高等数学电子版2.pdf

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1、第一章极限与连续第一节 数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则，对于每一个n N，对应一个确定的实数xn，将这些实数按下标n从小到大排列，得到一个序列x1,x2,xn,称为数列，简记为数列xn，xn称为数列的一般项。例如：123n,234n 1n2,4,8,2,1111,n,2482n11,1,1,(1),1436n (1)n1,2,2345nn (1)n1n1n1n一般项分别为，2，n，(1)，nn12数列xn可看成自变量取正整数n的函数，即xn f(n)，n Nn (1)n1设数列xn，来说明数列xn以 1 为极限。nn(1)n1111 为 使|xn1|，只 需 要n 100，即 从 1

2、01 项 以 后 各 项 都 满 足nn1001，|xn1|100n(1)n1111 为使|xn1|，只需要n 100000，即从 100001 项以后各项都满足nn1000001，|xn1|100000n (1)n11111（是任意给定的小正数）为使|xn1|，只需要n，即当n 以后，nn各项都满足|xn1|。111令N ，当n N时，因此有|xn1|，即任意给定小正数，总存在正整数N ，n，当n N时的一切xn都满足|xn1|，则定义：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n N时的一切xn都满足不等式|xn a|则说常数a是数列xn的极

3、限，或者说数列xn收敛于a，记为lim xn a或xn a(n )n如果不存在这样的常数a，则说数列xn没有极限，或者说数列xn发散。1数列xn以a为极限的几何意义：任意给定的正数，总存在正整数N，当n N时的一切xn，有|xn a|即a xn a 或xn(a,a)也就是当n N的一切xn都落在a的邻域U(a,)内，在U(a,)的外边至多有N项（图）x1xNa xN1axN2a 例 1 证明数列123n,234n 1的极限为 1。n1111，只需要，或n 1，即n 1n 1n 11证明：任意给定小正数，取N 1，当n N时的一切xn满足n11|xn1|n 1n 1n因此，lim1nn 1(1)

4、n例 2 已知xn，证明数列xn的极限是 0。2(n1)(1)n1111分析：为使|xna|，只需要，由于，0 2222n 1(n 1)(n 1)(n 1)(n1)111故时，即n 1，或n 1时n 11。(n1)21证明：任意给定小正数，取N 1，当n N时的一切xn满足(1)n110|xn0|2(n1)n 1(n1)(1)n因此，lim 0n(n1)2例 3 设|q|1，证明等比数列证明：分析：为使|xn a|1,q,q,q的极限是 0。证明：任给 0（设 0），由于n1n1|xn 0|q 0|q|2n1,为使|xn0|，只需|qn1N 1ln，当n N时，有ln|q|xn 0|qn1 0

5、|q|n1n10|q|n1，解得(n 1)ln|q|ln，或n 1ln。故取ln|q|因此，limqn 0。二、收敛数列的性质2定理定理 1（极限的唯一性）如果数列xn收敛，则它的极限是唯一的。证明：反证法：如果xn a，xn b，不妨设a b。取由于xn a，存在N1，当n N1时，|xn a|b a；2b a又由于xn b，存在N2，当n N2时，|xnb|。取N max N1,N2，则当n N时，2b ab a，|xnb|，|xn a|22b aa bb aa b由|xn a|得xn，由|xnb|得xn，矛盾，故必须a b。2222n1例 4 证明数列xn(1)（n 1,2,）是发散的。

6、对于数列xn，如果存在正数M，使得对于一切xn，有|xn|M，则说数列xn是有界的；否则，则说数列xn是无界的。定理定理 2（收敛数列的有界性）如果数列xn有极限，则数列xn一定有界。证明：注意到|xn|xn a a|xn a|a|，可证明定理 2。定理定理 3（收敛数列的保号性）如果lim xn a，且a 0（或a 0），则存在正整数N，当n N时nb a。2的一切xn，有xn 0（或xn 0）。a即可证明定理。2推论推论 如果数列xn从某项起有xn 0（或xn 0），且lim xn a，则a 0（或a 0）。证明：取n对于数列xn，从中抽取xn1，xn2，xnk，称为数列xn的一个子数列。

