2022届高考数学一轮复习第9讲平面向量考点讲义含答案.pdf

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1、平面向量一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。（没有位置、不能比较大小）（1）数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。向量的表示方法：具有方向的线段，叫做有向线段，以力为始点，8为终点的有向线段记作M ,方的长度记作|瓦用有向线段方表示向量，读 作 向 量 刀；（有向线段的三要素：起点、方向、长度）用小写字母表示：3、右。（印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头）（3）向量与有向线段的区别和联系：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有

2、向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。2、向量的模：向量方的大小一一长度称为向量的模，记作|万|。（能比较大小）3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作6。（注意6 与0的含义与书写区别）4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量3共线的单位向量=二。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5、平行向量：若非零向量3、3的方向相同或相反，则房力，又叫共线向量；（2）规定6 与任一向量平行。说明：综合（1）（2）才是平行向量的

3、完整定义；三点N、B、C共线o 茄、就 共线；向量平行无传递性，即2 虎,芯 不能推出】/虎（Z 可能为6）。注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）。说明：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。7、相等向量：若非零向量7、3 方向相同且模相等，则向量1、7 是相等向量。相等向量：H=模相等，方向相同；（2）相反向量：=-2=模相等，方向相反。说明：任意两个相等的非零向量，都可

4、用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。二、向量的加法1、三角形法则注意：（1）和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点.原理已知向量Z、b,在 平 面 上 任 取 一 点 作 方=1 C =b,再 作 向 量 就，则向量就叫做与Z的和（或和向量），记作）+3,即）+g =Q+=就。图示Ca a b 衿 b.b_8 A B C C A B(1)(2)(3)（2）零向量与任一向量4的和都有a +O =O +a =a。2、平行四边形法则3、多边形法则原理已知两个不共线向量1、b,作 方=5,B C =b,则/、B、。三点不共线，以 布、而为邻边作平行四边形，则对角线上的向量

5、就=+6，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示/D a Ca4、向量加法的运算律原理已知 个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示d 90运算律交换律a+b=b+a结合律(a +b)+c =a +(6 +c)三、向量的减法1、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作-2。（1）规定：零向量的相反向量仍是零向量；一（-4）=4 ;（3）a+（-）=（一Q）+Q=0；（4）若Z与Z互为相反向量，则）=，i=二,a+b=0.注意：相反向量与相等向量一样，从“长度”和

6、方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。f .*,f2、向量的减法：已知向量。与b（如图），作=OB=b,则6 +历1 =。，向量历1 叫做向量。与b的差，并 *.-.B记作。一 6,BA=a-b=O A-O B,由定义可知：V .0aA（1）如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量:(2)一个向量屈等于它的终点相对于点O的位置向量方减去它的始点相对于点。的位置向量赤，或简记为“终点向量减始点向量”：(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。注意：在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即

7、可。四、数乘向量1、数乘向量的定义：实数九和向量 的乘积是一个向量，记作九长度：|山|=|)卜日|,方向：标/(。#6)的方向：当九0时，与a同方向；当九0时，与反方向。特别地，当九=0或5=6时，oG=6或Q6=6,九 中的实数大叫做向量的系数。(3)几何意义：就是把向量Z沿着的方向或的反方向放大或缩小。(4)运 算 律:设九、geT?则(九+R)a=)a+jia,入(口 )=(%)a；九(+3)=九a+需。注意：实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如九+Z、入均无法运算;匕的结果为向量，所以当九=0时，得到的结果为6而不是0。2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合

8、运算，通常叫做向量的线性运算。3、两个非零向量a、B的夹角：已知非零向量a与3,记OZ=a、OB=b,则/力。8=。(0 4。4兀)叫做a与Z的夹角。说明：当。=0时，。与3同向；当0=兀时，a与Z反向；当0=四时，a与Z垂直，记a _ L 6；2注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为 0,兀 。4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量鼠与九 它们的夹角是0,则数量|Z3|-cosO叫Z与Z的数量积，记作 工,即有U=|k|B|-cosO (0 4 0 4兀)。规定6与任何向量的数量积为0。说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：(1)两个向量的数量积是一个实数

