2021届高考数学（理）考点复习：直线、平面垂直的判定与性质（含解析）.pdf

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1、2021届高考数学(理)考点复习直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)定义如果直线/与平面a 内的任意二条直线都垂直，则直线/与平面a 互相垂直，记 作 直 线/叫 做平面a 的垂线，平面a 叫做直线/的垂面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直17a,bUa、Ilalb=/_La性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a2b7Lal2.直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行，或在平

2、面内，它们所成的角是的角.范围：0,3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直Jl-LaQ 卜“性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直L1JaA-p、QaCS=alA.a

3、/【概念方法微思考】1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提 示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90。的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提 示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.

4、1.（2017新课标III）在正方体A 8C O-A 4G 2中，E 为棱CD的中点，则（）A.B.E L B D C.A.EL BC D.E L A C【答案】C【解析】法r 连 4 C,由题意得A g _L平面 BBCG,且 3G u 平面 B M C、,A B】BC=B,.BC,_L 平面 AEC4,A E u平面 AEC4,E A-3cl.故选c.法二：以。为原点，为X轴，0 c 为y 轴，0 A 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体A 8 8-A A G 2 中棱长为2,则 4(2,0,2),E(0,1,0),BQ,2,0),0(0,0,0),C.(0,2,2),A(2,0,0),

5、C(0,2,0),AE=(-2,1,2),DC=(0,2,2),BD (-2,2,0),g=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),E DC,=2 E BD=2,AE BC 0,AE AC=6,2.（2016浙江）已知互相垂直的平面。，/交于直线/,若直线机，满足?/a,则（）A.m lH B.m l In C.n-LI D.m-Ln【答案】C【解析】互相垂直的平面a,/交 于宜线/,直线加，满足m/a,二.7/或 机 U夕或团与万相交，l u 0 ,故选C.3.（2019北京）已知/，机是平面a 外的两条不同直线.给出下列三个论断：/J_zn；m/la；/_La.以其中的两个论断作为条件，

6、余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】?/a,ll.m,则，/a.（或若/J_。，ml la,贝【解析】由/，机是平面a 外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若/_L c,/_!_？，则加/a.若/,ml l a，则由线面垂立的性质和线面平行的性质得/_Lm,若/_La,ml la-则/故答案为：若/_La,/zn.则 z/_L 平面 8 8,点BD上,且 F _ LA D.求证：EGI I AC,:.ADAC.(2)ADY AC.S4SDc【解析】(1)ABAD,E F A D,且 A、B、E、:.ABHEF,又 M C 平面 ABC,ABu 平面 AfiC,.E

7、k/平面 ABC：(2)在线段8 上取点G，连结尸G、EG使得尸G/8CBCBD,FG!IBC,:.FGA_BD,又平面ABZ)J_平面BCD，平面ABC平面BCD=BD,.尸 GJ平面ABZ)，AQu平面M )，:.FGA.AD,A D L E F,且 EF FG=F,./。_ 1平面瓦6，EG u平面 E尸 G,:.A D E G，产四点共面，,则 EGAC,FG u平面 BCD，6.(2020江苏)在三棱柱A B C-A B C 中，A B A C,耳。，平面ABC,E,F 分别是AC,BtC的中点.(1)求证：防/平 面 4 8 6；(2)求证：平面4BCJ平面/Wq.B【解析】(1)

8、E,尸分别是AC,BQ的中点.所以E F/A 8,因为所 平面A BC，AB|U平面A Sg,所以E F/平面ABC；(2)因为M CI.平面ABC,A B u平面A 3g,所以 BCJ_A8,又因为 AB_LAC,AC B 0 =C,A Cu 平面 AB。，8 u 平面 480,所以45_L平面ABC,因为A B u平面ABq，所以平面4瓦。J平面ABB,.7.(2020新课标1 )如图，。为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AABC是底面的内接正三角形，P 为 DO 匕一点,Z A P C =9 0 .(1)证明：平 面 抬 3 _ L 平 面 以 C；(2)设。0 =75,圆锥的侧面积为