7、定理定理 4 如果数列xn收敛于a，则数列xn的任何子数列都收敛，且收敛于a。第二节 函数的极限一、函数极限的定义1自变量趋向于无穷大时函数的极限n，n 1,2,，且n 时，xn1，考虑函 数n 1xy f(x)，是否有x 时，f(x)1？x 1x111|，只要|，即|x 1|。由于任意给定小正数，为使|f(x)1|x 1x 11|x 1|x|1，即|x|1即可。1任给 0，存在正数X 1，当|x|X时，对应的函数值f(x)满足x|f(x)1|1|x 1即当x 时，f(x)以 1 为极限。数列是特殊的 函数，如xn f(n)定义定义 1 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数

8、A，对于任意给定的正数（不论3它多么小），总存在正数X，使得x满足不等式|x|X时，对应函数值f(x)满足|f(x)A|则说常数A为函数f(x)当x 时的极限，记为lim f(x)A或f(x)A（当x ）xlim f(x)A：0，X 0，当|x|X时，|f(x)A|。x3例 1 证明lim 0。xx3333，或|x|。分析：为使|0|，只要|，即|x|xx333，因此证明：0，X，当|x|X时，|0|x|x|3lim 0。xxlim f(x)A的几何解释：0，X 0，当|x|X时，x|f(x)A|即 f(x)A 或A f(x)A如图所示：如果 0，X 0，当x X时，|f(x)A|，则说x 时

9、，f(x)A，记为xlim f(x)A；如果 0，X 0，当x X时，|f(x)A|，则说x 时，f(x)A，记为xlim f(x)A显然，lim f(x)Alim f(x)A，lim f(x)Ax例如：f(x)|x|，有lim f(x)1，lim f(x)1。xxxxx2自变量趋向于有限值时函数的极限例 1，f(x)2x 1，x 2时，f(x)5；x21例 2：f(x)，定义域为x 1，但x 1时，f(x)2；x 1任 意 给 定 小 正 数，为 使|f(x)A|2x 15|2x 4|，只 要2|x 2|，即|x 2|2即可。任意给定小正数，为使x21(x 1)(x 1)|f(x)A|2|2

10、|x 1x 1只要|x 1|，即0|x 1|即可。定义 2 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得x满足不等式0|x x0|时，对应函数值f(x)满足|f(x)A|4则说常数A为函数f(x)当x x0时的极限，记为xx0lim f(x)A或f(x)A（当x x0）xx0lim f(x)A：0，0，当0|x x0|时，|f(x)A|。例 2 证明lim(3x 1)8。x3分析：为使|(3x 1)8|3x 9|，只要3|x 3|，即|x 3|证 明：0，取，当0|x 3|3|f(x)8|(3x 1)8|3|x 3|3。时，

11、对 应 函 数 值 满 足因此，lim(3x 1)8。x3lim f(x)A的几何解释：0，0，当0|x x0|时，xx0|f(x)A|即 f(x)A 或A f(x)A即xU(x0,)时，f(x)U(A,)如图所示：如果 0，0，当x x0时，|f(x)A|，则说x从x0的右侧趋向于x0（记为x x0）时，f(x)A，记为limf(x)A，或f(x0)A；0 xx0如果 0，0，当x0 x 时，|f(x)A|，则说x从x0的左侧趋向于x0（记为x x0）时，f(x)A，记为limf(x)A，或f(x0)A；xx0显然，lim f(x)Alimf(x)A，limf(x)Axx0 xx0 xx0