9、，不是向量，符号由cosO的符号所决定。(2)两个向量的数量积称为内积，写 成 书 写 时 注 意 符 号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替。(3)(a+b)2=a 2a-b+b,(a+b)(a-b)=a-b。(4)在实数中，若a*0,且a-6=0,则6=0,但是在向量中，若且a-Z=O,不能推出7=6,其中cos0=0。已知实数a、b c(b w O),则=但是向量。=不能推出Q=C,.如右图：Z$=|Z|g|-cosB=|3|E|,f f f .f 一b-c=b*c-cosa=bOA,n ,b =b,c 但 a w e。在实数中有(a/)c=Q(bc),但是在向量中(

10、a b)-c=a(b c),显然，这是因为左端是与】共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与】不共线。5、向量Z在Z方向上的投影：设。为Z、7的夹角，贝ij|5|-cos。为3在Z方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量。当o为锐角时投影为正值；当o为钝角时投影为负值：当e为直角时投影为o；当0=0。时投影为|山；当0=180 时投影为-13|。6、向量的数量积的几何意义：数量积D等于Z的长度与右在Z方向上投影|B|-cosO的乘积。7、向量的运算:运算向量形式坐标形式：c i=(Xp 必)、b=(x2,y2)加法求两个向量和的运算/平行四边形法则：起点相同，对角线为向量和，a记：7B+JD

11、AC 物/三角形加法法则：_/b首尾相连，记：AB+B C =A C。aa+b=(x1+xv y+y2)减法求 与右的相反向量-1的和的运算叫做与Z的差三角形减法法则：八XVa起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：O A-O B =BA终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记：B A-C A =B Ca-b=(x-x2,y-y2)运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c a +(b+c)；Z+6=6+Z=Z+6。数乘实数九与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作Xa,入a是一个向量，方向：九0时，Mz与同向；入0时，入 与Q反向；入=0时，Xtz=6 o九a=(Q

12、 q,孙)运算律：a.石=5a；九(|ia)=(%)(!，(ka)h=X(a-b)=a(kb)；*-f f(+xa=,X(a+b)=Xa+Xb,(a+力)c=a c+6 c。数量积a-b=a-bcosa-b=x-x2+y-y2五、向量的坐标运算1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、平面向量的坐标表示：(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量；、J作为基底。对于平面内的一个向量7,有且只有一对实数x、y,使a=xi+/,把有序数对(x,歹)叫做向量。的坐标，记作。=(x,y),其中x叫做a在 x 轴上的坐标，y叫做a在y轴上

13、的坐标。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设/(王，切)、B 6,%)，则4B=*2 X,必 必)，I1=-X )+(%必)。(3)若 O是坐标原点，设5=+则向量方 的坐标(x,y)就是终点工的坐标，即 若 况=(x,y),则“点坐标为(x,y),反之亦成立。注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息。3、线段的定比分点及入：设石、巴是直线/上的两点，尸是/上不同于今、巴 的任一点，则一定存在实

14、数入，使9二入 垣，九叫做点尸分而所成的比。有三种情况：P)p:p?-入 0(内分)(外分)九 0(入-1)(外 分)X 0 (-1 X 0 时，耳。与 而 同 向 共 线，这时称点P为 根 的 内 分 点：当九 0(九x-1)时，呼 与 项 反 向 共 线，这时称点尸为福 的 外 分点。若尸分有向线段而所成的比为九，点M 为平面内的任一点，则 诉=”智丝；特别地产为6 8 的中点。而=网 学 经。4、向量的重要定理、公式、结论：(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。三角形不等式：|向-山区日土石区0|+向。证明：非零向量。、g 不共线时，。+工的方向与。、7的 方 向

15、都 不 同 且-|川|土皿|%|,。与Z同向时，+Z?的方向与a、Z 相同且|+Z|=|a+b,a-b的方向与a相同且|二|a-b,a与Z 异 向 时,a的方向与a相同且|。一皿=|。|一向，a-b的方向与Q相同且|a-Z|=|a|+|3|；3、Z 至少有一个6 时IRH而=3 土臼=111+1 1。(3)重要结论：若|。+1|二|。一臼，则。_ L 各。向量的模：；非零向量3 与g的夹角：c o s =j =7 一十号1 月 一。l a 1x|6|而+心汨+%2(5)非零向量Q=(再，必)、b=(x2,%)共线或垂直的坐标表示：向量共线：allh a=N o xy2=x2y1；-_ _ T