9、 A,求三棱锥P-ABC的体积.D【解析】(1)连接。4，OB,OC,A 4 B C 是底面的内接正三角形,所以 A 8 =8 C =A C.。是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC,所以 A P =8 尸=C P =C M?+O P2 =OB2+OP2=OC2+OP2,所以 A A P B 三 A B P C 工 A 4 P C，由于 Z 4 P C=9 0。，所以 NAPB=NBPC=90。,所以 A P J _ 8 P，CP IB P,由于 A P CP=P.所以防,平 面”。，由于8Pu平面R 4 3,所以：平面Q 4 B _ L 平面R 4 C.(2)设圆锥的底面半径为r,圆锥的母

10、线长为/,所以/=12+/.由于圆锥的侧面积为6万，所以7 r 12+/=6 兀,整理得(/+3)(，-1)=0,解得r .所以=J 1+1-2x 1x 1 x(-1)=.由于4尸+8尸=钻，解得4P则：VP-A B C=1XX8.（2019北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，必 J_平面ABCD,底面ABCD为菱形，E 为 8 的中点.（I）求证：301.平面R1C：（II）若 N48C=60。，求证：平面 平面 E4E；（III）棱 P3上是否存在点尸，使得C F/平面P 4E?说明理由.【解析】（I）四棱锥P-A8CE）中，P4J.平面A8C。，底面A8CD为菱形,:.BDPA,BDYA

11、C,PA AC=A,:.或)_ 1 平面 R 4c.(II)在四棱锥尸-ABCD中，上 4_1_平面ABCZ),底面ABC。为菱形,E 为S 的中点，ZABC=60,:.ABAE,PA1AE,PA AB=A,AE _L 平面 PAB,A E u平面PAE 1平 面 加 5_1 _平面PAE.解：（III）棱 PB 上是存在中点E，使得C F/平面 W.理由如下：取 回 中 点 G,连结G V，C G，在四棱锥P-A 8 8 中，P4J_平面ABC。，底面A8C。为菱形，E 为CD的中点,.-.CG/A E,F G/P A ,CG F G =G,A E P A =A,平面C FG/平面R4E,C

12、 u 平面CFG，。/平面外场.9.(2018新课标H I)如图，矩形A8C所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是 CO上异于C,)的点.(1)证明：平面平面3MC：(2)在线段A M 上是否存在点尸，使得M C/平面尸8。？说明理由.【解析】(1)矩形A3CD所在平面与半圆弦8 所在平面垂直，所 以 半 圆 弦 C短所在平面,CM u 半圆弦8 所在平面，:.CM Y A D,PB 的中点、.（I）求证：P E A.B C；（II）求证：平面平面PCE;（III）求证：F/平面 PCD.【解析】（I）PA=PD,E 为A的中点，可得尸E_LA，底面ASC为矩形，可得5C/AZ）,则 P E

13、 V B C -.（II）由于平面R4B和平面PCD有 个公共点P,A.AB/CD.在平面R 43内过P 作直线PG/45,可得 PG/CD,即有平面F4B C 平面P C D=P G，由平面 R4J_平面 A 8C D,又可得45_L平面RV），即有AB_LB4,PAA.PG-.同理可得CEJ_PD，即 有 即 _LPG，可得NAPD为平面P A B和平面PC）的平面角，由 PAVPD,可得平面PAB 平面PCD；(H I)取PC的中点H，连接W，FH,在三角形P8C中，为中位线，可得见 5C,FH=-BC,2由 DE/3C，DE=-B C,2可得 DE=FH,DE/FH,四 边 形 为 平

14、 行 四 边 形，可得 EF/DH,EF仁平面PCD,DH u平面PCD,即有EF/平面PC.11.(2017新课标 I)如图，在四棱锥 P-A8c。中，A B IIC D,且.4 4 P =NCP=90。.(1)证明：平面平面E4。；Q(2)若PA=PD=AB=DC,NAPD=90。，且四棱锥P-ABCD的 体 积 为 求该四棱锥的侧3【解析】（1）在四棱锥P-ABCZ）中，ZBAP=ZCDP=90,/.AB A.PA,CD 工 PD,又 AB/CD,:.ABPD，PA PD=P,平面 E4Q,Mu平面.,平面平面R 4 T).解：(2)L P A =P D A B =DC=a ,取 4)中

