概率论与数理统计习题答案第1章.docx-得力文库

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1、第一章概率论的基本概念1.写出以下随机试验的样本空间.(1)纪录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分).解：S=g|z=0,l,.,100n,其中几为小班人数. n(2)同时掷三颗骰子，纪录三颗骰子点数之和；解:S=3,4,，18.(3)生产产品直到得到10件正品为止，纪录生产产品的总件数；解:5=10, 11, 12,.(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品；不合格的记上“次品; 如连续查出2个次品就停止检查，或检查4 个产品，停止检查，纪录检查的结果.解:5= 00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110,1100,0111, 1011, 11

2、01, 1110, 1111, 其中0表示次品，1表示正品.解:S= (X, y)*+y20, y0, z0, x+y+z=l,其中 x, y, z 分别表示第一、二、三段的长度.2.设4民。为三大事，用A,反。的运算关系表示以下各大事.(1必发生,3与。不发生；(1)p(A)=To+Tox9+Td98 io,。二果小衿虫 i19 . (1)设甲袋中装有只白球，加只红球，乙袋中装有N只白球,M只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：用4表示“从甲袋中取得白球放入乙袋1 4表示“从甲袋中取得红球放入乙袋”.再记B表“再从乙袋中取得白球

3、”. 由于 B=AiB+A2B且Ai,4 互斥，所以P(B)=P(A 1 )P(B| AI )+P(A2)P(B| A2)k N+l , m y N n+m N+M+l n+m N+M+X _ (n+m)N+n (m+ri)(M+N+V)20 . (2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；其次只盒子装有4只红球，5只白球.先从第一盒子中任取2只球放入其次盒中去，然后从其次盒子中任取一只球，求取到白球的概率.解：记G为“从第一盒子中取得2只红球”.。2为“从第一盒子中取得2只白球”.Q为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，D为“从其次盒子中取得白球、明显G, C2, Q两两互斥, C

4、2GdQ=S,由全概率公式，有P(D)=P( Ci )P(D | Ci )+P( C2)P(D I C2)+P( C3)P(O IC3)二C； 5 16=53C； 11 C； 11 Cl 11 99,21 .某种产品的高标为“MAXAM”，其中有2个字母已经脱落，有人捡起随便放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率.解：设A, A2,，Aio分别表示字母MA, MX, MA, MM, AX, AA, AM, XA, XM, AM脱落的大事,那么尸2,，10）, 用8表示放回后仍为“MAXAM”的大事，贝IJP（B|4）=N=1, 2, ,10）,尸04）=尸（bia）=i,所以由全概公式得P（

5、小岁尸4）$x$8+吊1+备1=|.22 .男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地选择一人，恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少？解A尸男人, 4=女人，/色盲,明显4。42=5,Ai A2=0.由条件知尸（A）=P（4）=J,0（3|4）=5%,。（引4）=0.25%.由贝叶斯公式，有P（A 央B）=（4）P0A）5 P（B） P（A）P（3|4）+P（4）P（川 4）1 5=2 100=201 5 1 25 2T2 100 2 1000022 . 一同学接连参与同一课程的两次考试.第一次及格的概率为P,假设第一次及格那么其次次及格的概率也

6、为P；假设第一次不及格那么其次次及格的概率为（1）假设至少一次及格那么他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.（2）假设他其次次已经及格，求他第一次及格的概率.解：A= 他第，次及格（，=1,2）.已4）=尸（A21Al）=p, P（4|&=p/2勺至少有一次及格）:啰月=两次均不及格=AH，所以 p（B）=i-p（B）=i-p（4A）=i-m）Ml4） =i-1-p（4）1-p（AI4）= 1 （1一夕）（1P?.乙乙乙（2）由乘法公式,有 P（A1A2）=P（A1）P（A2| A0=p2.由全概率公式，有_f（4）=f（4）f（4I4）+p（A）p（4IA）2 “、p P乙 P=P

7、V+（1-P）齐勺+羊于是p（A 4）=/=4.p p P+23 .将两信息分别编码为A和5传递出去，接收站收敛到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2:1,假设收站收到的信息是 4问原发信息是A的概率是多少？解：设即3 2分别表示发报台发出信号及“夕，又以4 有A2分别表示收报台收到信号7T及“歹.那么有P（4）=* P）q,P（Ai|S）=0.98,P（A2）=0.08,6（42）=0.01,尸（A2|&）=0.91, 从而由Beyes公式得p（4I4）=p（4I4）=p（4）p（4I4）p（4）p（4I4）+p）p（452）

8、jx0.98?xO.98+ixO.Ol3319619724 .有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；其次箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任挑出一箱 ,然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.试求第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，其次次取到的也是一等品的概率.解:记A尸在第，次中取到一等品（日,2）,氏挑到第，箱. 那么有=0.4.=0.4.p（A）=p（4）p（ $ | 4）+p（4）p（a I 理=/部乙 J 乙 J V/（2）尸（A4）=p（4）尸（4&4）+尸（与）尸（A4I 与）9 11,17 118 八皿

