2022届高考数学一轮复习第5讲基本初等函数考点讲义含解析.pdf

《2022届高考数学一轮复习第5讲基本初等函数考点讲义含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学一轮复习第5讲基本初等函数考点讲义含解析.pdf（12页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、基本初等函数 一、指数与指数函数(一)指数式的化简与求值 1、化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序。提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算。2、结果要求：题目以根式形式给出，则结果用根式表示；题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂。例 1-1已知41a，则化简42)14(a的结果是()。A、a41 B、14 a C、14 a D、a41【答案】D【解析】aaa41)41()14(4242，故选 D。变式 1-1化简3aa 的结果是()。A

2、、65a B、65a C、65a D、52a【答案】B【解析】0a，则656565312131213)()()()()(aaaaaaaaa，故选 B。变式 1-2已知31xx，求下列各式的值：(1)2121 xx；(2)22 xx；(3)2323 xx。【解析】(1)52)(2)()(1221212122122121xxxxxxxx，52121xx，又由31xx得0 x，52121xx；(2)72)(2122xxxx；(3)1)()()()()(12121221212122121213213212323xxxxxxxxxxxxxx 52)13(5。(二)指数函数的图像和性质 1、定义：一般地，

3、函数xaxf)(0a且1a)叫做指数函数，其中x是自变量。2、图象和性质：1a 10 a 图象 共性 必过第一、二象限及y轴正半轴 必过)10(，点，渐近线为x轴 图形都是下凹的，都是无界函数 定义域为R，值域为)0(，异性 在R上是增函数 在R上是减函数(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线。当10 a时，x，0)(xf；a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快。当1a时，x，0)(xf；a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快。(2)画指数函数xaxf)(0a且1a)的图像，应抓住三个关键点：)1(a，、)10(，、)11(a，。注意：与指

4、数函数有关的函数的图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象。一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解。(3)熟记指数函数xxf10)(、xxf2)(、xxf)101()(、xxf)21()(在同一坐标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系。(4)在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解。(5)比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等。是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性。要注意指数函数图象和幂函数的图象的

5、应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”。还应注意中间量0、1等的运用。注意：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，值域为大于0的实数集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。(2)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线1y是从递减到递增的一个过渡位置。例 1-2函数aaxfx)(0a且1a)的图象可能是()。A、B、C、D、

6、【答案】C【解析】必过定点)01(，由0)1(f可知选 C。例 1-3函数xaxf)(0a且1a)必过 点。【答案】)10(，【解析】10a，则xaxf)(必过点)10(，。变式 1-3函数2)(xaxf(0a且1a)必过 点。【答案】)12(，【解析】10a，则2)(xaxf必过点)12(，。变式 1-4函数3)(2xaxf(0a且1a)必过 点。【答案】)42(，【解析】10a，则2)(xaxf必过点)42(，。例 1-4函数22)21()(xxxf的单调递增区间是()。A、21，B、211，C、10，D、221，【答案】D【解析】令022xxt，得函数)(xf的定义域为21，t在211，

7、上递增，在221，上递减，又t)21(为减，根据同增异减)(xf的单调增区间为221，故选 D。例 1-5求下列函数的定义域、值域：(1)1218)(xxf；(2)xxf)21(1)(；(3)xxf 3)(；(4)11)(xxaaxf(0a且1a)。【解析】(1)012x，则21x，原函数的定义域是21|xRxx且，令121xt，则0t，Rt，ttf8)(0t，Rt)得0y且1y，原函数的值域是10|yyy且；(2)0)21(1x，则0 x，原函数的定义域是)0，；令xt)21(1(0 x)，则10t，ttf)(在)10，是增函数，10 y，原函数的值域是)10，；(3)原函数定义域是R，令|

8、xt，则0t，ttf3)(在0(，是为为增，10 y，原函数值域是 10(，；(4)原函数定义域是R，由11xxaay(0a且1a)得11yyax，0 xa，011yy，解得11y，原函数值域是)11(，。(三)指数函数的综合应用 例 1-6设9.04a，48.08b，5.1)21(c，则a、b、c的大小关系为()。A、cba B、bca C、acb D、bac【答案】B【解析】8.12a，44.12b，5.12c，xy2在R上是单调递增函数，acb，故选 B。例 1-7已知999999P，909911Q，那么P、Q的大小关系是()。A、QP B、QP C、QP D、无法确定【答案】B【解析】

