2021届高考数学（理）考点复习：双曲线（含解析）.pdf-得力文库

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1、2021届高考数学（理）考点复习双曲线1 .双曲线的概念平面内与两个定点F y,尸 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|人母|）的点的轨迹叫做双曲线.定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合/1|一抽尸2|=2 4,1/61=2 0 2。,其中 a,c 为常数且 QO,c 0.2 .双曲线的标准方程和几何性质这两个标准方程J=1a2 b2(。0,b 0)54=1a b-(4 0,/?0)图形性质范围4或 x W一小 y Ra 或对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A i(,0),A 2(a,0)4(0,a),A i(0,a)渐近线by2-aa离心率e=：,g e(l,

2、+),其中=/+扶实虚轴线段4A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A i4 l=%，线段B 山2 叫做双曲线的虚轴,它的长岛&|=%;a叫做双曲线的实半轴长，/叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=c/+。2(ca0,cb0)【概念方法微思考】1 .平面内与两定点Q,F 2 的距离之差的绝对值等于常数2 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当 2 a=|QBI 时，动点的轨迹是两条射线；当 2a|尸尸2|时，动点的轨迹不存在；当 2a=0 时，动点的轨迹是线段QF2的中垂线.2.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a,b 只限制o0,b0,二者没有大小要求，若 ab0,

3、a=b0,0a60时，le 0时，6=也（亦称等轴双曲线）；当时，e2.1.（2020 天津）设双曲线C 的方程为=1（“0,b 0）,过抛物线/=4%的焦点和点（0,力的直线为/.若 C 的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C 的方程为（）X2 y2A.-=14 4B.x2-=4C.尸=1D.x2-y2=1【答案】D【解析】抛物线=4%的焦点坐标为（1,0）,则直线/的方程为y=,双曲线C 的方程为二-E =l（a 0,b 0）的渐近线方程为y=+-x ,a h aC 的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，b.b/八 I=b，（/?）=1,a aci f/?1 .双曲

4、线C 的方程为Y 2=1,故选。.22.（2020新课标I）设，玛是双曲线C：x 2-g =l 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在 C 上且O P=2,则的面积为（）75A.-B.3 C.-D.22 2【答案】B【解析】由题意可得a=l,b=6，c=2,.耳工|=2c=4,|O P|=2,.。尸|=;|百鸟|，.PG5 为宜角三角形,PFLPF:.PFii+PF2i=4c2=6,PFl-PF2n=2a=2,.-.PFli+PF22-2PFlPF2=4,:.PFtPF2=6,.尸片鸟的面积为S=g lM|叫|=3,故选8.2 23.（2020新课标HI）设双曲线C*-奈 =叱。力0）的左、右焦

5、点分别为匕，鸟，离心率为反 P是 C 上一点，且写尸,鸟儿若尸打工的面积为4,贝 ija=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】AIr【解析】由题意，设尸工=加，PFX=n,可得加一 =2a,mn=4,m2=4c2,e=yj5,2a可得 4c2=16+4a2，可得 5a2=4+a2,解得a=l.故选A.2 24.（2019全国）已知双曲线C:A-2=l（a 0 力0）,过 C 的左焦点且垂直于x 轴的直线交C 于，a bN 两点，若以MN为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为（）A.V2+1 B.2 C.G D.72【答案】A【解析】设双曲线C:5-=1（4 0,6

6、0）的左焦点为耳，右焦点为尸2,以M N为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，.|=|耳&|,Z=2ca（?-c T-2a c f 2e 1 =0,/.e=/2 1 ,e e /2+1 ,故选4.2 25.（2019新课标m）己知F 是双曲线C:二-二=1的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点.若4 5O P O F ,则A O P F的面积为（）3579A.-B.-C.-D.-2 2 2 2【答案】Br2 v2【解析】如图，不妨设尸为双曲线C:三-匕=1的右焦点,尸为第一象限点.4 5由双曲线方程可得，4=4,*=5,则。=2+6=3,则以O 为圆心，以 3 为半径的圆的方程为f +y2=

7、9.无 2 +y2=9联立 f ,2-=114 5解得P（浮，|）.C 2 5 _ 5 SOPF 2 XX 3 2,故选8.2 26.（2019新课标HI）双曲线C:三-匕=1的右焦点为尸，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原4 2点.若|PO|尸尸|,则AP旧 O 的面积为（）A B.土 C.272 D.3724 2【答案】A【解析】双曲线C:二-工=1的右焦点为F（6，0）,渐近线方程为：y =x,不妨P 在第4 2 2一象限，可得 tanNPOF=变，P 也,y）,所以APFO的面积为：乂口走=祖.2 2 4故选A.7.（2019浙江）渐近线方程为x 土y=0 的双曲线的离心