9、”49 2 5 29 2 30=0.4856.=0.4856.P（A 川=-44） = 0.19423（甸片）p（4）0.4到家时间25 .某人下午5:00下班，他所积累的资料说明:5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 5:54 之后乘地铁到家的概率乘汽车到家的概率乘地铁到家的概率乘汽车到家的概率0.100.300.250.350.450.200.150.100.050.05某日他抛一枚硬币打算乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率.解：设4=乘地铁，氏乘汽车, C=在5:47到家,由题意 ,AB=0, AuB=S. P(A)=0

11、P(A! )P(A2)P(A3)P(A4) =p 1P2P3+P1 P4-p 1P2P3P4(A 1, A2, A3,4 独立).26.设有5独立工作的元件1, 2, 3, 4, 5,它们的牢靠性均为P,将它们按图1-4的方式联接，求系统的牢靠性.解：记A表示第i个元件正常工作(，=1, 2, 3, 4, 5), B表示系统正常，那么P(B)=P(4A u A A AA u A A4)=p(A4)+p(AAA)+p(AA)+尸(AA4) -尸(44AA)-p(444A)-尸(44AA) 尸(AA4A)一尸(A4AAA)一尸(4AAA) +4P(A4A4A)-p(A4AAA)= 2p?+2p

12、25p4+2p227 .假如一危急状况。发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善牢靠性.在C发生时这些开关每一个都应闭合，且至少一个开关闭合了，警报就发出, 假如两个这样开关并联接，它们每个具有。.95的牢靠性(即在状况C发生时闭合的概率).这时系统的牢靠性(即电路闭合的概率)是多少？(2)假如需要有一个牢靠性至少为0.9999的系统, 那么至少需要用多少只开关并联？这里各开关闭合与否都是相互独立的.解：设4表示第i个开关闭合，A表示电路闭合，于是 A=AdA2.由题意当两个开关并联时尸(A)=0. 96.再由Ai,4的独立性得P(A)=P(A 1 oA2

13、)=P(A i )+P(A2)-P(A i A2) =P(A1)+P(A2)-P(Ai)P(A2) =2x0.96-(0.96)2=0.9984.(2)设至少需要个开关闭合，那么几P(A)=P(ga)=lnlP(A)=l0.04420.9999,i=l即 0.040.00001,所以在端曙故至少需要4只开关联.28 .三个独立地去破译份密码，各人能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4,问三个中至少有一个能将此密码译出的概率是多少？解：设A,5。分别表示第一、二、三人独立译出密码表示密码被译出,那么P(D)=P(AuBuC)=l-P(AuBuC) =l-P(AnBnC)=l-P(A)

14、P(B)P(C) _i 4 2 3_3-1 5X3X4-5-29 .设第一个盒子装有3只蓝球,2只绿球,2只白球；其次个盒子装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球.(1)求至少有一只蓝球的概率；(2)求有一只蓝球一只白球的概率；(3)至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率.解：记A1, A2, A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球, 一只绿球，一只白球,Bi, 4, 当分别表示是从其次只盒子中取到一只蓝球，一只绿球，一只白球.那么4与8独立gl, 2, 3).(1)所求概率为 (2)所求概率为p(A 鸟 uA4)=p(A)p(四)+p(A)p(4)3x

15、4+2x2=167 9 7 9 63.所求概率为P（AiB3jA3Bi| AikjBi）=P（AiB3| A i oB i ）+P（A3B 11 AioBi）二 PGWW）尸（A4（w）p（2J p（W二尸（4员。44名）p（AA4uA4） PBJP（A。耳）二尸（4员）+尸（44）=16/63 = 16一PgBj_ 5/9 -35,30 . A,瓦。三人在同一办公室工作，房间有三部，据统计知，打给A, B, C的的概率分别为2/5, 2/5, 1/5.他们三人常因工作外出，A, B, C三人外出的概率分别为1/2, 1/4, 1/4,设三人的行动相互独立，求：(1)无人接的概率

16、；(2)被呼叫人在办公室的概率；假设某一时间段打进3个，求：这3个打给同一人的概率；(4)这3个打给不同人的概率；(5)这3个都打给民而5却都不在的概率.解：设4, Bi, Ci分别表示A, B, C三个人外出的大事,A, B, C分别表示打给三个人的的大事.(1)P(无人接 )=P(43iC)=P(4)P(8i)P(G)4 4 32(2)用。表不被手叫在办公室的大事，贝IJ D=AA+BJB+CC,p（d）=p（A a+他+Go=p（A）p（a）+p（耳）P（BP+P（Q 尸（C）_1 2,3x2,3xl_132 5 4 5 4 5 20(3)用石表示3个打给同一个人的大事，Ei

17、, &石3分别表示3个是打给A, B, C,那么E-E1+E2+E3,尸(为=玳耳)+尸(与)+尸(耳)=。)3 + (1)3 + ()3二长.(4)用方表示3个打给不同的人的大事，那么F由六种互斥状况组成，每种状况为打给A, B,。的三个，每种状况的概率为2X2X1. 4555 125于是P(F)=6x=丁尼 125 125,(5)由于是知道每次打都给用其概率是1,所以每一次打给3 而5不在的概率为:，且各次状况相互独立，于是P(3个都打给B, B都不在的概率)=4)3=：.46431.袋中装有机只正品硬币,只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只，将它投掷