12、x 1,x 0f(x)0,x 0 x 1,x 0当x 0时，f(x)的极限不存在。例 4 证明lim c cxx0例 3 设函数例 5 证明lim x x0 x2 4 4例 6 证明limx2x 2sin x 0例 7 证明limxx二、函数极限的性质定理定理 1（函数极限的唯一性）如果lim f(x)存在，则极限是唯一的。xx0 xx0定理定理 2（函数极限的局部有界性）如果lim f(x)A，则存在正数M和，使得当0|x x0|时，有|f(x)|M。xx0证明：|f(x)|f(x)A A|f(x)A|A|A|5定理定理 3（函数极限的局部保号性）如果lim f(x)A，且A 0（或A 0）

13、，则存在常数 0，使得当0|x x0|时，有f(x)0（或f(x)0）。推论推论 如果在x0的某去心邻域U(x0,)内，f(x)0（或f(x)0），且lim f(x)A，则A 0（或。A 0）xx0 xx00 xx0 xn为函数f(x)定义域内一收敛x0定理定理 4（函数极限与数列极限的关系）如果极限lim f(x)A，的数列，且xn x0（n N），则对应的函数值数列f(xn)也收敛，且lim f(xn)lim f(x)A。nxx0证明：由于lim f(x)A，则 0，0，当0|x x0|时，有|f(x)A|；xx0又由于limxn x0，故对于上面的 0，当n N时，有|xn x0|，当然

14、有0|xn x0|；N，n因此，0，N，当n N时，有0|xn x0|，故|f(xn)A|，即lim f(xn)A。n第三节 无穷小与无穷大一、无穷小定义定义 1 如果函数f(x)当x x0（或x ）时的极限为零，则函数f(x)称为当x x0（或x ）时的无穷小。例如：lim(x 1)0，因此(x 1)为x 1时的无穷小；limnx011 0，因此为x 时的无穷小。nxn1xf(x)为x x0时的无穷小lim f(x)0 0，0，当0|x x0|时，f(x)为x 时的无穷小lim f(x)0 0，X 0，当|x|X时，|f(x)|；n|f(x)|；定理定理 1 在自变量的同一变化过程x x0（

15、或x ）中，函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。证明：必要性：设lim f(x)A，则 0，0，当0|x x0|时，|f(x)A|。nx0令 f(x)A，则是x x0时的无穷小，且f(x)A。充分性：设f(x)A，其中A为常数，是x x0时的无穷小。于是，0，0，当0|x x0|时，|，即|f(x)A|，因此，A为f(x)当x x0时的极限，或nx0lim f(x)A。二、无穷大如果当x x0（或x ）时，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大，则称函数f(x)为x x0（或x ）时的无穷大。定义定义 2 设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某

16、一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），当x满足0|x x0|（或|x|X）时，对应函数值f(x)满足|f(x)|M6则说函数f(x)为x x0（或x ）时的无穷大。如果函数f(x)为x x0（或x ）时的无穷大，也可记为lim f(x)（或lim f(x)）例如：nx01为x 1时的无穷大；2x 1为x 时的无穷大。x 1lim f(x)：M 0，0，当0|x x0|时，f(x)M；nx0nlim f(x)：M 0，X 0，当|x|X时，f(x)M。n如果lim f(x)，则直线x x0是函数y f(x)的图形的铅直渐近线；nx0如果lim f(x)

17、A，则直线y A是函数y f(x)的图形的水平渐近线。n定理定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则穷小，且f(x)0，则第四节 极限运算法则定理定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小。证明：以两个无穷小的和为例：设及是x x0时的两个无穷小，令。1为无穷大。f(x)1为无穷小；反之，如果f(x)为无f(x)由于是x x0时无穷小：0，1 0，当0|x x0|1时，|2；又由于是x x0时无穷小：对于 0，2 0，当0|x x0|2时，|2；0|x x0|1与0|x x0|2都成立，取 min1,2，则当0|x x0|时，故|与|22同时满足，因此|即为x x0时的无穷小。2

18、2定理定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。定理定理 3 如果lim f(x)A，limg(x)B，则(1)limf(x)g(x)lim f(x)limg(x)A B(2)limf(x)g(x)lim f(x)limg(x)ABf(x)lim f(x)A(B 0)g(x)limg(x)B证明：以(2)为例，由于lim f(x)A，得f(x)A，为无穷小；又由于limg(x)B，得(3)limg(x)B，也为无穷小，因此7f(x)g(x)(A)(B)AB A B由定理与推论，得A B为无穷小，故AB为f(x