8、率是（）V 2rA.B.1 C.V2 D.22【答案】C【解析】根据渐近线方程为x 土y=0 的双曲线，可得。=人，所以。=夜。则该双曲线的离心率为6=0,a故选c.丫 28.（2019北京）已知双曲线f y2=l（a 0）的离心率是百，贝 lja=（）aA.V6 B.4 C.2 D.-2【答案】D【解析】由双曲线 y2=im 0）,得层=i,a又e=仆，得=5,即=a a a a r解得 iz2=,a =.4 2故选O.9.（2019新课标H）设 F 为双曲线C:二-=1（。0/0）的右焦点，O 为坐标原点，以O尸为a b 直径的圆与圆f +y 2=/交于p,Q 两点.若 IPQ R O

9、FI，则C 的离心率为（）A.72 B.G C.2D.垂）【答案】A【解析】如图,由I P Q R O 尸可知PQ过点（,0）,一 2由图可得“二 c 得八三夜.故选A.1 0.（20 1 9 新课标I ）双曲线。巨-三=1 3 0,0）的一条渐近线的倾斜角为1 3 0。，则C的离心a b率为（）A.2sin4 0 B.2c os4 0 c-焉D-a【答案】D-）2【解析】双曲线C:5-2=1（。0,6 0）的渐近线方程为a ba由双曲线的一条渐近线的倾斜角为1 3 0。，得-幺=t a n 1 3 0。=-t a n5 0。,a则=t a n 5 0 =ab2-7=a21cos2 50

10、0sin 5 0 c os5 0=_1=a2府 5 0。c 4 5 0 一 c o?5 0 得/=21-1,C c os5 0 故选。.2 21 1.（20 1 8 天津）已知双曲线 1=1（。力。）的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,8两点.设A,8到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和出，且4+内=6,则双曲线的方程为（）A,看-亡=1 B.工-=1 C.-目=1 D.二 _=13 9 9 3 4 1 2 1 2 4【答案】A【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线Ay =x H P b x-a y =Q ,F(c,O),A C L C D.BD

11、1.CD,F E 工 CD,A C D 8 是梯形,E是A B的中点，EF =L=3,2所以6 =3,双曲线鸟-1=1（a 0力 0）的离心率为2,可得 =2,a h-a可得：口匕=4,解得。=g.a 则双曲线的方程为：-=1.3 9故选A .2 21 2.（20 1 8天津）已知双曲线二-马=1（a 0/0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与a-b-双曲线交于A,8两点.设A,8到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和4，且4+4=6,则双曲线的方程为（）2 2 2 2 2 2A.-=1 B.土-&=1 C.土-匕=14 1 2 1 2 4 3 9【答案】C【解析】由题意可得图象如图

12、，8 是双曲线的一条渐近线y=x ,E J b x-a y =0,F（c,0）,aA C L C D,B D L C D,FE L C D，A C Z 5 B 是梯形，产是A B的中点，EF =4+&=3,2cc.b eEF =.r =b ,/a2+b2r2 v2所以b =3,双曲线二一斗=1（0 力0）的离心率为2,可得2 =2,a b a可得：土=4,解得八百.a则双曲线的方程为：-=1.3 9故选C.A.(-&,0),(应，0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-0)，(0,垃)D.(0,-2),(0,2)【答案】B【解析】双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且片=3,从

13、=,由此可得c =+此=2,该双曲线的焦点坐标为（1 2,0）故选瓦2 21 4.（20 1 8 新课标H I）已知双曲线C:5-4=1（a 0/0）的离心率为拒，则点（4,0）到 C的渐近a b线的距离为（）A.V 2 B.2 C.D.2a2【答案】D【解析】双曲线C:二-1=1 3 0 力 0）的离心率为应，a-b-可得 =0,即：之且=2,解得。=6,a a rr2 V2双曲线C:=-4 =1(4 心 0)的渐近线方程为:ar by=x,点(4,0)到C 的渐近线的距离为：号=2 0 .故选。.一/b215.(2018新课标m)设大，工是双曲线C:=l(a 0.g 0)的左，右焦点

