2022届高考数学一轮复习第6讲导数考点讲义含答案.pdf

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1、导数一、基本概念1、导数定义：函数y=/(x)在x=/处的瞬时变化率lim”=lim-。+效)二/(/),我们称它为函数入3。Ax A3。Ary=/(X)在 x=/处的导数，记作/(/)或 V，即 f x0)=lim 笠=lim 八与+&)-/(x 0)。-0 AXTO%-AX附注：导数即为函数y=/(x)在x=X。处的瞬时变化率；定义的变化形式：fx)=lim包=lim 3一八9二 丝；A r-0 ArfO Ax/r(x)=lim 包=lim 0)；/(x)=lim；A x-o Ax Xf X。X XQ-AXTO -AxAr=x-x0,当 Ar 0时，x x0,/.f(x)=lim)-/。)

2、。x-x0求函数丁=/(x)在X =X0处的导数步骤：“一差；二比：三极限”。2、基本初等函数的八个必记导数公式原函数导函数原函数导函数/(x)=C(C为常数)/(x)=0fx=xn(ns/?)f(x)=n-xn-f (x)=sin x/(x)=cosx/(x)=cosx/(x)=-sinx/(x)=优(a 0 且 Q w 1)fx)=ax-naf (x)=loga X (Q 0 且 Q W 1 )/(x)=L log“eX/(x)=e/(x)=e，/(x)=lnxX3、导数四则运算法则/(X)土 g(x)=/(x)土 g(x)；/W-g(x)=g(x)+f(x)-g(x);1?了 =/(x)

3、g(.(-,x)g (x)(g1)3 0)。特别提示：C/(x)=C/(x),即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。4、复合函数的导数(1)复合函数定义：一般地对于两个函数y=/(x)和=g(x),如果通过变量，y可以表示成x的函数,就称这个函数为夕=/(x)和=g(x)的复合函数，记作y=/g(x).(2)复合函数求导法则：复合函数y=/g(x)的导数和函数y=/(x)、w =g(x)的导数的关系为yx=yu-ux,即y对x的导数等于歹对 的导数与对x的导数的乘积。例1 T.求函数y=3 1在工=1处的导数。分析：先求=Ay=/(1+A x)-/=6Ax+(Ax)2,再求 -=6+A

4、 x,再求 lim 2=6。Ar AXTO AX3 x2-3-12 3(x2-I2)yr|!=l i m -=l i m-=l i m 3(x +1)=6。一 X f 1 X 1 -V-1 X X T1例 1-2.求导：/(X)=C；f(x)=X；f(x)=x 2；(4)/(X)=；X f(X)=G。包=/(6)二/、(幻=0,/，()=l i m 包=l i m 0 =0；A x A x A r A x-o A x AX-O 包=2口 =,f，(x)=l i m 包=l i m l =l；x A x A x-0 A x A 2 0 =(-+&)7 =2 x +z k r ,fx)=l i m

5、 =l i m (2 x +A x)=2x：A x A x A r-o A x AT T01 _ _ _ _ 1 =.+=z-,fx)=l i m =l i m (5 -)=-y ;A x A x x +x-A x -Ax-x-1-x A x x 包=屈石 1 八 x)=l i m 包=lim-LA x A x J x +A x+J x 20Ax o J x +A x+J x 2 j x变 式 17.若物体的运动方程是s(f)=f-s i n f,则物体在f =2时的瞬时 速 度 为()。A c o s 2 +2 s i n 2 2 s i n 2-c o s 2 C s i n 2 +2 c

6、 o s 2 D、2 c o s 0-s i n 2CV sr(t)=/-s i n/+/(s i nt)f=s i n/+/c o st,:.sf(2)=s i n 2 +2 c o s 0,故选 C o变 式 1-2.如果函数/(X)=X2+_ L +5,则 八 1)=()。XA、0 B、1 C、5 D、不存在Bfx)=2 x-,八 1)=1,故选 B。X例 1-3.函数夕=2 的导数是X-x-s i n x-c o s xX2,zCOSX,y=(-)=X(c o s x)zx-c o s x-xr _ -x-s i n x-c o s xx2变 式 1-3.函数x)=3一 的 导 数 是

7、.x +2 x +1-3x2-2(X3+2X+1)2(x +2 x +1)1 3 x -2J)=，+2X+1)2 =+2X+1)2 -2xsinx+(l-x2)cos xsin2x-2 x sin x-(-x2)sinx1-x2变式 1-4.设/(x)=L,贝I j/(x)=()。sinx、-2xsin x-(l-x2)cosxsin2x-2xsinx+(l-x2)sinxA、(1-x2)r sin x-(1-x2)(sin x -2x sin x-(1-x2)cos x.加 A/W=-T-=-，故选 A。sin x sin x变 式1-5.函数/(x)=(2x+l),/的导函数为/，则/(0

