考研数学之高等数学复习全面知识合集(电子版).pdf

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1、 考研数学之高等数学复习全面知识合集 祝各位学子一研为定，金榜题名！函数 极限 连续 函数 基本要素：定义域，对应规则 函数形态 单调性 判定 定义 导数，单调性 应用 根的个数 证明不等式 奇偶性 判定 定义 可导 原函数奇函数导函数偶函数 原函数偶函数导函数奇函数 连续 周期性 判定 定义 可导的周期函数其导函数是周期函数 周期函数的原函数不一定为周期函数 f(x)连续且以 T 为周期 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为 0 有界性 判定 定义 闭区间连续 开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在 导数 极限 概念 数列极限 极限值等于多少与数列前有限项无关 与项

2、数无关 函数极限 趋于无穷 趋于有限值 极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关 分左右极限求 分段函数在分段处极限，两侧极限不一样 特殊函数 2 性质 局部有界性 保号性 注意等号 与无穷小之间的关系 极限存在准则 夹逼 单调有界 单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界 无穷小 比较 性质 无穷大 常用无穷大比较 指幂对（大到小）无穷大与无界变量 与无穷小互为倒数 求极限方法 有理运算法则 基本极限 等价无穷小 常用 积分情况 代换原则 乘除直接换 加减有条件 减不为正 1，加不为1 洛必达 泰勒公式 常用 夹逼 积分定义：先提取可爱因子 再确定被积函数和积分区间 单调有界 函数极

3、限题型 0/0 0 比 0 型 拉格朗日中值定理 加减 x 来凑常用等价无穷小 无穷/无穷 洛必达 分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大 无穷 无穷 0 无穷 1 的 无穷次方 无穷的 0 次方，0 的无穷次方 数列极限 不定式 和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限 n 项和的数列极限 夹逼定理 定积分定义 级数求和 常用结论 n 项连乘的数列极限 夹逼 取对数化为 n 项和 递推关系 数列存在单调性 收敛（单调有界准则）令极限取 A 带回递推关系取极限得到 A 数列不具有单调性或者单调性很难判定 先令极限为

4、 A，带回递推关系得到 A 的值，最后再证明极限为 A 单调性判定（直接，比值，函数）无穷小量阶的比较 洛必达 等价无穷小 泰勒公式 常用结论及举例 连续 连续 间断点 连续函数的性质 连续题型 讨论连续性及间断点类型 函数连续不代表可以取到整个实域的所有值 如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于 1，|x|等 间断点多为使得分母为 0 的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0 点 介值定理，最值定理，零点定理证明 一元函数微分 导数 微分 导数定义 等价形式 注意分段函数 微分定义 连续、可导、可微之间的关系 求导公式 求导法则

5、 有理运算法则 复合函数求导 隐函数求导 反函数求导 参数方程求导 高阶导数 对数求导法则 多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导 题型：导数与微分的概念 利用导数定义求极限 利用导数定义求导数 分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求 利用导数定义判定可导性 导数几何意义 导数与微分计算 复合函数求导 导数与奇偶性 复合函数在一点的导数值 乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以 高阶导数 公式 一阶二阶之后归纳 泰勒公式和泰勒级数 导数应用 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理-建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系 柯西定理 泰勒定理

6、（拉格朗日余项）极值 最值 极值的必要条件 极值的充分条件 第一充分条件 第二充分条件 第三充分条件 凹向 拐点 判定 必要条件 充分条件 渐近线 水平渐近线 垂直渐近线 斜渐近线 方程的根的存在性及个数 方法 注意把函数化到一边来求零点 将含有参数的式子参数分离出来 罗尔定理 证明函数不等式 方式方法 单调性 最大最小值 拉格朗日定理 泰勒公式 凹凸性 注意以及常用基本不等式 不等式 微分中值定理有关的证明题 证明存在一个点 构造辅助函数 P 82 证明存在两个中值点 p 85 方法 证明存在一个中值点 p 87 带拉格朗日余项的泰勒公式 一元函数积分 不定积分 原函数 原函数的存在性 f（