15、a2),c即 3a2=c2,即6 a=c,.e，=5a故选C.2 216.(2018新课标0)双曲线-与=l(a 0,b 0)的离心率为6,则其渐近线方程为()a bA.y=A/2X B.y=/3x C.y=-x D.y=x【答案】A【解析】双曲线的离心率为e=G，a则/辱片心巧二=g=a即双曲线的渐近线方程为y =x =土a故选A.1 7.(20 1 8 新课标I)已知双曲线C:士-丁=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过 F的直线与3C的两条渐近线的交点分别为M,N.若AOM N为直角三角形,贝 U|M N|=()A.-B.3 C.2y/3 D.42【答案】B【解析】双曲线C:-尸=1

16、的渐近线方程为：丫 =土更处渐近线的夹角为：6 0。，不妨设过3 3尸(2,0)的直线为：y =6(x-2),“-3 ”解得：N(3,G)，y =/3(x-2)则|M N|=J(3 -$2+(逐 +*尸=3 .故选3.2 21 8.(20 1 7 全国)已知双曲线。:鼻一斗=1(。0/0)的右焦点为尸(c,0),直线y =A(x c)与。的a b右支有两个交点，则()h h c CA.k-C.k-a a a a【答案】B2 2【解析】双曲线C:0-马=1 3 0,6 0)的渐近线方程为a 3,by=x，a由直线y =Z(x-c)与 C的右支有两个交点，且直线经过右焦点F,可得|幻 2,a

17、故选B.2 21 9.（20 1 7 天津）已知双曲线二-3=l（a 0,b 0）的右焦点为F ,点 A在双曲线的渐近线上，a b 0 4 尸是边长为2 的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）2 2 2 2 2 2A.-=1 B.-=1 C.-y =1 D.x-=14 1 2 1 2 4 3 3【答案】D2 2【解析】双曲线一 5=1（。0,/0）的右焦点为尸，点A在双曲线的渐近线上，是边a b长为2 的等边三角形（O为原点）,可得 c =2,-=G 即（=3，=3 ,a a a2解得a =l,b =超，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：f-匕=i.3故选O.20.（20

18、1 7 新课标I）已知F是双曲线C:/-己=1 的右焦点，P是 C上一点，且攻与x 轴垂直,3点A的坐标是（1,3）,则A 4 P F 的面积为（）11 2 3A.-B.-C.-D.-3 2 3 2【答案】D【解析】由双曲线C:/-q=l的右焦点尸（2,0）,PF与x 轴垂直，设（2,y）,y0,贝 l y =3,则 P（2,3）,：.APPF,则|A P|=1,|P F|=3,13.4/的面积5 =-*|/1 尸|*|/3用=一，223同理当y 0/0）的一条渐近线方程为y =x,且与椭a b 2圆序 1=1有公共焦点，则C的方程为（）A.亡=1 B.f=1 C.二-=1 D.二一t=18

19、 1 0 4 5 5 4 4 3【答案】Br2 v2【解析】椭圆巳+（=1 的焦点坐标（3,0）,则双曲线的焦点坐标为（3,0）,可得c=3,双曲线C:=1 m 0,0）的一条渐近线方程为y =x,a b-2可得2=正，即匕4=9,可得=?,解得4=2,=石，a 2 a2 4 a 2所求的双曲线方程为：-=1.4 5故选从22 2.（2 0 1 7新课标I I ）若 a l,则双曲线=1 的离心率的取值范围是（）a A.（应，+o o）B.（&,2）C.（1,虚）D.（1,2）【答案】C【解析】1,则双曲线W-y2=i 的离心率为：=V 1+1=FTe（1ba a a a故选C.2 22 3.

20、（2 0 2 0 北京）已知双曲线C:土-汇=1,则 C的右焦点的坐标为_（3,0）_；C的焦点到其渐近6 3线的距离是.【答案】（3,0）,6【解析】双曲线C:工-工=1,则。2=2 刈2=63 9，则c=3,则C的右焦点的坐标为（3,0）,6 3其渐近线方程为）=土宗x,即x 0 y =O,则点（3,0）到渐近线的距离d=x/3 ,V l +2故答案为：（3,0）,下）.2 22 4.（2 0 2 0 新课标H I）设双曲线C:3 当=l（a 0,b0）的一条渐近线为y =0 x,则 C的离心率a b为.【答案】也【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y=+-x,a由题意可得2 =及，

