概率论与数理统计第1章习题答案.ppt-得力文库

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1、4.设设A,B,C是三事件是三事件,且且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求求A,B,C至少有一个发生的概率至少有一个发生的概率.解解=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)广义加法定理广义加法定理所求概率为所求概率为 P(ABC)P(AB)=P(BC)=0AB=BC=由于由于ABC AB,或或ABC BCP(ABC)P(AB)=0非负性非负性0 P(ABC)=0P(ABC)=3(1/4)-(1/8)=5/8若若 P(ABC)=P(B(AC)=P(B)+P(AC)-P(B(AC)P(AC)=P(A)+

2、P(C)-P(AC)P(B(AC)=P(BABC)=P(BA)+P(BC)-P(BA)(BC)=P(AB)+P(BC)-P(ABC)仍有仍有P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)在一标准英语字典中有在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词个由两个不相同的字母所组成的单词.若从若从26个英文字母中任取两个字母予以排列个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的求能排成上述单词的概率概率.解解基本事件是从基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词,这实际上是排列问题

3、这实际上是排列问题,故基本事件总数故基本事件总数所求的所求的55个由两个个由两个不相同的字母组成单词的事件不相同的字母组成单词的事件A包含基本事件数包含基本事件数 nA=55.故所求概率故所求概率某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆桶油漆,其中白漆其中白漆10桶桶,黑漆黑漆4桶桶,红漆红漆3桶桶,在搬运在搬运中所有标签脱落中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为问一个定货为4桶桶白漆白漆,3桶黑漆和桶黑漆和2桶红漆的顾客桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是能按所定颜色如数得到定货的概率是多少多少?解解基本事件是从基本事件是从17桶

4、油漆中任取桶油漆中任取9桶桶,这实际上是组合问题这实际上是组合问题,取出的取出的9桶油漆中有桶油漆中有4桶白漆桶白漆,3桶黑漆和桶黑漆和2桶红漆的事件桶红漆的事件A分三步完分三步完成成:先从先从10桶白漆中取出桶白漆中取出4桶桶,有有种取法种取法,再从再从4 桶黑漆中取出桶黑漆中取出3桶桶,有有种取法种取法,最后从最后从3桶红漆中取出桶红漆中取出2桶桶,有有种取法种取法,故故故所求概率故所求概率5.7.(2)恰有恰有k个次品的概率个次品的概率至少有至少有2个次品个次品,则可能是则可能是2个个,3个个,200个次品个次品,按加法定按加法定理理至少有至少有2个次品的概率个次品的概率简单的方法是利用

5、其逆事件简单的方法是利用其逆事件,少于少于2个次品个次品,即恰有即恰有1个次个次品或没有次品品或没有次品,从而从而在在1500个产品中有个产品中有400个次品个次品,1100个正品个正品.任取任取200个个.(1)求恰有求恰有90个次品的概率个次品的概率;(2)求至少有求至少有2个次品的概率个次品的概率.解解基本事件是从基本事件是从1500个产品中取个产品中取200个个,基本事件总数基本事件总数n=(1)从从400个次品中取个次品中取90个个,1100个正品中取个正品中取110个的事件总数个的事件总数故恰有故恰有90个次品的概率个次品的概率8.10.在在11张卡片上分别写上张卡片上分别写上p

6、robability这这11个字母个字母,从中任意连抽从中任意连抽7张张,求其排列结果为求其排列结果为ability的概率的概率.解解法一法一:基本事件是从基本事件是从11张卡片中任意连抽张卡片中任意连抽7张进行排列张进行排列故基本事件总数为排列数故基本事件总数为排列数从从11张卡片中抽出字母张卡片中抽出字母的方式有的方式有a1b2i2l1i1t1y1 =4 种种故所求概率故所求概率法二法二:利用条件概率和乘法公式利用条件概率和乘法公式设设a,b,i,l,i,t,y分别表示从分别表示从11张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件.则则 P(ability)=P(a