19、)g(x)的极限。定理 3 中的(1)和(2)可推广到有限个的情况，即lim f(x)g(x)h(x)lim f(x)limg(x)limh(x)lim f(x)g(x)h(x)lim f(x)limg(x)limh(x)推论推论 1 如果lim f(x)存在，c为常数，则limc f(x)clim f(x)推论推论 2 如果lim f(x)存在，n为正整数，则lim f(x)lim f(x)将定理 3 应用于数列的情况，得定理定理 4 如果limxn A，lim yn B，则nnnn(1)lim(xn yn)A Bn(2)lim(xn yn)ABxnA(yn 0,n 1,2,且B 0)nyB

20、n2例 1 求lim(2x 3x 2)x2x31例 2 求lim2x2x 5x 3(3)lim对于多项式函数nn1f(x)a0 x a1x an1x ann有xx0lim f(x)lim(a0 xn a1xn1 an1x an)xx0 xx0nxx0 xx0 a0(lim x)n a1(lim x)n1 an1lim x an a0 x0 a1x0n1 f(x0)P(x)F(x)Q(x)其中P(x)，Q(x)都是多项式，于是有lim P(x)P(x0)，limQ(x)Q(x0)xx0 xx0对于有理分式函数 an1x0 an因此，当Q(x0)0时lim P(x)P(x)P(x)xx00lim

21、F(x)lim F(x0)xx0 xx0Q(x)limQ(x)Q(x0)xx02x 3例 3 求lim2x1x 5x 4x26x 8例 4 求lim2x4x 5x 43x36x28例 5 求limx7x35x2 48a0一般情况为b,当n m.0a0 xm a1xm1 am1x amlim0,当n m.xb xnb xn1b0n1x bn,当n m.sin x1例 6 求limxx12例 7 求limx sinx0 x定理定理 6（复合函数的极限运算法则）设函数y f g(x)是由函数y f(u)与函数u g(x)复合而成，f g(x)在点x0的某去心邻域内有定义，若lim g(x)u0，li

22、m f(u)A，且存在0 0，当xU(x0,0)，有g(x)u0，则xx0uu00 xx0uu0lim f g(x)lim f(u)A证明：按照极限定义，需要证明 0，0，使得当0|x x0|时，有|f g(x)A|由于lim f(u)A，故 0，0，使得当0|u u0|时，有uu0|f(u)A|又由于lim g(x)u0，故对于上面的 0，1 0，使得当0|x x0|1时，有xx0|g(x)u0|取 min0,1，当0|x x0|时，0|g(x)u0|，故|f g(x)A|即lim f g(x)A。xx0由定理 6 可得，当lim g(x)，lim f(u)A，有xx0uxx0lim f g

23、(x)lim f(u)Au或当limg(x)，lim f(u)A，有xulim f g(x)lim f(u)Axu第五节 极限存在准则，两个重要极限准则准则如果数列xn、yn与zn满足下列条件：(1)yn xn zn(n 1,2,)，(2)lim yn a，lim zn a，nn则数列xn的极限存在，且lim xn a。n准则准则如果(1)当xU(x0,r)（或|x|M）时90g(x)f(x)h(x)，(2)lim g(x)A，lim h(x)A，则lim f(x)存在，切lim f(x)A。xx0(x)xx0(x)xx0(x)利用准则1证明重要极限lim由图 6-1 可以看出：xx0(x)s

24、in x1。x0 xAOB的面积 圆扇形AOB的面积 AOD的面积111所以sin x x tan x222即sin x x tanx由于0 x 12，得x1sin xcosxsin x或cosx 1xsin xsin x由于为偶函数，故在(,0)内，也有cosx 1。2xx由于当0|x|时2x2x22x 2()0|cosx 1|1cosx 2sin222由夹逼准则，得limcosx 1，由夹逼准则，得x0sin xlim1x0 xsin x例 1 求lim1x0 x1cosx例 2 求limx0 xarcsin x例 3 求limx0 x准则 单调有界数列必有极限。如果数列xn满足x1 x2