21、所以离心率e，=J l +1=百，a a a故答案为：/3 .2 5.（2 0 2 0 江苏）在平面直角坐标系x O y 中，若双曲线毛-匕=1（0）的一条渐近线方程为a 5y=x,则该双曲线的离心率是.2【答案】-2【解析】双曲线=1（。0）的一条渐近线方程为y =x,可得亚=也，所以。=2,a 5 2 a 2所以双曲线的离心率为：e=*=3,a 2 2故答案为：22 6.（2 0 2 0 新课标I ）已知 F 为双曲线C:1-4 =1（。0 力 0）的右焦点，A 为 C的右顶点，B为a b-C上的点，且 3 尸垂直于x 轴.若 A 3的斜率为3,则C的离心率为.【答案】

22、22 2【解析】尸为双曲线C:3 一%=1（“0,0）的右焦点（c,0）,A 为 C的右顶点（a,0）,（T b,28 为。上的点，且面垂直于无轴.所以仇,人），a也。若4 5的斜率为3,可得：一=3,c-a序=/一/,代入上式化简可得c?=3 a c 勿？，e可得/一3 e+2 =0 ,e l f解得e=2 .故答案为：2.22 7.（2 0 1 9上海）已知数列他“满足/P（n ,3）均在双曲线二一62则 l i m W =n【答案】竿九2【解析】法一：由。-6n2a =1,可得=比（，2(7 7)，用 5 +1，、2(+1)2-D)，+/=(+1-)2+(小2(等)2 -1)-j

23、2弓一 1)=2n +2,n 8-4JC5+1)2-1)J2-1)6636求解极限可得l ir a I PnPn+l|=.T8 3方法二：当 f+8 时，匕尺.1与渐近线平行，月匕M在X轴的投影为1,渐近线倾斜角为。，则且,3故匕71co s 6故答案为：2叵3322 8.（2 0 1 9江苏）在平面直角坐标系x O y中，若双曲线V-2=电0）经过点（3,4）,则该双曲线的渐近线方程是【答案】y =土夜x【解析】2双曲线/一 2T=1(。0)经过点(3,4),32-=1,解得加=2,即3 =&.又a =l,该双曲线的渐近线方程是y =+2x.故答案为：y =土母x .2 22 9.(2 0

24、 1 9新课标I )已知双曲线C J-*l(a 0,b 0)的左、右焦点分别为月，F2,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=耳B鸟8=0,则 C的离心率为【答案】2【解析】如图,FtA =A B.r.A为片8 的中点，且。为百巴的中点,A O 为耳 3的中位线,又 FB F2B=0,.-.FtB F2B.则 0 3 =4 0=0.设 B Q,y j,A(X2,y2),点3在渐近线y =?x上，a2 o -J 不+bX =L，得(x-aJx=-%a-c +a又A 为 4 8 的中点，,%二 5A 在渐近线y =上，h h a-c=-2 a 2得c=2 a，贝 l j 双曲线的离心

25、率e=2 .a故答案为：2.2 23 0.(2 0 1 8江苏)在平面直角坐标系中，若双曲线二-4=1(。0,6 0)的右焦点F(c,O)到一CT b条渐近线的距离为生，则其离心率的值为【答案】2【解析】双曲线S。)的右焦点的。)到一条渐近线尸夕的距离为生,可得:b e再2可得。2 /c2,B P c =2a f4所以双曲线的离心率为：e=-=2.a故答案为：2.3 1.(2 0 1 8北京)若双曲线-二=1(a 0)的离心率为好，则=_.a-4 2【答案】4【解析】双曲线=l(a 0)的离心率为更，a 4 2可得：4 =-.解得a =4.a2

26、4故答案为：4.23 2.(2 0 1 8上海)双曲线三-9=1的渐近线方程为.4【答案】y =x2【解析】双曲线二-丁=1 的 =2,b =l,焦点在x 轴上4而双曲线 -=1 的渐近线方程为y =-xa b ar21.双曲线一丁二i的渐近线方程为了故答案为：y =x .2r2 v23 3.(2 0 1 7上海)设双曲线了-3=1(10)的焦点为环、鸟，P为该双曲线上的一点，若|尸|=5,贝 IJI PF2|=.【答案】11【解析】根据题意，双曲线的方程为：-4=i9 b*2【答案】32 2【解析】双曲线C:与一马=l（a0,b0）的右顶点为A（a,0）,a b以A为圆心