16、B A T TD A C向量垂直：a V b a-b=0-x2+y1-y2=0 a 特别地(=-+=)_ L(-=)。AB AC AB AC(6)两个向量的数量积的性质：设2、3、2 为两个非零向量，:是 与 同向的单位向量。a-e-e-aa cos 0 ；当a 与石同向时,a-b-a-b；当a 与石反向时,a-b-a-b 特别的J =a-a=|a 或 =后二；(a +b)(a-b)=|a|2-|6|2=4?2-ft2；(a+b)2 a +b a2+2a-b+b2=|Z +2)$+而；G-3)2=a-b2=a2-2-b+b2=|a|2-2a+|6|a-S|a|-|S|o(7)向量共线定理和向量

17、基本定理向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量Z 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得了=入。变形形式：已知直线/上三点X、B、P,O 为直线/外任一点，有且只有一个实数入，使得：O P =(l-XyOA+X O B .特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“Z w 6”，否则九可能不存在，也可能有无数个。证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合。平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若5、1 是同一

18、平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量Z,有且只有一对实数、九 2，使2=九荷+九 2特别提醒：不共线的向量、l 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量)都可被这个平面的一组基底5、1 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的。线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线/上三点6、p。、P,且 满 足 西=儿 即(大*-1),在直线/外任取一点?,设 丽=),禄=5,可 得 而 二 独 二 一 +-3。2 1 +X 1 +A.1 +X重要结论：若直线/上三点片、舄、P,O 为直线/外任一

19、点，则5?=入 斯+日 砒。A.+g=lo证明：丽=函+9=丽 一 九 丽=丽+9,则 丽 一 弧=入 9+9=(1+入)所,贝 廊=丽 +9=丽 +丽-丽 丽+九诬 Z+范一 1 一 九工=C l T u o1 4-X 1 +九 1 +九1 +九 1 +九(9)在 AJ8C 中：重心-中线的交点：重心将中线长度分成2:1；垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等:外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。若/(再，必)、B(X2,%)、C(x3,%),重心坐标为 P(.+：+X 3,)1 +)

20、；+)3)。若尸为 A/18C重心，则 ZP=：(46+4C),BP=：(BA+BC),CP=(CA+CB),PA+PB+PC=。证法 1：设P(x,y),A(X9 必)、S(x2,%)、C(x3,%),强 +方 +京=6 0(区一)+(7)+57)=0,。-y)+5 -y)+(%-丁)=0“+匕,必+乃+乃。为 重 心。3 3证法2：如 图 苏+丽+正=强+2方=6,则 万=2万，二/、P、。三点共线，且尸分力。为2:1,，P是A48C的重心。方 丽=而 正=正 力 o 尸为垂心;A证明：如图P是A48C的垂心，8E垂直/C、垂直SC,D、E是垂足，PA PB=PB PC=PC PA o P

21、B(PA PC)=PB CA=Q =PBS.AC,同 理 沙，万正，方 o P为A48C垂心。4R AC口向量入(3+=)(入N o)所在直线过A BC内心(是/8/C角平分线所在直线)；AB ACI刀|xA?+|旅|x 2+|B|x方=。O 尸为A 48c内心;4 R A .A/?Ar证明：/、a 分别为/5、NC方向上的单位向量，.金、二 平 分ZBZC,AB AC AB AC.AP=M理+),令 AB AC18C|“四BC+AC+AB.另 BC-AB，刀 就、/i i-.-.I -1 .-J ，BC+AC+AB AB AC化简得(I旅l+l/l+l刀I)莎+|就 卜 刀+|万 卜 就=6

22、,：.ABPC+BCPA+CAxPB=Q .I万H 而 H 正I。尸为M BC外心；产为 ZU3C 内一点，axPA+bxPB+cx PC=0,则 Sgc：PAC:PAB=A：b:c 重耍结论：-,盘 丝=-,显 地=-。AABC。+b+C SBC C l+b+C SABC。+6+C结 论1：对于A48C内的任意一点P,若 BC、PCA.AP4B的面积分别为S/、S0,则:SAPA+SPB+SCPC=Q.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积。A结论2：对于A43C平面内的任意一点P,若点P在A48C的外部，并且在N 8/C的内部或其对顶角的内部所在区域时，则 有-S B C-PA+S A CPB+SP A B-PC=O.结论3：对于A 48c内的任意一点P,若到+心 丽+入3京=6，则AP8C、C A、A P/3的面积之比为入q：入 之：入3 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比。结论4：对于A45c所在平面内不在三角形边上的任一点尸，从 力+九2万+%定=6，则 8 C、C A、P4B的面积分别为|%|：|%M九3 I。即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比。各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形。