9、0P，0Q，1119999990999QP，QP，故选 B。例 1-8设函数|)(xaxf(0a且1a)，4)2(f，则()。A、)1()2(ff B、)2()2(ff C、)2()1(ff D、)2()1(ff【答案】A【解析】4)2(f，21a，|2)(xxf，)1()2(ff，故选 A。例 1-9当1a时，证明函数11)(xxaaxf是奇函数。【解析】由01xa得，0 x，故函数定义域0|xRxx，关于原点对称，又)(11)1()1(11)(xfaaaaaaaaxfxxxxxxxx，)()(xfxf，函数11)(xxaaxf是奇函数。二、对数与对数函数(一)对数及其运算 1、一般地，对于

10、指数式Nab，我们把“以a为底N的对数b”记作Nbalog(0a且1a)。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数函数的一般形式为xxfalog)(0a且1a)，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。注意：NabNbalog(0a且1a)的关系是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用。下图给出对于不同大小a所表示的指数函数和对数函数的图形：图像 1ba 01ba 指数函数：xaxf)(与xbxf)(-1-2-3-6-4-2011A-1-2-3-2011 对数函数：xxfalog)(与xxfblog)(可以看到对数函数的图形只不过是指数函数

11、的图形关于直线xy 的对称图形，因为它们互为反函数。2、对数的运算规律：(0cba、且1cba、，0M，0N)(1)01loga，1logaa，NaNalog，NaNalog；(2)NMMNaaalogloglog，NMNMaaalogloglog；(3)bmbaamlog1log，bnbanaloglog，bmnbanamloglog；(4)aabababbbccalog1lnlnlglglogloglog；推广ddcbacbaloglogloglog。注意：在运用bnbanaloglog时，在无0b的条件下应为|loglogbnbana(Nn且n为偶数)。3、几种常见对数 对数形式 特点

12、记法 一般对数 底数为a(0a且1a)Nalog 常用对数 底数为10 Nlg 自然对数 底数为 71828.2e Nln 4、对数式的化简与求值 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形。利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化。例 2-1求值：(1)3log9log28；(2)2lg50lg)5(lg2；(3)245lg8lg344932lg21。【解析】(1)原式323log3log2223；(2)原式1)5(lg1)5(lg)5lg1()5lg1()5(lg)510lg()510lg

13、()5(lg2222；(3)法一：原式5lg212lg27lg2lg25)5lg7lg2(212lg2334)7lg22lg5(21 2110lg21)5lg2(lg21；法二：原式2110lg475724lg57lg4lg724lg。例 2-2求值：(1)若1052ba，求ba11的值；(2)若14log3x，求xx44的值。【解析】(1)由已知10log2a，10log5b，则110lg5lg2lg11ba；(2)由已知3log4x，则31031344443log3log44xx。变式 2-1关于x的方程)1(log2)1(log22xx的解为 。【答案】5【解析】原式化简为14log)1

14、(log22xx，即141xx，解得5x(负值舍去)，5x。变式 2-2已知函数xxflg)(，若1)(abf，则)()(22bfaf 。【答案】2【解析】由1)(abf得1)lg(ab，10ab，则2)10lg()lg()lg()lg()()(2222222bababfaf。(二)对数函数的图像及其性质 1、对数函数的图像 1a 10 a 图像 共性 必过第一、四象限及x轴正半轴 必过)01(，点，渐近线为y轴 都是无界函数 定义域为)0(，值域为R 异性 在R上是增函数，图形都是上凸的 在R上是减函数，图形都是下凹的 2、对数函数比较大小 对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法，在同

15、底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底。中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”、“1”或其他特殊值进行“比较传递”。图像法，根据图像观察得出大小关系。作差或作商法。3、对数函数与指数函数的关系 指数函数 互为反函数 对数函数 xaxf)(0a且1a)yx，xy xxgalog)(0a且1a)若指数函数xay 转化成对数函数yax，但这么写不符合函数形式，就把yax 命名为xyalog 1a 10 a-1-2-3-6-4-2011A-1-2-3-2011 1a 10 a 1a 10 a 指数函数的图像与对数函数的图像关于直线xy 轴对称，即互为反函数的图像关于直线

16、xy 轴对称 例 2-3设2log3a，2lnb，215c，则()。A、cba B、bca C、cab D、acb【答案】C【解析】法一：3log12log23a，eb2log12ln，32e，3loglog122e，ba，51521c，而3log4log2522，ac，综上cab，故选 C。法二：3log12log23a，eb2log12ln，23loglog122e，1log13log12122e，214151521c，cab，故选 C。变式 2-3设2log3a，2log5b，3log2c，则()。A、cba B、bca C、acb D、bac【答案】D【解析】05log3log3log