27、，b为半径做圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于M、N两点.n若NM4N=60。，可得A到渐近线区+ay=0的距离为：fccos30=-/?,可得：/的=乌,即 =且，可得离心率为：e=巫.yla2+b2 2 c 2 3其中 a=-9=3,则有IIP耳|-|即|=6,又由|尸耳|=5,解可得|P1=11或-1 （舍）故|P心 1=11,故答案为：11.34.（2017北京）若双曲线Y X =l的离心率为6，则实数“=.m【答案】22【解析】双曲线V-匕=1（?0）的离心率为G，m可得：叵=石，1解得 7 =2.故答案为：2.35.（2017新课标I）已知双曲线C:1-与=1（0力0）的右顶点为

28、A,以A为圆心，人为半径ar b作圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于M、N两点.若NM4N=60。，则。的离心率为故答案为：空.33 6.(2 0 1 7 江苏)在平面直角坐标系x O y 中，双曲线友-2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是耳，尸 2,则四边形耳。尸 J 2 的面积是【答案】2 7 3【解析】双曲线二-丁=1的右准线：x =|,双曲线渐近线方程为：y =土叵x,所以 P(,Q 弓，4(-2,0).6(2,0).则四边形片P 心。的面积是：1 x 4 x 7 3 =2 7 3 .故答案为：2 班.2 23 7.(2 0 1 8 全国)双曲线

29、菅-3 =1,6、尸 z 为其左右焦点，C 是以工为圆心且过原点的圆.(1)求 C的轨迹方程：(2)动点P 在 C 上运动，M 满足耳M=2M P,求 M 的轨迹方程.【解析】(1)由已知得=1 2,b2=4,故c =Ja2=4 ,所以(T,0)、6(4,0),因为C 是以外为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0),半径为4,所以C的轨迹方程为(x -4 尸+V =1 6 ；(2)设动点 M(x,y),P(x0,%),则 FM=(x +4,y),M P =(x0-x,yQ-y)f由 6 M=2 A/P,得(x +4,)=2(x0-x ,%-丁)，即x +：2(x),解得)=2(%-y)3 x

30、+4十丁3 y因为点P在。上，所以(%-4)2 +%2=1 6,代入得苧-4+学=6化简得(彳一1)2+丁=言.23 8.(2 0 1 7上海)已知双曲线：/-2=1(。0),直线/:y =fc r +m(h N 0),点，P 为P关于y轴的对称点，直线P。与y轴交于点N(0,)；(1)若点(2,0)是的一个焦点，求的渐近线方程;/与r交于。、。两(2)若6 =1,点P的坐标为(-1,0),且N P q P Q,求上的值;(3)若机=2,求关于的表达式.【解析】双曲线r：Y-方=ig o),点(2,0)是r的一个焦点,1.c =2 ,a =1,.b2=c2 a2=4 1 =3 的标准方程为：

31、x2-=l,3的渐近线方程为y =G r.(2)b =l,双曲线为：x2-y2=l,P(-l,0),P(l,0),3N P j P Q，设。(，)，则有定比分点坐标公式，得:1 =0 =0+b1 +|z 5 43 解得毛=,，入2 _ _ 丫2-=，*-y2=_ “十万必1+-23=LX2+1 2.k(3)设尸(玉，X),Q(X2,%)，kpQ=k”则 P(-须，y),lP Q=kox +n ,y=kx+2由，.y2,得 S k?)%2 4kx 4 Z?2=0,x2-=1h24k-4-从=汴，砧=百y=IC QX+n由 ,，,02-)x2-2k(ivc-M2-Z?2=0,x2-=1b22攵 0

32、一-n2-b2 b.vv.,-4-fe2.n2+b2 加一端/+,咯一瓦口厂后不，/层中 i”月废一不万y2 fk _ x2-xk0-y2 fx2+%2kk。2k n2+b2k()n-4-b2_*+W化简，得22+(4+/)+2/=0,.=-2 或”一，-2当”=一2,由烂国b-k-n2+b2-4-b2得 2b2=公十%,4x=-由严得y=fct+2 _2k+2ko了=kk即。（二 7，2：+2”。）,代入X2 2=1,化简，得:k（）k k。一 k b加一（4+kko）b?+4%=0,解得从=4或从=kk0,当。2 =4 时，满足=,-2当/=尿。时，由2 6=二+