8、设事件B表示表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋从甲袋中取出一只白球放入乙袋”则事件则事件B表示表示“从甲袋中取出一只红球放入乙袋从甲袋中取出一只红球放入乙袋”事件事件A表示表示“从甲袋取一只球放入乙袋从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球再从乙袋中取一只白球”.按全概率公式按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)16.据以往资料表明据以往资料表明,某一某一3口之家口之家,患某种传染病的概率有以下规患某种传染病的概率有以下规律律:P孩子得病孩子得病=0.6,P母亲母亲得病得病|孩子得病孩子得病=0.5,P父父亲亲得病得病|母母亲亲及孩子得病及孩子得病=0.4,求求

10、C|AB)=0.6 0.5 0.4=0.12,P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6 0.5=0.3,因此因此 P(ABC)=0.3-0.12=0.18故故 P(ABC)=0.6 0.5 0.6=0.18且且ABC与与ABC互不相容互不相容,17.已知在已知在10只产品中有只产品中有2只次品只次品,在其中取两次在其中取两次,每次任取一只每次任取一只,作不放回抽样作不放回抽样.求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)两两只都是正品只都是正品;(2)两两只都是只都是次品次品;(3)一只是正品一只是正品,一只是次品一只是次品;(4)第二次取出的是次第二次取出的是次品品.解解法一法一:用等可能概型

11、用等可能概型.(1)基本事件是从基本事件是从10只产品中取只产品中取2只只,不分顺序有不分顺序有种取法种取法,8只正品中取只正品中取2只只,有有种取法种取法,故故 p1=28/45.(2)2只次品中取只次品中取2只只,只有只有1种取法种取法,故故 p2=1/45.第一次取正品第一次取正品,第二次取次品第二次取次品,有有8 2=16种取法种取法,第一次取次品第一次取次品,第二次取正品第二次取正品,有有2 8=16种取法种取法.(3)不分顺序不分顺序,8只正品中取只正品中取1只只,2只次品中取只次品中取1只只,有有8 2=16种取种取法法,故故 p3=16/45.如果基本事件是从如果基本事件是从1

12、0只产品中取只产品中取2只只,要分顺序要分顺序,则则有有种取法种取法,共有共有16+16=32种取法种取法,故故 p3=32/90=16/45.(4)第二次取出的是次品第二次取出的是次品,第一次可能取正品第一次可能取正品,也可能取次也可能取次品品,第一次取正品第一次取正品,第二次取次品第二次取次品,有有8 2=16种取种取法法,第一次取次品第一次取次品,第二次取次品第二次取次品,有有2 1=2种取种取法法,共有共有16+2=18种取法种取法,故故 p4=18/90=1/5.法二法二:利用条件概率和乘法公式利用条件概率和乘法公式设设 Ai=第第i次取出正品次取出正品,则则 Ai=第第i次取出次品

13、次取出次品(i=1,2)(1)p1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2)p2=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(3)p3=P(A1A2A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=全概率公式全概率公式(4)p4=P(A2)=P(A1A2A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=最简单的方法是利用抽签原理直接得到最简单的方法是利用抽签原理直接得到 p4=P(A2)=2/10=1/5.19(1)设甲袋中装有设甲袋中装有n只白球只白球,m只红球只红球;乙袋中装有乙

14、袋中装有N只白球只白球,M只红球只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球再从乙袋中任意取一只球.问取问取到白球的概率是多少到白球的概率是多少?解解设事件设事件B表示表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋从甲袋中取出一只白球放入乙袋”则事件则事件B表示表示“从甲袋中取出一只红球放入乙袋从甲袋中取出一只红球放入乙袋”事件事件A表示表示“从甲袋取一只球放入乙袋从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球再从乙袋中取一只白球”.按全概率公式按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)21.已知男子有已知男子有5%是色盲患者是色