17、5log5log13log12log2log22222253ba，ba，13log2c，1a，1b，bac，故选 D。4、对数函数的图像与性质及应用 研究对数型函数的图像时，一般从最基本的对数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图像。例 2-4作出下列函数的图像：xxflg)(，)lg()(xxf，xxflg)(；|lg)(xxf；xxflg1)(。【解析】例 2-5已知函数)1(log)(xxfa(0a且1a)，若当)01(，x时，0)(xf，则)(xf在定义域上是()。A、减函数 B、增函数 C、常数函数 D、不单调的函数【答案】B【解析】)01(，x，即)10(1，x

18、时0)(xf，1a，)(xf在)1(，上是增函数，故选 B。例 2-6求下列函数的定义域、值域及单调区间：(1)4(log)(31xxf；(2)(log)(22xxf；(3)xxf2log1)(；(4)xxf311log)(7。【解析】(1)由04 x得4x，定义域为)4(，值域是R，又1310，单调递增区间是)4(，无单调递减区间；(2)由02x得0 x，定义域为0|xRxx且，值域是R，又12，单调递增区间是)0(，单调递减区间是)0(，；(3)0log2x且0 x，定义域为)1()10(，值域是)0()0(，根据复合函数单调性性质可知无单调递增区间，单调递减区间是)1()10(，；(4)

19、0311 x，定义域为)31(，值域是R，根据复合函数单调性性质可知无单调递减区间，单调递增区间是)31(，。变式 2-4求函数2)3(log)(xxfx的定义域。【解析】由02x得0 x，由03 x且13 x得3x且2x，定义域为203|xxxx且且。变式 2-5已知xaxf)(，xxgalog)(0a且1a)，若0)3()3(gf，则)(xf与)(xg在同一坐标系内的图像可能是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】0)3(3 af，03log)3(ag，10 a，故选 C。变式 2-6已知)1(log)(xaaxf(0a且1a)，求)(xf的定义域并判断)(xf的单调性。【解析】由01x

20、a得1xa，当1a时0 x，当10 a时0 x，当1a时)(xf的定义域为)0(，当10 a时)(xf的定义域为)0(，当1a时在)0(，上任取1x、2x，设210 xx，则211xxaa，11021xxaa，)1(log)1(log21xaxaaa，)()(21xfxf，当1a时)(xf在)0(，上为单调递增函数。同理，当10 a时，)(xf在)0(，上为单调递增函数。三、幂函数(一)幂函数的定义：一般地，形如axxf)(Ra)的函数称为幂函数，其中a为常数。1、判断幂函数需：系数为1，底数为变量x，指数为一常数，后面不加任何项。例如：23)(xxf，1)(xxxf，1)(2 xxf均不是幂

21、函数，再者注意与指数函数的区别，例如：2)(xxf是幂函数，xxf2)(是指数函数。2、由于幂函数的解析式中只含有一个参数a，因此只需一个独立的条件即可确定其解析式，当已知幂函数经过某一点时，可采用待定系数法求出解析式。例 3-1已知点)3333(，在幂函数)(xf的图像上，求)(xf的解析式。【解析】设axxf)(，则a)33(33，解得3a，3)(xxf。变式 3-1已知函数62)22()(22nxmmxfm是幂函数，求)(xf的解析式。【解析】1222 mm，062n，可求3m或1m，3n，1)(xxf或3)(xxf。例 3-2已知幂函数352)1()(mxmmxf在)0(，上是增函数，

22、则m()。A、1 B、2 C、1或2 D、3【答案】A【解析】112mm，解得2m或1m，当2m时13)(xxf在)0(，上是减函数，当1m时2)(xxf在)0(，上是增函数，1m，故选 A。变式 3-2已知函数352)1()(mxmmxf，当m为何值时，)(xf：是幂函数；是幂函数，且在)0(，上的减函数；是正比例函数；是反比例函数；是二次函数。【解析】幂函数：则112mm，解得2m或1m，2)(xxf或13)(xxf；幂函数：2m或1m；又在)0(，上为减函数，则1m，13)(xxf；正比例函数：135 m，解得54m，1)(xxf；反比例函数：135 m，解得52m，1)(xxf；二次函