33、解，得上=为（舍去），综上，得=匕.2 21.（2 0 2 0 江西模拟）圆M:（x-2 +丁=4与双曲线C:4-=l（a 0,b 0）的两条渐近线相切于a r b A、B 两点,若|A 0=2,则C的离心率为（）A.-y/3 B.a C.2 D.33【答案】A【解析】圆M :（x-m）2+/=4的圆心为A f（加,0）,2 2双曲线C:马-与=l（a 0 力 0）的两条渐近线方程为产土a b h由圆M 和两条渐近线都关于x 轴对称，可设A（s,l）,8（s,l）,s 0,s 0/0）的左、右焦点分别为耳、F2,过点耳a b且垂直于X 轴的直线与该双曲线的左支交于A、8两点，若 A 4 8

34、月的周长为2 4,则当必?取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B.7 2 C.2 D.2&【答案】D【解析】可设耳（-c,0）,由x=-c 代入双曲线的方程可得y =J -l=土且，则|A B|=子，|人鸟|=|BF21=/AH+|耳|2 =+4/,由题意可得9+2 月7 =2 4,结合=2+)2,上式化简可得/+4匕 2 =36a-6b2 ,可得=a(6-a),则 a/=a2(6-a),设/(犬)=/(6-，x 0，导数为/4 时，r(x)0,f(x)递减；当 0 0,/(x)递增.可得/(x)在x=4 处取得最大值.即有a=4,=4x(6-4)=8,即b=2 0,而

35、焦点到渐近线的距离为d=/U=8=2四，故选O.3.（2020湖北模拟）已知双曲线C:-马=1（。0力0）的右顶点为A,O 为坐标原点，以A 为a b圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P,Q,若 AP A Q=0且 OQ=3 O P,则双曲线C的离心率为（）A.B.C.73 D.后2 2【答案】A【解析】AP AQ=0,A P LA Q,又|AP|=|AQ|,.AAPQ是等腰直角三角形，A（a,0）,渐近线方程不妨为y=x,即瓜-殁=0则A 到该渐近线的距离为4=,此=也，+（-4）C:.P Q=2 d-,A Q=y/2 d =-,C C又。=3 ,|OQ|P Q|=ROQ|=9,2

36、 c c又 NAQO=45,由余弦定理 OA|2=|AQ F+1 OQ|2 _21 A0|c o s 45,因 2 2a2b2 9a2户垃ab 3ab 0ff a=i I-2 x-x-x,c c c c 2整理得 4c2 =5/,.*=,a 2故选A.4.(2020运城模拟)当机变化时，对于双曲线C:工-二=1(利 0),值不变的是()2m t nA.实轴长 B.虚轴长 C.焦距 D.离心率【答案】D【解析】由题意可得/=2机，b2=m,c2=3 m,显然双曲线实轴长，虚轴长，焦距都是变量；而e=也是常数.a 2故选O.2 25.(2020镜湖区校级模拟)双曲线C:0-E =l(aO)左

37、、右焦点分别为小居，一条渐近线与a 36直线4x+3y=0 垂直，点M 在 C 上，且|知乙|=1 4,则|吗|=()A.6 或 30 B.6 C.30 D.6 或 20【答案】C2 2【解析】双曲线C:与-匕=1(a0)左、右焦点分别为小F2,一条渐近线与直线4x+3y=0 垂a 36直，可得9=一 3,解得。=8,a 4点A7在 C 上，|M6|=14 0,b 0)的右焦点为尸(2,0),过 F 作双曲a h 线 C 一条渐近线的垂线，垂足为点A,且与另一条渐近线交于点3,若 8A=A尸，则双曲线方程为()2 2 02 2 2A.-y=I B.x-=I C.=I D.-=I3 3 4

38、 12 12 3【答案】B【解析】由题意可得c=2,B P a2+b2=4,双曲线C:二-=l(a 0,b 0)的渐近线方程为丫=2 尤，a b a设 A 在渐近线y=上，可得=ay/a2+h2若 B A =AF,则 4为即的中点如图,且 O4_ L M,可得A O 8 尸为等腰三角形，则 N BO A =Z A O F =6 0 ,在直角三角形AOE中，可得|A F|=|O 用 0 1 1 6 0。=2*三=6，即 b =5/3 ,a =y jc2 b2-1 ,则双曲线的方程为V-f =1 .3故选3.2 27.（2 0 2 0 二模拟）双曲线C：t-4=l（a 0 改 0）的左、右焦点