15、点 O,连结尸O,P A =P D=A B=D C .ZA P D=90,平面 E 4 B _ L 平面 R A D，.P O L 底面 A B C ,J&A D=y j a2+O2=y/2a ,P O =a ,2四棱锥P-/W C D的体积为号，3由 M _ L 平面 B 4 O,得 A f i 1.AD，P-A BCD=X S四 边 形A B C。X P。1 8=-x A Bx A Dx P O=x a xl ax a =-a3=,3 3 2 3 3解得4 =2,:.P A=P D=A B=D C =2,A D=BC=2y/2,P O 二垃,:.P B=P C=14+4=2 0，该四棱锥的

16、侧面积：5侧=S聘AD+P A B+S&p0c+SBC=-XPAXPD+-XPAXAB+-XPDXDC+-XBCX.P B2-(.)22 2 2 2 V 2=-X2X2+-X2X2+-X2X2+-X2 XN 22 2 2 2=6 +2技12.(20 17山东)由四棱柱A B C。-AgG截去三棱锥G-8cq后得到的几何体如图所示，四边形A B C。为正方形，。为A C与瓦)的交点，E为A D的中点，A E _ L平面A B C ),(I )证明：A。”平面4 c 2 ；(I I )设M是 )的中点，证明：平面4 E M _ L平面4 c A.【解析】（I）取 用。1中点G,连结A G、C G

17、,四边形舫 8为正方形，O为A C与B D的交点，四棱柱A B C D-A B C R截去三棱锥&-4 cA 后，AG/OC,四边形OCGA是平行四边形，AO/CG,4。0 平面 B、CD,CGu 平面 BtC Dt,:A。/平面 B、CD1.（II）四棱柱A 8C D-A 8C R 截去三棱锥&-S C R 后，BDI/B Q、,M 是 O力的中点，。为A C 与尔）的交点，E 为 4）的中点，平面ABC。,又 8。u平 面 舫 CD,:.BDA,E,四边形A5CD为正方形，O为A C与B D的交点，A O Y B D,M 是OD的中点，E 为A）的中点，：.EM A.BD，A,E E M

18、=E,.8）_平面49，BD/B,D,B,D,1 平面 A E M ,B R u 平面 BCD、,平面 A,EM _L 平面 BtC Dt.1.（20 20 石家庄模拟）已知。，方是空间两个不同的平面，?，是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）m /a ,nl IP,且 加/，则a/?；m l l a n/1 ,且 则 a _ L ；m _ L a,n A./3,且 加/，则 a/?；机 _ L a ,J L 、且 _ L ，则 Q _ L /?.A.B.C.D.【答案】D【解析】对于，当7 /a,n/邛,且加时，有。/万或a、方相交，所以错误；对于，当他/a,/?,F L 帆_

19、 1 _ 时，有 a _ 1_/或。/夕或a、4相交且不垂直，所以错误;对于，当机_ L a,工 0,且?/时，得出/n J/，所以a/,正确；对于，当 z _ L a,_ L 夕、且?_ L 时，a _ L/成立，所以正确.综上知，正确的命题序号是.故选O.2.（20 20 长春四模）已知直线 和平面a、尸有如下关系：八。，a l 1/3,心。，a l /a,则下列命题为真的是（）A.n B.n C.n D.n【答案】C【解析】对 A,由a _ L/?,，可得a/a 或aua,故A错误；对于8,由。_ 1/，a l i a,可得au或/或。勺/?相交，故3 错误；对于C,由q/a，过作平面/

