2022年高三数学辅导椭圆与双曲线的必背的经典结论 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载高三数学辅导：椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆1.点 P处的切线PT平分 PF1F2在点 P处的 外角 . 2.PT平分 PF1F2在点 P处的外角， 则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是0022

2、1x xy yab. 7.椭圆22221xyab (a b 0) 的左右焦点分别为F1， F2，点P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc , 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P、Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M 、N两点，则MF NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A

3、2P和 A1Q交于点 N ，则 MF NF. 11.AB 是 椭 圆22221xyab的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M),(00yx为AB 的 中 点 ， 则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共

4、 7 页学习必备欢迎下载22002222x xy yxyabab. 双曲线1.点 P处的切线PT平分 PF1F2在点 P处的 内角. 2.PT平分 PF1F2在点 P处的内角， 则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P在右支；外切：P在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外

5、 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.双曲线22221xyab（ a0,b o）的左右焦点分别为F1，F2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8.双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式：(1(,0)Fc , 2( ,0)F c当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连

6、结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M 、N两点，则MF NF. 10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 精选学习资料 - - - - -

7、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载13.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221xyab（ abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab (a 0, b 0) 上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点

8、，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.若 P 为椭圆22221xyab（a b0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4.设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5.若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为

9、椭圆22221xyab（a b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2112| | 2|aAFPAPFaAF, 当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载8.已知椭圆22221xyab（ab0） ， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点， 且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（ 2） |OP|2+|OQ|2

10、的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab. 9.过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab（ a b0） ,A 、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设 P点是椭圆22221xyab（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12.设 A、 B 是椭圆2

11、2221xyab（ a b0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知椭圆22221xyab（ a b0） 的右准线l与 x 轴相交于点E， 过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段 EF 的中点 . 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于

12、一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载e(离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线1.双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个顶点为1(

13、,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过双曲线22221xyab（a0,b o）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.若 P为双曲线22221xyab（a0,b 0）右 （或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是 焦 点 , 12PF F, 21PF F， 则tant22cacoca（ 或t ant22cacoca）. 4.设双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P （异

14、于长轴端点）为双曲线 上任意一点， 在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5.若双曲线22221xyab（a0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P ，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线22221xyab（a0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载内一定点，则21| 2|AFaPAPF, 当且仅

15、当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7.双曲线22221xyab（a 0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8.已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab;（2） |OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba. 9.过双曲线22221xyab（a0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知双曲线222

16、21xyab（a0,b 0） ,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 222

17、22cotPABa bSba. 13.已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点 , 点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段 EF 的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率 ). (注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页