7、x）在区间连续，有原函数 有第一类间断点，f（x）没有原函数 基本公式 公式 积分法 第一类换元法 第二类换元法 分部积分 定积分 概念 与积分变量无关 可积性 必要条件 存在必有界 充分条件 连续必存在 有界，有限个间断点必存在 有限个第一类间断点必存在 计算 方法 奇偶性和周期性 公式 sin cos 公式 注意上下限 变上限积分 p 105 公式 变上限积分函数及其应用 连续性 可导性 奇偶性 处理变上限积分有关极限问题方法 洛必达法则 等价无穷小代换 积分中值定理 图像 性质 不等式 大小 积分中值定理 广义积分中值定理 积分不等式问题 变量代换 积分中值定理 变上限积分 柯西积分不等

8、式 反常积分 定义 无界函数 常用结论 定积分应用 平面图形面积 空间体体积 计算 曲线弧长 计算 就是计算 d s 旋转体侧面积 常微分方程 一阶 齐次 线性方程 全微分方程 可降阶的高阶方程 形式 高阶线性微分方程 解的结构 定理一 定理二 定理三 定理四 常系数齐次线性微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程解的形式 常系数非齐次线性微分方程 求特解 一 二 多元函数微分 重极限 任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在 y=k x y=x x(x 的方)求重极限 连续 性质 偏导数 定义 代表斜率 二阶偏导数连续 全微分 定义 非常重要 等价 注意，这个 的高阶无穷小是关于 的

9、函数，但是里面的 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为 0 值），是高次方的时候直接使用 可微性判定 可微 推出 偏导数存在 偏导数连续 推出 可微 可微推出偏导数存在 偏导数连续推出可微 计算 连续、可导、可微关系 偏导数与全微分计算 复合函数求导 全微分形式不变 隐函数求导 极值最值 无条件极值 定义 对任意 p（x,y）必要条件 存在偏导，且点就是极值点 充分条件 领域内有二阶连续偏导，一阶导为 0 二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值 条件极值 二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算 二重积分 二重积分概念 几何意义 积分域 D 为底，曲面 z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱

10、体的体积 二重积分性质 不等式性质 函数之间的关系 最大最小值 绝对值 二重积分计算 直角坐标 先 y 后 x 先 x 后 y 极坐标 极坐标计算 适合极坐标计算的被积函数 适合极坐标计算的积分域 对称性和奇偶性 奇偶性 变量对称性 无穷级数 级数的概念 无穷级数 部分和 级数收敛 级数发散 级数性质 收敛级数的倍数是极限 s 的倍数 收敛级数的求和 级数求和 收敛 发散=发散 发散 发散=敛散性不确定 在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性 收敛级数加括号仍然收敛且和不变 级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛 级数加括号以后发散，原级数不一定发散 级数收敛必要条件（反过来不一定成立）级

11、数的审敛准则 正向级数 u n 0 比较判别法 比较法极限形式 使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则 比值法 根值法 交错级数 充分条件 任意项级数 条件收敛 绝对收敛 基本结论 常用结论 等价无穷小代换只适用正向级数 幂级数 定义 阿贝尔定理 绝对收敛（端点收敛则里面收敛）发散（端点发散则外面发散）可能性 收敛半径、收敛区间、收敛域 定理 3 定理 4 有理运算性质 运算 分析性质 连续性 可导性（逐项求导）可积性 函数的幂级数展开 展开式唯一 泰勒级数 常用展开式 傅里叶级数 定义 展开 方向导数和梯度 方向导数 定义 计算 梯度 定义 多元微分几

12、何应用 曲面的切平面与法线 曲面的切线和法平面 常见曲面 旋转面 柱面 平行于 z 轴就是消去 z 多元积分学 三重积分 定义 计算 直角坐标 柱坐标 线积分 对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关 计算（平面）利用奇偶性 曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性 利用对称性 x y 可以互换 对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关 计算方法 直接法 格林公式 补线用格林公式 利用线积分与路径无关 线积分与路径无关的判定 以下四条等价 计算 该换路径 利用原函数 计算方法 斯托克斯公式 面积分 对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关 直接法 利用奇偶性 对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关 性质 计算 直接法 高斯公式 常用 多元积分应用 场论