DC，DC1BD；（2）证明BC面 ACC1A1，可得 BCAC 取 A1B1的中点 O，过点O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，C1H，可得点H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角，由此可求二面角A1BDC1的大小【解答】（1）证明：在RtDAC

32、中，ADAC，ADC45同理：A1DC145，CDC190DC1DC，DC1BDDCBDDDC1面 BCDBC面 BCDDC1BC（2）解：DC1BC，CC1BC，DC1CC1C1，BC面 ACC1A1，AC面 ACC1A1，BCAC取 A1B1的中点 O，过点 O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，OHA1C1B1C1，C1OA1B1，面 A1B1C1面 A1BD，面 A1B1C1面 A1BDA1B1，C1O面 A1BD而 BD面 A1BDBDC1O，OHBD，C1OOHO，BD面 C1OHC1HBD，点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角设 ACa，sinC1

33、DOC1DO30即二面角 A1BDC1的大小为 30，【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题20（12 分）（2012新课标）设抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线为l，A C，已知以 F 为圆心，FA为半径的圆F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD90，ABD的面积，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值【分析】（1）由对称性知：BFD 是等腰直角，斜边|BD|2p 点 A 到准线 l 的距离，由 A

34、BD 的 面 积 SABD，由此能求出圆 F 的方程，知（2）由对称性，点 A，B 关于点 F 对称得：，得点到 m，n 距离的比值，由此能求出坐标原【解答】解：（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边|BD|2p点 A 到准线 l 的距ABD 的面积，解得 p2，所以 F 坐标为（0，1），圆 F 的方程为 x2+（y1）28（2）由题，A，B，F 三点在同一直线 m 上，又 AB 为圆 F 的直径，故 A，B 关于点 F 对称由点 A，B 关于点 F 对称得得：，直线切点，直线坐标原点到m，n 距离的比值为【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性

35、质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21（12 分）（2012新课标）已知函数f（x）满足f（x）f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2），求（a+1）b 的最大值【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题，借助导数求出新函数的最小值，令其大于 0 即可得到参数 a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解f（x）f（1）ex 1f（0）+x令 x1 得：f（0）1f（x）f（1）ex1x+令 x0，得 f（0）f（1）e11 解得

36、 f（1）e故函数的解析式为 f（x）exx+令 g（x）f（x）ex1+xg（x）ex+10，由此知yg（x）在 xR R 上单调递增当 x0 时，f（x）f（0）0；当 x0 时，有f（x）f（0）0 得：函数 f（x）exx+（2）f（x）的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（，0）（a+1）xb0 得 h（x）ex（a+1）当 a+10 时，h（x）0yh（x）在 xR R 上单调递增，x时，h（x）与 h（x）0 矛盾当 a+10 时，h（x）0 xln（a+1），h（x）0 xln（a+1）得：当 xln（a+1）时，h（x）min（a+1）（a+1）ln（a+1）b0，即（

37、a+1）（a+1）ln（a+1）b（a+1）b（a+1）2（a+1）2ln（a+1），（a+10）令 F（x）x2x2lnx（x0），则 F（x）x（12lnx）F（x）00 x当 x时即当 a时，（a+1）b 的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出 f（1），易因为没有将 f（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错四、请考生在第四、请考生在第 2222，2323，2424 题中任选一题作答，如果多做，则按所

38、做的第一题计分，作答题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号时请写清题号22（10 分）（2012新课标）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CDBC；（2）BCDGBD【分析】（1）根据 D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，可得 DEBC，证明四边形ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得BCDGBD【解答】证明：（1）D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点DFBC，ADDBABCF，四边形 BDFC 是平行四边形CFBD，CFBD

39、CFAD，CFAD四边形 ADCF 是平行四边形AFCD，BCAF，CDBC，所（2）由（1）所以BGDDBC因为 GFBC，所以BDGADFDBCBDC 所以BCDGBD【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题23（2012新课标）选修44；坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+

40、|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【分析】（1）确定点 A，B，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P 的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标 为）点 A，B，C，D 的直角坐标为参数）（2）设 P（x0，y0），则t|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|24x2+4y2+1632+20sin2sin20，1t32，52【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题24（2012新课标）已知函数f（x）|x+a|+|x

41、2|当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围【分析】不等式等价于，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求原命题等价于2xa2x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a3 时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，可得 x1；，可得 x；，可得 x4取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4（2）原命题即 f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x 在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x 在1，2上恒成立 故当 1x2 时，2x 的最大值为213，2x 的最小值为0，故 a 的取值范围为3，0【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题