25、 xn xn1，数列xn称为单调增加数列；如果数列xn满足x1 x2 xn xn1，数列xn称为单调减少数列。单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。x1n1xn(1)nxn(1n)，可证明数列xn单调有界。由于设n1(1n 1)n 1)nn1n(n 1(n 2)1n(n 1)(n n 1)1x(1n11n123n类似1!n2!3!n!nnn11112112n 1由此看211(12n 1)(1111(11)1(11)(1)(1)112!(1n)13(11)1(1n)()(1n)!)(n1n!1n 11n 12!n3!nnn!nnn出112n 1n(1)(1)(1)(1)(n 1)!n 1n

26、1n 1xn1 xnn1利用准则，来证明另一个重要极限lim(11x)存在。x10111111112n1又由于2!3!n!22211n2 31 311xn有极限，即lim(1)n存在，设即数列xn也是有界的，由准则，知道数列12n1n1n21nlim(1)enn对于任何x 1，存在正整数n使得n x n1，因此有1n11(1)(1)x(1)n1n 1xnxn11由于lim(1n1n1)lim(1)n1 enn 1n得1lim(1)x exx1x令x (t 1)，可证明lim(1)e，因此xx1xlim(1)exx1x例 1 求lim(1)xx1例 2 求lim(1 x)xx01 x2x例 3

27、求lim()xx111例 4 证明limn(222)1nn n 2n n第六节 无穷小的比较当x 0时，x，3x，sinx及x都是无穷小，但是2x23xsin xlim 0，lim2，lim1x03xx0 xx0 x定义 设，为无穷小 0，则说是比高阶的无穷小，记作 o()；如果lim，则说是比低阶的无穷小；如果lim c 0，则说与是同阶无穷小；如果lim1，则说与是等价无穷小，记作；如果limk c 0，k 0，则说是关于的k阶无穷小。222因此，当x 0时，x是比3x高阶的无穷小x o(3x)；3x是比x低阶的无穷小；sinx与x是等如果lim价无穷小，sin x x。x29 6，故当x

28、 3时，x29与x3是同阶无穷小；由于limx3x 31cosx1又由于lim，故当x 0时，1cosx是关于x的二阶无穷小；2x02x11111又由于limn，故当n ，是比2低阶的无穷小。n1nn2定理定理 2 设n，且lim存在，则lim lim lim lim证明：limtan2x例 1 求limx0sin5xsin x例 2 求lim3x0 x 3xtan x sin x例 3 求lim3x0sin x第七节 函数的连续与间断点一、函数的连续性设变量u从初值u1变化到终值u2，则u u2u1称为变量u的增量。设函数y f(x)在x0的某一邻域内有定义，当自变量x从x0变化到x0 x时

29、，函数y从f(x0)变化到f(x0 x)，函数y的增量为（图 8-1）y f(x0 x)f(x0)如果x 0时，y 0，即x0 x0lim y 0或lim f(x0 x)f(x0)0则说函数y f(x)在x0处是连续的。定义定义 设函数y f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果lim y lim f(x0 x)f(x0)0 x0 x0则说函数y f(x)在点x0连续。记x x0 x，则x 0就是x x0；又由于y f(x0 x)f(x0)f(x)f(x0)或f(x)f(x0)y因此y 0等价于f(x)f(x0)，即lim f(x)f(x0)。由此可得连续的另一等价定义xx0定义定义 设函数y

