2022年椭圆与双曲线的必背的经典结论.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载椭圆与双曲线的必背的经典结论1.2.3.4.5.6.7.8.椭圆点 P 处的切线 PT平分PF1F2在点 P 处的 外角 . PT平分 PF1F2在点 P处的外角, 就焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 如P 0x 0,y0在椭圆x2y21上,就过P 的椭圆的切线方程是x xy y1. a2b2a2b2如P 0x 0,y0在椭圆x2y21外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点a2b2弦 P1P2 的直线方程是x

2、xy y1. a2b2椭圆x2y21 a b 0 的左右焦点分别为F1, F2,点P 为椭圆上任意一点a2b2F PF 2,就椭圆的焦点角形的面积为SF PF 12b 2 tan2.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N两点,就 MFNF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M,A2P 和 A1Q交于点 N,就 MFNF. 9.10.11.AB 是 椭 圆x22y21的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , Mx0y0为AB 的

3、中 点 , 就a22 bk OMkABbK ABb2x 0；,即a2a2y 0如P x0,y 0在 椭 圆x2y21内 , 就 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是a2b2x xy y2 x 0y02. a2b2a2b2如P x0,y 0在 椭 圆x2y21内 , 就 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是a2b2x2y2x xy y. a22 ba2b2双曲线名师归纳总结 1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角 . PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为第 1 页,共 5 页2.PT平分PF1F2 在点 P 处的内角, 就焦点在直线直径的圆,除去长轴

4、的两个端点. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.以焦点半径学习必备欢迎下载相切 . （内切： P 在右支；外切：PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支）4.5.6.7.如P x 0,y 0在双曲线x2y21（a0,b 0）上,就过P 的双曲线的切线方程a2b2是x xy y1. a22 b如P x 0,y 0在双曲线x2y21（a0,b 0）外 ,就过 Po 作双曲线的两条切a2b2线切点为 P1、P2,就切点弦P1P2 的直线方程是x xy y1. a2b2双曲线x2y21（ a0,b o）的左右焦点分别为F1,F2,点 P为双曲线上任意a

5、2b2一点F PF2,就双曲线的焦点角形的面积为SF PF 122 b cot2. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P和 A2Q交于点 M,A2P 和 A1Q交于点 N,就 MFNF. 8.9.10.AB 是双曲线x2y21（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦,M x0y0为 ABa2b2的中点,就b2x 0,即K ABb2x 0；KOMKABa2y0a2y 0如P x 0,y 0在双曲线x2y21（a0,b 0）内,就被Po 所平分的中点弦的a2b2方程是x xy yx02y02. a2b2a2b2如P x 0,y 0在双曲线x2.

6、y21（a0,b 0）内,就过Po 的弦中点的轨迹方a2b2程是x2y2x xy ya2b2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）名师归纳总结 1.椭圆第 2 页,共 5 页椭圆x2y21（ abo）的两个顶点为A 1a,0,A 2 ,0,与 y 轴平行的直a2b2线交椭圆于P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是x2y21. 2.a2b2过椭圆x2y21 a 0, b 0 上任一点A x0,y0任意作两条倾斜角互补的直a2b23.线交椭圆于B,C 两点,就直线BC有定向且k BC2 b x 0（常数） . 2 a y 0如 P 为椭圆x2y21（a b0）上异于长

7、轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 , a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PF F2, PF F 1学习必备a欢迎下载2cot2. ,就c ctana4.P 为椭圆x2y21（a b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点, A 为椭圆内肯定点,a2b2就2a|AF2| |PA|PF 1| 2a|AF 1|, 当且仅当A F 2,P 三点共线时,等号成立. 5.6.7.8.9.椭圆2xx 02yby0201与直线AxByC0有公共点的充要条件是2 a2 B b22 A a2AxByC2. 0已知椭圆2 xy21（ab0）,O为坐标原点, P、Q为

8、椭圆上两动点, 且 OPOQ .a2b2（1）|12 |12 |11;（ 2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为2 4a b2;（3）SOPQa22 ba2b2OPOQ的最小值是2 2a b2. a2b已知椭圆2 xy21（ a b0） ,A 、B、是椭圆上的两点,线段 AB的垂直平分a2b2线与 x 轴相交于点P x 0,0, 就a2ab2x 0a2ab2. 设 P 点是椭圆x2y21（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点a2b2记F PF2,就 1|PF 1|PF2|12b2.2 SPF F 1 2b2 tan2. cos已知椭圆2 xy21（ a b0）的右准线 l 与

9、 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 Fa2b2的直线与椭圆相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线AC经过线段 EF 的中点 . 10. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12.椭圆焦三角形中学习必备欢迎下载. , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比13.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点

10、到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线名师归纳总结 1.双曲线x2y21（a0,b 0）的两个顶点为A 1a ,0,A 2 ,0,与 y 轴第 4 页,共 5 页a2b2平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是x2y21. a2b22.过双曲线x2y21（a0,b o）上任一点A x 0,y 0任意作两条倾斜角互a22 b补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线BC有定向且kBC2 b x 0（常数） . 2 a y 03.P 为双曲线x2y21（a0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点, A 为双曲线a2b2内肯定点,就

11、|AF 2| 2a|PA|PF 1|, 当且仅当A F2,P 三点共线且P 和A F 在 y 轴同侧时,等号成立. 4.2 双曲线 x 2 a 2 2 件是 A ay21（a 0,b 0）与直线AxByC0有公共点的充要条2 b2 B bC2. 25.2 x已知双曲线 2 a且 OP OQ . y21（ba 0）,O为坐标原点, P、Q为双曲线上两动点,b2（1）|12 |12 |11;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为2 4a b2;（3）SOPQa22 bb2a2OPOQ的最小值是b2 2a b2. 2a6.已知双曲线x2y21（a0,b 0） ,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB

12、 的a2b27.垂直平分线与x 轴相交于点P x 0,0, 就x0a2ab2或x 0a2ab2. 设 P 点是双曲线x2y2,F1、F21（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点a2b2为其焦点记F PF2,就1|PF1|PF2|12b2.2 cos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8.SPF F 1 2b2 cot2. 学习必备欢迎下载x2y21（a0,b 0）的长轴两端点,P 是双曲线上的设 A、B 是双曲线2 a, 2 bPBA一点,PAB,BPA,c、e 分别是双曲线的半焦距名师归纳总结 9.离心率,就有 1|PA|2ab2|cos|. 第 5

13、页,共 5 页a22 c co2 s2 tantan12 e .3 SPAB22 a b2cot. 2 ba2已知双曲线x2y21（a0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲a2b210.线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BCx轴,就直线AC经过线段 EF 的中点 . 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交11.点与相应焦点的连线必与切线垂直. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连12.线必与焦半径相互垂直. 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. - - - - - - -