8、)=()。A、0 B、1 C、2 D、3Df(x)=2ex+(2x+1)-=(2x+3)-,则 得/(0)=3,故选 D。例1-4.函数y=(x-a(x-b)在x=a处的导数为 oa-b1 y=x2(a+b)x 4-ah；/.yr=2x-(a+b)f y x=a=2a-a-b=a-h。变 式1 6.曲线y=x(l-ox)2(。0),且了忆2=5,则实数。的 值 为()。A、0 B、1 C、2 D、3Byf=(1-ax)2+x-(1-ax)2f=(1-cue)2+x-(1-2ax+a2x2)z=(1-ax)2+x-(-2a+2a2x),/|X=2=5,B P 3a2-2 a-l=0,a 0,：.

9、a=9 故选 B。变式 1-7.求导：(l)y =tanx；(2)歹=(x+l),(x+2)(x+3)。(1)/=(tan x)f=(包土y=cosx(sin x)cos x sin x (cos x)fcos2 x2 2 icos x+sin x _ 1cos2 x cos2 x(2)y=(x+1)(x+2)(x+3)二 丁+6x2+1 lx+6,y =3x2+12x+11。能力提升：已知函数/(x)=1 9(x2+l)(xl)判断/(X)在X =1处是否可导？分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导。1 1 ,1 1 ,-(1+Ar)+1-(12+1)(1 +-+1)(

10、+1)lim 丝 二lim 区-2-=1,lim 丝 二lim 2-?-=-A x o-Ar A r-o-Ax A A o*Ax A r-o+Ax 2.,/(%)在工=1处不可导。注意：At f 0+,指以逐渐减小趋近于0；Ax f0一，指心逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 l i m /(/+曲)一/(丽),包括-0+与A x-0 A XAxf(T,因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数。讲解：函数在定义域内的导数可能没有意义，但是函数有意义：例 如/。)=五，则

11、/(x)=二，2lxx =0 在函数有意义，在导函数无意义。导数是切线的斜率，如果原函数某点的切线垂直与x 轴，则导数无意义，但是原函数值是存在的。例 1-5.函数/(x)=(2+/)2 的导数为。/,(X)=6X5+12X2/(x)=1+4 1 +4,贝 i j f(x)=6x$+l2X2。变式 1-8.已知卜=(1 +(：05 2丫)2,则 _/=。-4 s in 2x(1 +cos 2x)设 y =2,u=1-FCOS2X,则/=yrx=yu ux，=2(1 +cos 2x)=2(一 s in 2x)(2x)=2(一 s in 2x)2=-4s in 2x(1 +cos 2x)能力提升：

12、求导：y =-匕 2-；y =(ax -bs in2 cox)(3)y=f(yjx2 4-1)o(1 +X-)CO SX,、(1 -x)z(l +x2)cos x -(1 -x)(l +x2)cos x f(l +x2)2cos2x-(1 +x2)cos x-(l-x)(l +x2)cos x +(l +x2)(cos x)(l +x2)2 cos2 X一 (l +x 2)cos x-(l-x)2x cos x-(l +x 2)s in x(l +x2)2cos2x_(x2-2x-l)cos x +(l -x)(l +x2)s inx(l+x2)2cos2x(2)y=u3,u=ax-bsin2

13、 cox ,m=s in cox ,=cox,/=)=3 2 ，u=ax-bsin2(DX)Z=a-(/)s in2 cox)/=a-(bm2)=a-2bm-mr,M=(s in )=cos co=co cos cox ,/=Q-2b s in cox 3 cos cox =。一 ft cos in 2cox ,y=(w3)r=3(cos in2cox)；(3)解法一：设歹=/a o，g=V v,v=x2+1,则：i -义=X 1 心 V；=/3)W V 2-2x=/(6 +1)，/1-2x=/：)；2 Vx2+1&+1_ _ _ _.j,解法二：y=/心+1)了=/西+1).(&+),=/心