39、分别为，居，过其中一个焦点a b 作x 轴的垂线，与 C交于A,B 两点,若I A 8 R 耳巴则双曲线的离心率为（）A.铝 B.与1 C.百+1 D.6 7【答案】B【解析】由题意可知，双曲线的通径为：,双曲线C:=1（“0/0）的左、右焦点a a b 分别为6，F i 过其中一个焦点作x 轴的垂线，与C交于A,B两点，若|A 3|=|耳用|,可得生=2 c,即：c2-c r=a c,即e 1 =0,e.a解得e =匕立.2故选3.28.（2 0 2 0 南岗区校级模拟）已知双曲线E:1-马a /=1（0 力 0）的右焦点为尸2，A和 8为双曲线上关于原点对称的两点，且 A在第一

40、象限.连结A 鸟并延长交E 于 P,连结B g,P B,若A B F 是以N B g尸为直角的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A.B.45 C.D.回2 2【答案】C（解析】设双曲线的半焦距为c,IBF?|=|P F2=t,由IQ 4R O B I，|0月|=|0巴可得四边形名为平行四边形，则|A耳 HB玛|=f,且 N 6 A g=90。，连接出，由双曲线的定义可得|助=P F2+2a =t +2a ,又|A g|=|A Ft-2a =t-2a ,在直角三角形A f；工中，可得+Q-2 a）2 =4c 2,在直角三角形2 4月中，可得产+（2 f-2 a）2=Q +2a

41、）2,化为f =3a,代入可得9a 2+2 =公2,即有c =“，即e=巫.2 a 2故选C.2 9.（2。2。安徽模拟）已知双曲线 a=叱力）的离心率为2.则其渐近线的方程为（A.x 3y=0 B.A/3X y =0 C.2x y =0 D.x y =0【答案】A【解析】双曲线与-二=1（“0,6 0）的离心率为2.a bcb2可得：-=2,即l +4=4,a a可得9=有，a则双曲线C的渐近线方程为：x 3y =0.故选A.r2 v21 0.（2 0 2 0 汉阳区校级模拟）己知P为双曲线r-、=l（a 0 8 0）的右支上一点，线、居为其左、a b 右焦点，且焦距的长度为6,P/

42、为/片鸟的角平分线，/是刊与x 轴的交点，O是坐标原点，满足|P O|=4,|O/|=1,则双曲线的离心率为（）A 3而 R 5 屈5 3 3【答案】A【解析】如图，焦距的长度为6,满足|P O|=4,D,亚5故 6/=3+1 =4,怎=3-1 =2；为/耳月鸟的角平分线,.尸居：叫=耳/:吗=2:1 ；设则尸大=2 x；.P GO 中，c o s N P GO =.尸耳鸟中，c o s/P O =2 2 x 3(2 x)2+6-2 2 2 x 6联立可得：x2=1 0 x =V 1 0 ；/.2a =2x-x =/0；2c 6 3 M:.e=；=-2a V lO 5故选A .1 1.

43、（2 0 2 0 东湖区校级三模）已知大、居为双曲线二-与=1（。0 8 0）的左、右焦点，点 M 为a h E 右支上一点.若M耳恰好被y 轴平分，且耳鸟=30。，则 E 的渐近线方程为（)A.y =x2【答案】BB.y=土垃xC.y=+/3xD.y=2x2 2【解析】X、居为双曲线E:一斗=1（。0,6 0）的左、右焦点，点M 为E 右支上一点,a b若M耳恰好被y 轴平分,则MF2垂直x 轴,因为 NMRF2=30 ,所以始=ta n N M 耳鸟，可得 =q，2ac=b 可得4a4+4尸=3/,耳鸟 3 2c可得耳 =2,则。=垃.a a则 E 的渐近线方程为 =土缶.故选8.

44、2 21 2.（2 0 2 0 辽宁模拟）己知6，玛分别为双曲线与-=1（4 0/0）的两个焦点，双曲线上的点a bP到原点的距离为。，且s i n N 尸鸟耳=3s i n N P 4 玛，则该双曲线的渐近线方程为（）A 4五A.y =x2【答案】AB.尸土争C.y=+41xD.y=/3x【解析】尸2分别为双曲线-，（心。，。）的两个焦点，不妨设双曲线的焦点坐标为耳（0,-c）、鸟（0,c），s i n N 尸鸟耳=3s i n N 尸耳用，所以|耳|=31 P g|,PF,-PF2=2a,PFt=3a,PF2=a,双曲线上的点P到原点的距离为。，所以|。户|=OF2=C,c2=a2