30、f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果lim f(x)f(x0)xx0则说函数y f(x)在点x0连续。用 极 限 定 义 描 述 为：y f(x)在 点x0连 续 0，0，当|x x0|时，|f(x)f(x0)|。12简单说：如果f(x)在x0处有定义；当x x0时，f(x)有极限；且lim f(x)f(x0)，则f(x)在点x0连续。例如，对于多项式函数P(x)，对任何的x0R，都有lim P(x)P(x0)xx0 xx0因此，对于多项式函数P(x)在任何点处都连续。P(x)，如果Q(x0)0，则有Q(x)P(x)P(x0)R(x0)lim R(x)limxx0 xx0Q(x)Q(x0)P

31、(x)因此，有理函数R(x)在定义域内的每一点都连续。Q(x)如果函数y f(x)在某区间上每一点都连续，则说函数y f(x)在该区间上连续，或者说函数对于有理函数R(x)y f(x)为该区间上的连续函数。例 1 证明函数y sin x在(,)内是连续的。证明：设x0为(,)内任意一点，由于y sin(x0 x)sin x0 2sin又由于|cos(x0得|y|sin(x0 x)sin x0|2|sin又夹逼准则，得x0 xxcos(x0)22x)|12x|x|2lim y 0因此，y sin x在x0处连续，由于x0为(,)内任意一点，得y sin x在(,)内连续。如果limf(x)f(x

32、0)，或f(x0)f(x0)，则说函数f(x)在x0右连续；xx0 xx0如果limf(x)f(x0)，或f(x0)f(x0)，则说函数f(x)在x0左连续。如果函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0右连续且函数f(x)在x0左连续；反之，当f(x)在x0右连续且f(x)在x0左连续时，函数f(x)在x0处连续。例如x 1,x 0 x 1,x 0f(x)在x0 0处右连续，但f(x)在x0 0处不是左连续的，因此，f(x)在x0 0处不连续。f(x)二、函数的间断点如果函数f(x)在x0处不连续，则x0称为函数f(x)的一个间断点。(1)如果f(x)在x0处没有定义，则f(x)在x0处不连

33、续，x0为f(x)的一个间断点；13(2)如果f(x)在x0处没有极限，则f(x)在x0处不连续，x0为f(x)的一个间断点；(3)如果lim f(x)f(x0)，则f(x)在x0处不连续，x0为f(x)的一个间断点。xx0点。11在x 0处没有定义，得x 0为y 的一个间断点。xxsin x由于y tan x 在x 处无定义，得x 为y tan x的一个间断点。cosx22x21x21由于y 在x 1处无定义，得x 1为y 的一个间断点。x 1x 1x 1,x 0 x 1,x 0由于f(x)当x 0时没有极限，因此，x 0为f(x)的一个间断x 1,x 0 x 1,x 0由于y 由于y si

34、n11在x 0处没有定义，得x 0为y sin的一个间断点。xx由于lim tan x ，说x 称为y tan x的一个无穷间断点。2x2如果limf(x)A，limf(x)B，但A B，说x0为y f(x)的一个跳跃间断点。例如，x 0 xxx01,xx0 x 0为f(x)的一个跳跃间断点。x 1,x 0 x21如果lim f(x)A f(x0)，则x0称为y f(x)的一个可去间断点。例如，x 1为y 的xx0 x 1一个可去间断点。1x 0称为y sin的一个振荡间断点。x如果x0为y f(x)的一个间断点，但f(x0)与f(x0)都存在，则x0称为f(x)的第一类间断点。不是第一类间断

35、点的任何间断点，称为第二类间断点。第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性三、连续函数的和、差、积、商的连续性定理定理 1 设函数f(x)和g(x)在x0点连续，则f(x)g(x)、f(x)g(x)、连续。例 1 由于sinx，cosx在(,)内连续，得tan x 三角函数在定义域内是连续的。四、反函数与复合函数的连续性定定理理 2 如果函数y f(x)在区间Ix上单调且连续，则它的反函数x f1f(x)(g(x0)0)在x0点g(x)sin xcosx，cot x 在定义域内连续。即cosxsin x(y)在对应区间Iyy|y f(x),x Ix上单调且连续。22单调增加且连续。同样，y c