14、+1(X2+1)一 二(x2+1)=/,(V7 7I)-(X2+i p 2x=-r r(v i)o2Vx2+1二、导数的几何意义1、切线的斜率：函数/(X)在X。处的导数就是曲线“X)在点P(x 0,/(X。)处的切线的斜率，因此曲线/(X)在点P处的切线的斜率k=fx0),相应的切线方程为y-/(X。)=/(/)(x-x 0)。例 2-1.曲线y =-2x 2+1 在点(0,1)的切线斜率是().A、-4 B、0 C、2 D、不存在B点在曲线上左=/(0)=-4x L=o=O,故选点变式2 T.曲线夕=；/在 点(,g)处切线的倾斜角为()。A、-B、0 C,-D,4 4 4C点在曲线上左=

15、/(l)=x|z=l,故选点例 2-2.曲线y =x (3I nx +1)在点(1,1)处的切线方程为。4x -y -3=0/=31 nx +4,故y l=I =4,又点(1,1)在曲线y 上，曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1 =4(x-l),化为一般式方程为4 x-夕-3=0。总结：求曲线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜率或曲线上某点坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x 0,/(x o),尸点坐标适合曲线方程；尸点坐标适合切线方程；P点处切线斜率为k=fx0)。变式2-2.己知/(x)为偶函数，当x4 0 时，f(x)=e-x-x,则曲线

16、y =f(x)在点(1,2)处的切线方程是一2x-y=0当x 0 时，-x0 时,f(x)=ex-l+,又点(1,2)在曲线v 上,则曲线夕=/(x)在点(1,2)处的切线的斜率为/=2,切线方程为 y 2=2(x-l),即 2x y =0。例 2-3.已知点尸(-1,1),点。(2,4)是曲线歹=2上的两点，求与直线产。平行的曲线的切线方程。4x-4y-1=0y=2 x,设切点为(如 为),则川 =2 0，4-1：尸 0 的斜率=k=l,又切线平行于P 0,.%=2 x o=l,即 而=；，切点M(g,()，所求直线方程为4x 4了一1 =0。变式2-3.由曲线y =d 在点(1,1)处的切

17、线与x 轴、直线x =2 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为.83；J/|X=I=3X2|X=I=3,.切线为y =3 x-2,如图,1 2 Q8(2,4),A S=-x(2-)x 4=-例 2-4.函数/(x)=x 3-2-x +1 的图像上有两点40,1)和 8(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数./(X)的图像在x =a 处的切线平行于直线A B。2/，(x)=3x 2_2x-1,kA Bf(a)=3 a2-2a-l-(0 a l),解得a=。变式2-4.已知直线y =-x +l 是函数/(x)=-L-e、图像的切线，则实数。=a设切点为(如 为)，则/(%0)=-L

18、*=一1,+1 =0,b=2,故选 B。三、导数与函数的联系1、函数的单调性：在某个区间仅，6)内，如 果/(x)0,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增。在某个区间(a,6)内，如果/(x)0,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递减。2、函数的极值：设函数/(x)在点与附近有定义，如果对X。附近所有的点x,都 有 乃/(%),那么/(X。)是函数的一个极小值，记作y 极 小 值=/(%)。极大值与极小值统称为极值。3、函数的最值：将函数y =/(x)在口，句内的各极值与端点处的函数值/(“)、/S)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注意：(1)判断极值的条件掌握不清

19、：利用导数判断函数的极值时，忽 视”导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立。(2)混淆在点尸处的切线和过点尸的切线：前者点尸为切点，后者点尸不一定为切点，求解时应先设出切点坐标。(3)关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域。例 3T.若函数/(x)=x2+ax+，在己,+8)上是增函数，则a 的取值范围是()。x 2A、-1,0 B、-l,+oo)C、0,3 D、3,+0 0)D/(x)N O在(g,+8)上恒成立，即2 工+。一 120,即。21一2%在(；,+8)上，恒成立，y =4-2 x在(L +oo)上为减函数，J max 3，a N3 ,故选 D

20、。变式3-1.若函数/(x)=x2+av +J在(L +8)上存在减区间，求实数。的取值范围是()。x 2A、(-oo,3)B、-1,0 C、0,3 D、3,+8)Afx)=2x+a-,.函数在(L +8)上存在减区间,x2二 f(x)0 在(L +oo)上有解，即2 x在(L +8)上有解，2 x 2I?2设 g(x)=_ 2 x,g (x)=y-2 ,令g (x)=r-2 =0,得 x=_ ,X X X当 xe(g,+8)时，g(x)0,又g(；)=4-1 =3,a g(x)成立，则实数。的范围为()。A、0,+oo)B、(0,+oo)C、l,+oo)D、(l,4-oo)B由题意知n x-