23、数：235 m，解得1m，2)(xxf。(二)幂函数的图像和性质 1、图像分类：直线型：0a或1；抛物线型：10 a或1a；双曲线型：0a。2、幂函数的图像特征：0a 1a pqa 0a 10 a 1a p、q都是奇数 p是奇数、q是偶数 p是偶数、q是奇数 共性 必经过)11(，点，必经过第一象限，必不经过第四象限。除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交。任何两个幂函数最多有三个公共点。异性 0a的幂函数在区间)0(，上的性质：必经过)11(，点；都是递减函数；图像向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近。10 a和1a的幂函数在区间)0，上的性质：必经过两个点)00(，和)11(，

24、；都是递增函数；幂函数与直线xy 有如下关系：10 x 1x 1a 在xy 的下方 在xy 的上方 10 a 在xy 的上方 在xy 的下方 3、幂函数规律总结(1)在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；(2)对于幂函数axxf)(，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图像的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0a，10 a和1a三种情况下曲线的基本形状，还要注意0a，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图像的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0a(1a)时图像是抛物线型；0a时图像是双曲线型；1a时图

25、像是竖直抛物线型；10 a时图像是横卧抛物线型。(3)曲线在第一象限的凹凸性：1a时，曲线下凸；10 a时，曲线上凸；0a时，曲线下凸。例 3-3已知幂函数322mmxy(Zm)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则m()。A、1或2 B、0或1 C、0或2 D、3【答案】C【解析】原函数图像与x轴、y轴都无交点，0322 mm，即31m，又函数图像关于原点对称，322 mm是奇数，0m或2m，故选 C。变式 3-3已知函数3222)()(mmxmmxf，当m为何值时，)(xf在第一象限内的图像是上升曲线。【答案】02mm且0322 mm，解得：)3()1(，m。例 3-4请把相应的幂

26、函数图像代号填入表格。32xy；2 xy；21xy；1 xy；31xy；23xy；34xy；21 xy；35xy。【解析】利用上述规律，可很快地得出答案：E、C、A、G、B、I、D、H、F。例 3-5分别画出：2725 xy，982xy，27xy，81xy 的大致图像。【解析】；。变式 3-4分别画出：xxy3；12xxy，|1log|2xy，12xy的大致图像。【解析】分段函数0,0,22xxxxy；131xy先作xy3的图像，再向右平移1个单位，在向上平移1个单位；先作xy2log的图像，再将其图像向下平移1个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方；先作出xy2的图像，保

27、留0 x部分，再关于y轴对称得到xy2图像，然后右移一个单位。变式 3-5 作函数11)(xxxf的大致图像，求)(xf的定义域、值域、单调区间，并求当21()11，x时，函数)(xf的值域。【解析】121)(xxf，先作xy2图像，再向右平移1个单位，在向上平移1个单位，)(xf的定义域为1x，值域为1y，单调递减区间为)1(，和)1(，当21()11，x时，函数)(xf的值域)30(，。三、幂函数的大小比较 1、在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数。借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键。2、比较两个幂值的大小：(1)若指数相同(或能化为同指数)

28、，则利用幂函数的单调性；(2)若底数相同(或能化为同底数)，则利用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作桥梁来比较大小。3、幂函数性质的综合应用(1)要明确幂函数中，幂指数的正负与函数单调性的关系，幂指数的奇偶性与函数的奇偶性间的关系。(2)要注意将得到的结果对照条件进行检验，合理取舍。例 3-6比较大小：5.0)32(，5.0)23(；1)32(，1)53(；73)1.2(，73)2.2(；【解析】5.0 xy 在)0，上是递增函数，5.05.0)23()32(；1 xy在)0(，上是递减函数，11)53()32(；73xy 在)0(，上是递增函

29、数，7373)1021()1.2(，7373)115()2.2(，7373)2.2()1.2(。变式 3-6比较大小：125.5，126.5，226.5；35.0，5.03，5.0log3；6log7.0，67.0，7.06。【解析】1 xy在)0(，上递减，26.525.5，1126.525.5，xy26.5是增函数，21，2126.526.5，综上，21126.526.525.5；15.003，135.0，05.0log3，5.03335.05.0log；01log6log7.07.0，17.07.0006，16607.0，则7.067.067.06log。变式 3-7若3131231aa，求a的取值范围。【解析】31 xy在)0(，上减，函数值0y，在)0(，上单调递减，函数值0y，则有0231aa或aa2310或02301aa，a的范围为)2332()1(，。