动起来 思起来 勘起来.docx

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1、动起来思起来勘起来在学习空间几何体的表面积和体积问题时，利用表面积和体积公 式计算有关的问题，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误.一、动起来，防止公式记忆错误致误例1底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15,高是5,求这个棱柱的侧面积.错解设底面菱形的边长为x,则(KF (2KF) x) 2+52=92,所以菱形的边长x=2KF (7KF),所以 S=4X2KF (7KF) X5=40KF (7KF).剖析 直棱柱的侧面积为底面周长乘于高.错解中把底面菱形当 成了正方形.正解设底面两条对角线的长分别为a, b,则 a2+52=92, b2+52=152,得 a2=56, b2=

2、200.所以菱形的边长x=KF ( (SX (a2SX) ) 2+ (SX (b2SX) ) 2KF) =8.因止匕 S=4X8X5=160.点评脑要动起来，正确分析题目中的已知条件，从而确定出侧面积.二、思起来，分清楚多面体与几何体的结构特征例2在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是5冗 cm2、 8兀cm2,求球的面积和体积.错解 画出轴截面，如图1.圆0是球的大圆，A1BK A2B2分别是 两条平行截面圆的直径，过。作0C1A1B1于C1,交A2B2于C2.由于 A1B1A2B2,所以 OC2A2B2.由圆的性质可得，Cl、C2分别是A1B1、A2B2的中点.设两平行平面的半

3、径分别为rl、r2,且rlr2,由题意得冗r21=8兀,nr22=5五,所以 r21 =8, r22=5.又0A1、0A2都是球的半径R,所以 0C1 =KF (R2-r21KF) = KF (R2-8KF),0C2= KF (R2-r22KF) = KF (R2-5KF),所以KF (R2-5KF) - KF (R2-8KF) =1,解得R2=9.所以S球二4冗R2=36冗(cm2),V 球=SX (43SX) JiR3=36兀(cm3).剖析 错解中只考虑了两个平行截面位于球心的同侧，而忽略了两个平行截面位于球心两侧的情况.纠正(1)当两个平行截面位于球心的同侧时，见原解.(2)当两个平行

4、截面位于球心的两侧时，画出轴截面，如图2.由|OC1|+|OC2|=1,有KF (R2-5KF) + KF (R2-8KF) =1.因为 R28,所以因F (R2-5KF) 1,所以所F (R2-5KF) + KF (R2-8KF)=1 无解.即此种情况不成立.综上所述，球的面积为36兀cm2,体积为36兀cm3.点评 思考起来，通过分类讨论，找出所适合情况的球面积，从 而解答该问题.三、勘起来，画出简单的组合体适当的截面图例3已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积.错解如图3,作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的 棱长为x,球的半径为R,则有x3=V, KF (2KF) x=2R

5、. JB)解得 R=SX ( KF (2KF) 2SX) KF (S3VKF).则 S 球二4 冗 R2=2 c KF (S3W2KF).即球的表面积为2兀KF即球口表KF)剖析过球内接正方形的一个对角面作球的大圆截面，得到的是 一个宽为正方体棱长X,长为方F (2KF) x,对角线长为KF (3KF) x 的矩形(如图4),故错解所作的大圆截面是错误的.因此，将错解中的第二个方程改为KF (3KF) x=2R 即可.正解 如图4,作圆的内接长方形表示正方体的截面.设正方体的 棱长为x,球的半径为R,则有x3=V, KF (3KF) x=2R. JB)解得 R=SX ( KF (3KF) 2SX) KF (S3VKF).S 球二4 冗 R2=3 九KF (S3V2KF).即球的表面积为3冗KF (S3V2KF).点评解决问题中一定要注意不断勘误，仔细审题，把可能出现 的错误降低到最小程度.【作者单位：(215600)江苏张家港职业教育中心】