18、r次，每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率为多少？解：用A表示消失次国徽的大事,3表示任取一只是正品的大事，那么P(A) = P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=口口)+,m+n 2 m+nP(BA)=mm+n-2f32.设一枚深炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击伤的概率为1/2,击不中的概率为1/6,并设击伤两次也会导致潜水艇下沉，求施放4枚深炸能击沉潜水艇的概率.解：用A表示施放4枚深炸击沉潜水艇的大事，那么P（A）=l-P（A）=l-（1）4+q（1）3xl=l-.o o 2 o33.设依据以往纪录的数据分析，某船只运输某种物品损坏的状况共有三种：损坏2%（这一大事记

19、为A）,损坏10%（大事 A2）,损坏 90%（大事 4）,且知尸（Ai）=0.8,P（A2）=0.15,尸（A3）=0.05, 现在从已被运输的物品中随机地取3件，觉察这3件都是好的（这一大事记为5）,试分别求P（Ai，尸（这里设物品件数许多，取出一件后不影响后一件是否是好品的概率）.解：由于5表取得三件好物品.B=AiB+A2B+A3B,且三种状况互斥, 由全概率公式，有P 1 )P(B A i )+P(A2)P(B I A2)+P(A3)P(B IA 3)=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624,p（&5）=p(43); P(A)P(3|

20、 A)= 0.8x(0.98)3P(B) P(B)0.8624=0.8731,p（4I3）二P(&B)= P(4)P(5| 4)= 0.15x(0.9fP(B) - P(B) 0.8624=0.1268,P(43) _ P(A)尸(8| A) _ 0.05x(0.1)3P的P(B)0.8624=0.0001.解：表示为:ABC 或 A-(AB+AC)或 A-(5uC).(2)4 5都发生，而。不发生；解：表示为:A麻或AB-ABC或AB-C.(3)A, B, C中至少有一个发生；解表示为:A+3+C(4)4,氏C都发生；解：表示为:A3C(5)A,且。都不发生；解：表示为：入所或S- (A+

21、5+O或AuBuC(6)A,民C中不多于一个发生；解：即A,民。中至少有两个同时不发生相当于AB, BC, AC中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.4B,C中不多于三个发生；解：相当于：X瓦。中至少有一个发生.故表示为：或(8)A, B,C中至少有二个发生.解：相当于:A氏5cAe中至少有一个发生.故表示为:AB+BC+AG3.设是两大事且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问：(1)在什么条件下P(A3)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(A5) 取得最小值，最小值是多少？解:由于 P(A5)=P(A)+P(5)-P(Au5),且 P(A)P(B)6产1, 2, 3,

22、 4, 5, 6)并且满意x+y=7,那么样本空间为S=(x, y) (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), 每种结果(羽丁)等可能.A=掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点,故 %A)=* .6 3解法二：用公式P(A|3)=4.S=(x, y)| x=L 2, 3, 4, 5, 6; y=l, 2, 3, 4, 5, 6), 每种结果均可能.A=掷两颗骰子,中有一个为1点”，3=掷两颗骰子,x+y=T那么尸噜磊尸(他=看，2故尸加髭耳看1615 .据以往资料说明，某3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病=0.6

23、,P母亲得病I孩子得病=05P父亲得病I母亲及孩子得病 =04 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解：令人=孩子得病,5=母亲得病，仁父亲得病,那么P(A)=0.6, P(B|A0.5, P(C|AB)=0.4, 所以 P( C|ABl-P(C|ABl-0.4=0.6.P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6x0.5=0.3,所求概率为_P（ABC）=P（AB）P（C|AB）=0.3x0.6=0.18.16 .在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求以下大事的概率：（1）两只都是正品；（2）二只都是次品（记为大事B）;（3）一只是正品，一只是次品（记为大事。

24、；（4）其次次取出的是次品（记为大事D）;解：设4=第，次取出的是正品）gl,2）.尸（A&）=p（a）尸（甸4）=有.啜.（2）P（A4）=P（A）P（AIA）=帝上古（3）尸（4Au4a）=p（4&+尸（4a）=p（4）p（R A）+p（A）p（4I A）=知|+寻|点.（4）p（&=p（aA+A&=尸（4）尸（豆+p（A）p（4iA）*x0吞1U y 1U y D17 .某人遗忘了号码的最终一个数字，因而他随机地拨号，（1）求他拨号不超过三次而接通所需的的概率；（2）假设最终一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设A尸第i次拨号拨对（，=1, 2, 3）, A=拨号不超过3次而拨通,那么4=4+耳4+4反&省三种状况互巧，所必p（A）=尸（书+尸（A）P（4IA）+P（A）尸（AlA）P（AlAH）.于是

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概率论与数理统计 习题答案 第1章.docx

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