21、2 1 n x 0在 1,e上有解，满足。(a!竺).演即可，X设(x)=,.(X)=0Inx)：x”x(x)：=2(1 二？,Vx e u e,(幻2 0,X(x)X 久外在1,句上恒为增函数，(x)2 =0,。0,故选B。变式3-2.设函数/(x)=x3 g x 2-2 x +5,若对于任意x e -l,2 都有/(x)l 时，f(x)0,当一11 时，/r(x)0,4分2 2 .y=f(x)在(oo,-和(1,+oo)上为增函数，在(一1,1)上为减函数，6分2 2 22 /(x)在 工=-处有极大值，在x=l处有极小值，极大值为/(-)=5e，8分而/(2)=7,/(x)在-1,2上的

22、最大值为7,对于任意X E|-1,2都有/()7。10分例3-3.若对Vx、E0,+o o),不等式4 6 /+尸2+/-尸2+2恒成立，则实数。的最大值是()。A、B、,C、1 D、24 2B。,尸 2 +，-尸 2+2=ex-2(ey+e-y)+2 2(ex-2+1),即 2(e12+i)4a x,1 +1 +PX当x=0时恒成立，当x 0时，可得，令g(x)=一,X X则g，(x)J )_1,可得g，(2)=0,且在(2,+8)上g，(x)0,在0,2)上g，(x)0,故g(x)的最小值为g(2)=l ,于是2 a ax-,求实数的取值范围。(1)/(X)的定义域为(0,+8),/(X)

23、的导数r(x)=lnx+l,1 分令/(X)0，解得 x -f 令 fx)0 ,解得 0 x -,3ee分从而/,(x)在(0)单调递减，在(L +8)单调递增，5ee分.当X =!时，/(X)取极小值也是最小值，则/(x)mi n=/(1)=-；6 分ee e(2)依题意得 X)之Q X -1 在 1,+0 0)上恒成立，即不等式Q l 时，g (x)=j-20,故g(x)是 1,+8)上的增函数，1 0X分；g(x)的最小值是g(l)=1，a 41 从而a 的取值范围是(一8,1 。1 2分总结：研究极值、最值问题应注意的三个关注点：(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导

24、函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点。(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论。(3)含参数时，要讨论参数的大小。例 3-4.设函数/(X)=X3-6X+5,x e R.(1)求/(x)的单调区间和极值；若关于x的方程/(X)=有3 个不同实根，求实数a的取值范围。已知当xe(l,+8)时，/()2 人(-1)恒成立，求实数k 的取值范围。(1)/(X)=3(X2-2)=3(X22),令/(x)=0 得 士=-右，勺=正，2 分.当 正 时/(x)0,当一后 x a 时/(x)0,./(工)的单调递增区间是(-8,-血)及(、份,+8),单调

25、递减区间是(-J I J I),5 分当=-收，/(x)有极大值5+4后，当x=6.,/(x)有极小值5-4 收；6分(2)由的分析可知y=/(x)图像的大致形状及走向，81012当5-4A历 a k(x-1)即(x-l)(x2+x 5)之 女(x 1),x 1,:W /+x 5 在(1,+8)上恒成立，分g(x)=x2+X-5,由二次函数的性质，g(x)在(1,+8)上是增函数，g(x)g(l)=-3,所求的取值范围是左W -3。分变式3-4.已知函数f(x)=ax2+21n(l-x)(a 为实数)。若 X)在 x=-l 处有极值，求。的值；若在-3,-2 上是增函数，求。的取值范围。21(

26、1)/(、)的定义域为(一8,1),f(x)=2ax-,r(一 1)二 一 2。-1 =0,a=；1-x2(2)/(x)0 对 x w 3,2恒成立，分 X e-3,-2,-(X-3)2+：的最大值为 _ (2 _；)2+；=-6,分一一的 最 小 值 为 又 因 4=-，时符合题意，,a V-J。6 6 63 分5710分变式3-5.已知函数/(x)=-x2+lnx c求函数/（X）在口,句上的最大值、最小值;7(2)求证：在区间 1,+8)上，函数/(X)的图像在函数g(x)=(x 3 图像的下方。(I)由/(x)=x 2+l n x 有/(x)=x +L,当 x e l,e 时,/(x)0,/(x)为增函数,2 分2x：.fmM=f(e)=e2+,Zn a x(x)=/(l)=i；4 分 设/(x)=,x 2+l n x-2 x 3,则尸，(对=x +)2/=Q -1川+*+2 x-),62 3 x x分当x e l,+8)时，F(x)0,则/(x)单调递减，且尸(1)=一,0,86分1 2x e 1,+o o)f t F(x)0 ,/.x2+nx x3,得证。1 0分