(必背的经典理论)2024高考数学椭圆与双曲线的性质50条.pdf

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1、椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）-（必背的经典结论）椭 圆 椭 圆 1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点

2、为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)F c00(,)M xy).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点

3、P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.13.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.双曲线 双曲线 1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内

4、角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴(必 背 的 经 典 理 论)2 0 2 4 高 考 数 学 椭 圆 与 双 曲 线 的 性 质 5 0 条 的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po

5、作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8.双曲线双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)F c 当当00(,)M xy在右支上时，在右支上时，10|MFexa,20|MFexa.当当00(,)M xy在左支上时，在左支上时，10|MFexa,20|MFexa 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，

6、A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab（a 0,b 0）内，则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是220000

7、2222x xy yxyabab.13.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）椭椭 圆圆 1.椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且

8、2020BCb xka y（常数）.3.若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,12PFF,21PF F，则tant22accoac.4.设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FF P，则有sinsinsincea.5.若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6.P 为 椭 圆22221xyab（a b 0

9、）上 任 一 点,F1,F2为 二 焦 点，A 为 椭 圆 内 一 定 点，则2112|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立.7.椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC.8.已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9.过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交

10、该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x轴于 P，则|2PFeMN.10.已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11.设 P 点是椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则 (1)2122|1 cosbPFPF.(2)1 22tan2PF FSb.12.设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s

11、abPAac co.(2)2tantan1 e.(3)22222cotPABa bSba.13.已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、

12、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）双曲线双曲线 1.双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线 BC 有定向且202

13、0BCb xka y（常数）.3.若 P 为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点,12PFF,21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.4.设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FF P，则有sin(sinsin)cea.5.若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的

14、比例中项.6.P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.7.双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC.8.已知双曲线22221xyab（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.9.过双曲线22221xyab（a0,b

15、0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN.10.已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.11.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122|1 cosbPFPF.(2)1 22cot2PF FSb.12.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e

16、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2)2tantan1 e.(3)22222cotPABa bSba.13.已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.