2023年椭圆与双曲线的必背的经典结论.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1.点 P处的切线 PT平分PF1F2在点 P处的外角.2.PT平分PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.6.椭圆22221xyab(a b0)的左

2、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.7.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，则 MF NF.8.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF.9.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。10.若000(,)P xy在

3、椭 圆22221xyab内，则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab.11.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内，则 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab.双曲线 1.点 P处的切线 PT平分PF1F2在点 P处的内角.2.PT平分PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.学习必备 欢迎下载 3.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）4.若000(,)P xy在双

4、曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.6.双曲线22221xyab（a0,b o）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.7.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF

5、 NF.8.AB 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。9.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.10.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆 1.椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A

6、 a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a 0,b 0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向且2020BCb xka y（常数）.3.若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,若在椭圆上则过的椭圆的切线方程是若在椭圆外则过作椭圆的两条切线点连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点则过椭圆一个焦点的直线的弦中点的轨迹方程是双曲线点处的切线平分在点处的内角平分在点处学习必备 欢迎下载 12PF F,21P

7、F F，则tant22accoac.4.P 为椭圆22221xyab（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立.5.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC.6.已知椭圆22221xyab（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.7.已知椭圆22221xyab（a

8、b0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.8.设 P点是椭圆22221xyab（a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2)1 22tan2PF FSb.9.已知椭圆22221xyab（a b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点.10.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.11.过椭圆

9、焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.若在椭圆上则过的椭圆的切线方程是若在椭圆外则过作椭圆的两条切线点连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点则过椭圆一个焦点的直线的弦中点的轨迹方程是双曲线点处的切线平分在点处的内角平分在点处学习必备 欢迎下载 12.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.13.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线 1.双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P

10、1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过双曲线22221xyab（a0,b o）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC有定向且2020BCb xka y（常数）.3.P 为双曲线22221xyab（a0,b 0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.4.双曲线22221xyab（a0,b 0）与直线0AxByC 有公共点的充要条件是22222A aB bC.5.已知双曲线22221xyab（ba 0），O为坐标原

11、点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.6.已知双曲线22221xyab（a0,b 0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.7.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为 其 焦 点 记12F PF，则(1)2122|1 cosbPFPF.(2)若在椭圆上则过的椭圆的切线方程是若在椭圆外则过作椭圆的两条切线点连结和分别交相应于

12、焦点的椭圆准线于两点则过椭圆一个焦点的直线的弦中点的轨迹方程是双曲线点处的切线平分在点处的内角平分在点处学习必备 欢迎下载 1 22cot2PF FSb.8.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.9.已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点.10.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.11.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.12.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.若在椭圆上则过的椭圆的切线方程是若在椭圆外则过作椭圆的两条切线点连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点则过椭圆一个焦点的直线的弦中点的轨迹方程是双曲线点处的切线平分在点处的内角平分在点处