36、osx在0,上单调减少且连续，因此，其反函数y arccosx在对应区间1,1上单调减少且连续。同理可证：y arctanx在区间(,)内单调增加且连续；y arccot x在区间(,)内单调减少且连续。综上所述，反三角函数arcsinx，arccos x，arctanx，arccotx在定义域内是连续的。14例 2 由于y sin x在,上单调增加且连续，因此，其反函数y arcsin x在对应区间1,1上定理定理 3 设函数y f g(x)是有y f(u)与u g(x)复合而成，U(x0)Df g。若lim g(x)u0，而函数y f(u)在u u0处连续，则lim f g(x)lim f

37、(u)f(u0)xx0uu0 xx00即xx0lim f g(x)flim g(x)f(u0)xx0若limg(x)u0，而函数y f(u)在u u0处连续，则xlim f g(x)flimg(x)f(u0)处连续，由定理 3，得limx 32x3x 9x 3x 3x 311y uy u解：y 可看成与的复合，由于，而且在u limu x3x29x2966x29例 3 求limxxx 3x 31limx3x3x296x29定理定理 4 设函数y f g(x)是有y f(u)与u g(x)复合而成。若u g(x)在x x0处连续，且g(x0)u0，而函数y f(u)在u u0处连续，则复合函数y

38、 f g(x)在x x0处连续。1例 4 讨论函数y sin的连续性。x五、初等函数的连续性三角函数与反三角函数在其定义域内是连续的指数函数y a（a 0,a 1）在定义域(,)内是连续的。由反函数的连续性，得对数函数y logax（a 0,a 1）在定义域(0,)内是连续的。由于幂函数y x可以写成y x alogaxx，由复合函数连续性定理，得y x在定义域(0,)内是连续的。综上所述：五种基本初等函数在它们的定义域内是连续的。由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合且可由一个算式表达的函数，由定理 1 和定理 4 知道：一切初等函数在定义区间内是连续的。2定义区间

39、：包含在定义域内的区间。如y arcsinu与u x 1复合得y arcsin(x 1)的定义域2为x 0，没有定义区间。如果知道f(x)为初等函数，x0为f(x)定义区间内的一点，则lim f(x)f(x0)xx0例 1limlnsin x lnsin21 x21例 2 求limx0 xloga(1 x)例 3 求limx0 x2x 015ax1例 4 求limx0 x3例 5 求lim(1 2x)sin xx0解：因为(1 2x)因此3sin x(1 2x)1x62x sin x ex6ln(12x)2xsin x1lim(1 2x)x03sin x limex0v(x)x6ln(12x)

40、2xsin x1 ex0lim6sin xx1ln(12x)2x e6一般地，对于y u(x)limu(x)（u(x)0,u(x)1），如果limu(x)a 0，limv(x)b，则v(x)ab第九节 闭区间上连续函数的性质如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，在右端点x b处左连续，在左端点x a处右连续，则说函数f(x)在闭区间a,b上连续，或者说f(x)为闭区间a,b上的连续函数。一、有界性与最大值最小值定理设函数f(x)在区间I上有定义，如果有x0 I，使得对于任一xI都有f(x)f(x0)（f(x)f(x0)）则称f(x0)是函数f(x)在区间I的最大值（最小值）。定理定理 1（

41、有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界并取得它的最大值和最小值。x 1,0 x 1x 1例 2f(x)1,x 3,1 x 2上有间断点x 1，而且f(x)在0，2上无最大值和最小值。f(x)在闭区间0，2二、零点定理与介值定理如果x0使得f(x0)0，则x0称为函数f(x)的零点。定理定理 2（零点定理）设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0）则在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()0。定理定理 3（介值定理）设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即例 1y x，区间为(0,1)f(a)A，f(b)B，且A B，则对于介于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()C。证明：令(x)f(x)C，对(x)应用零点定理，得存在(a,b)，使得()0即f()C 0或f()C(a b)推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。16例 3 证明方程x 4x 1 0在区间(0,1)内至少有一个根。3217