15、盲患者,女子有女子有0.25%是色盲患者是色盲患者.今从男今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者恰好是色盲患者,问此人是男问此人是男性的概率是多少性的概率是多少?解解先假定男人数为先假定男人数为M,女人数为女人数为N,求出一般结果求出一般结果.设从人数为设从人数为M+N的人群中随机地挑选一人的人群中随机地挑选一人,A表示此人是男人的事表示此人是男人的事件件,B表示此人是色盲患者的事件表示此人是色盲患者的事件.则则P(B|A)=5%,P(B|A)=0.25%,要求要求P(A|B)而而 P(AB)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)

16、+P(A)P(B|A)全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式特别特别,M=N时时,26.(1)设有设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1,2,3,4.它它们的可靠性分别为们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按将它们按右图的方式联接右图的方式联接(称为并串联系统称为并串联系统);1234 (2)设有设有5个独立工作的元件个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们它们的可靠性均为的可靠性均为p,将它们按右图的方式联接将它们按右图的方式联接(称称为桥式系统为桥式系统);试分别求这两个系统的可靠性试分别求这两个系统的可靠性.12345 解解设事件设事件Ai(i=1,2,3,4,5)表示第

17、表示第i个元件正常个元件正常工作工作,(1)设事件设事件A表示并串联系统正常工作表示并串联系统正常工作,则则A=A1(A2A3)A4)并串联系统的可靠性并串联系统的可靠性 P(A)=P(A1(A2A3)A4)=P(A1)P(A2A3)A4)=P(A1)P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A4)-P(A2)P(A3)P(A4)=p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4则事件则事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立相互独立.(2)设事件设事件B表示桥式系统正常工作表示桥式系统正常工作.桥式系统桥式系统的可靠性的可靠性B=A3(A1 A4)(A2 A

18、5)+A3(A1A2 A4A5)法一法一:P(B)=P(A3)P(A1 A4)P(A2 A5)+P(A3)P(A1A2 A4A5)=P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1A4)P(A2)+P(A5)-P(A2A5)+P(A3)P(A1A2)+P(A4A5)-P(A1A2A4A5)P(A)=P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1)P(A4)P(A2)+P(A5)-P(A2)P(A5)+P(A3)P(A1)P(A2)+P(A4)P(A5)-P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)=pp+p-p2p+p-p2+(1-p)p2+p2-p4=p3(2-p)2+p2(1-p)(2-p2)=4p3-

19、4p4+p5+2p2-p4-2p3+p5=2p2+2p3-5p4+2p5法二法二:设设B1=A1A2,B2=A4A5,B3=A1A3A5,B4=A2A3A4,12345则则 B=B1B2B3B4.P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)+P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B3B4)-P(B1B2B3B4)-P(B1B2)-P(B1B3)-P(B1B4)-P(B2B3)-P(B2B4)-P(B3B4)B1B2=A1A2A4A5,B1B3=A1A2A1A3A5=A1A2A3A5,B1B4=A1A2A2A3A4=A1A2A3A4,B2B3=A4A5A

20、1A3A5=A1A3A4A5,B2B4=A4A5A2A3A4=A2A3A4A5,B3B4=A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5B1B2B3=A1A2A4A5A1A3A5=A1A2A3A4A5,B1B2B4=A1A2A4A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B3B4=A1A2A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B2B3B4=A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3B4=A1A2A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,故故 P(B)=2p2+2p3-5p4-p5+4p5-p5=2p2+2p3-5p4+2p528.三人独立地去破

21、译一份密码三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解解设事件设事件Ai表示表示“第第i人能译出人能译出”,i=1,2,3由题意由题意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,A1,A2,A3及其逆事件相互及其逆事件相互独立独立,三人中至少有一人能译出为事件三人中至少有一人能译出为事件A1A2A 3法一法一:P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)-P(A1)P(A3)-P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)法二法二:P(A1A2A3)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)

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