45、+h2,NOPF,=90,PH LO F,PH=,设 ,cc 七,把 P点的坐标代入双曲线方程可得：b=0 a,该双曲线的渐近线方程）=士冬.故选A.2 213.（2020碑林区校级模拟）双曲线C:=-二=1（。0,60）的左、右焦点为6，居，以K为圆cr b心，|O鸟I为半径作圆，过耳作直线/与圆尸2切于点例，若在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（）A.72 B.G C.2 D.3【答案】C【解析】MF、为圆的切线，O M =F,F2=C,y.MF2=OF2=r=c,ZMOF2=60,tan Z.MOF.,=/3 b 3a,14.（2020思明区校级一模）已知片、外为双曲线C：-2=

46、1（4 8 ）的左、右焦点，点A在双曲线C的右支上，线段A耳与双曲线C的左支交于点3,乙486=60。，4冗=38耳，则双曲线C的离心率为（）A.75 B.娓 C.近D.2&【答案】C【解析】如图所示：AFX=3BF,不妨设|A|二3|3 耳|=3 6，AB|=2m,BF2-B F=2af AF-A F2=2a,.-BF2=2a+m,AF2=3m-2a,在 MBF2 中，由余弦定理可得|AF212=|ABI2+1 BF2-2 I AM I 8乙 I cosZABF2,BP(3m-2d)2=(2m)2+(2a+m)2-2 2m(2a+in)cos 60,解得m=2a,BFt|=2a,BF2=4a

47、,在明月中，由余弦定理可得|即|2=|%+|8玛_2|防|/|cosN耳B,即(2c)2=(2a)2+(4)2-2 2a 4 cos 120,整理可得-Jla=c,即e=故选C.与双曲线的一条渐近线相交于点A,且 A 在第一象限，若|。4卜|0 尸|,则双曲线C 的离心率为（)A5A.-3【答案】An石+1D.-2C.2D.V 5【解析】由题意可得直线/的方程为:y =(x +c),与渐近线y =%联立,2a-r z a 1 a c b e可得 x =二-，V =-2 b-4 2b a2因为|。4|=|。可，即(*)2+(2b-a 2b-a整理可得3b=4a，9 b2=9(c2 a2)=1

48、6a2，即 9c2=2 5a2，因为e=1,a解得 =*.3故选A.1 6.（2 0 2 0 吉林模拟）己知尸（-技 0）是双曲线C:=-=l（a 0,A 0）的左焦点，P 为双曲线C 右a b 支上一点，圆/+产=2与 y 轴的正半轴交点为A,|P4|+|PF|的最小值4,则双曲线C 的实轴长为（）A.拒 B.2 C.2应 D.2乖）【答案】B【解析】由题意，A（0,。），设尸为双曲线的右焦点，则|PF|=2a+|P-I，F（-g,0）,广（百，0）.P A +P F|=|P A|+2a+1 P F|=2a+（|PA|+|P F）.2a+1 A F=2a +13+a2,三点P,A,尸共线

49、时取等号.所以2a +j 3 +4 =4,解得a =l，故实轴长为2.故选8.f V21 7.（20 20 松原模拟）己知点P 是双曲线1-彳=1 上一点，F 一8分别为双曲线的左、右焦点，若用的外接圆半径为4,且 N 片时为锐角，则|可|里|=（）A.1 5B.1 6C.1 8D.20【答案】B2 2【解析】点 P 是双曲线 -=1 上一点，片（-26，0）,居（2 6,0）,8 4-P g的外接圆半径为4,可得圆的圆心（0,2）,圆的方程为：x2+（y-2）2=1 6,不妨设尸在第一象限,圆的方程与双曲线会-5=1联立可得尸（4,2）,|P Ft|=J(4+2同+(2-0)2#4-

50、2 我 2+(2-0)2=也 +1 6后 5 3 2-1 6 6=/25 6=1 6.故选B.1 8.（20 20 红岗区校级模拟）双曲线d 一2广瓦=1 3 0）的渐近线方程是丫=2缶，则双曲线的焦距为（）A.3 B.6 C.25 D.-V22【答案】B2【解析】双曲线V -营=1 0 0）的渐近线方程是y =2缶，可得=2 2,所以 c =Ja2+b2=3 ,所以双曲线的焦距为6.故选B.1 9.（20 20 龙潭区校级模拟）设双曲线C：S-=i m 0,b 0）的渐近线方程为楙 =0,则双曲线 C 的离心率为（）A石 R而而 D而2 3 2 2【答案】D【解析】双曲线C:、-=l（a

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