20、与 a相交，交线为b ,则a/。，al。,:.b 1（3,而 hua,可得 a _ L，故 C i 上确；对于O,由a/，al。,可得故。错误.故选C.3.（20 20 五华区校级模拟）在长方体/W8-A4GA中，A B=6 AD,石为棱CD 的中点，则（）A.A.EL DD,B.A.EL DBC.A.EL D.C,D.A,EDB【答案】B【解析】连结AE,BD,因为AB=J5A O,所 以 组=丝=血，A D D E所以 AABZXoAZXE,所以 ND 4E=/4%），所以 NAB+ZAfi）=90。，即 AE_L8Q,所以8Z）_L平面AAE,所以 AE_LO8.故选3.4.（2020海

21、淀区二模）如图，正方体A 8C O-A 4C Q的棱长为2,点 O 为底面45CD 的中心，点 P在侧面B 8C C 的边界及其内部运动.若 D Q L O P,则 Cf面积的最大值为（）C.75 D.2A/5【答案】C【解析】如图,由正方体性质知，当尸位于C 点时，D.OYOC,当尸位 于 的 中 点 时，由已知得，D,=2,D O =B O =42,BR=B =1,BD、=2母,求得OR=+2=#,0=忘 71=6 q q =而 TT=3.O D：+OP;=0 斤，得 O D、OP,.又OR 0c=。，.1A O I平面o?c,得到尸的轨迹在线段4 c 上.由GK=cq=逐，可知N c c

22、 q 为锐角，而CG=2百，知 p 到棱G。的最大值为石则）/面积的最大值 为:x 2 x 6 =6 .故选c.5.（2020合肥模拟）已知四棱锥S-A BCD 中，四边形ABCD为等腰梯形，AD/BC,Z B A D =120 .AS4D是等边三角形，且 54=48=2 6,若点P 在 四 棱 锥 的 外 接 球 面 上 运 动，记点P到平面A8CD的距离为d,若平面S4O_L平面A 8C D,则d 的最大值为（）A.V13+1 B.V13+2 C.V15+1 D.V15+2【答案】A【解析】依题意，Z M B C =-,取 8 c 的中点E,3则 E 是等腰梯形ABCZ）外接圆的圆心，F是

23、A S A D的外心，作 OE_L平面/WCD,0尸_ 1 _平面5/3，则O 是人锥5-钻 8的外接球的球心，S.OF=D E =3,A F =2,设四棱锥S-A B 8 的外接球半径为A,则/?2=5产2+。尸2=13,则 OE=尸=1,.,.当四棱锥S-A B C D的体积最大时,d,”=R +O E =s/+l .故选A .6.（2020商洛模拟）已知AB是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A,3 的一点，D为下底面圆周上一点，且 45_L圆柱的底面，则必有（）A.平面ABC_L平面8C7)B.平面8 a)1.平面AC)C.平面MZ）_L平面AC。D.平面8cL1.平面A8E

24、）【答案】B【解析】因为AB是圆柱匕底面的条直.径，所以A C L3C,乂 AD垂立圆柱的底面,所以 AZ)_LBC，因为 AC A D=A,所以8C_L平面AC，因为B C u平面BCD,所以平面BC_L平面A C D .故选B.7.（2020婺城区校级模拟）在正四面体ABCD中，已知E,F 分别是他，CD上的点（不含端点）,则（）A.不存在E,F,使得EF_LCB.存在,使得J_CZ）C.存在E,使 得 平 面 ABCD.存在E,F,使得平面 8 E _ L 平面43F【答案】D【解析】（1）对于A，。选项，取，E 分别为AS,CZ）的中点如图：因为A-8C D 是正四面体，所以它的各个面

25、是全等的等边三角形.所以CE=E,所以E F LC D，同理可证故4 错误；又因为 ABLCE,A B ID E,RCE DE=E,故 A3J_ 平面 CE）,又 A 3u 平面 ABF,所以平面4 如 L 平面C E D.故。正确.（2）对于5 选项，将 C 看成正三棱锥的顶点，易知当E 在 AB上移动时，NCDE的最小值为直线 CD与 平 面 所 成 的 角，即（1）中的NCDE，显然为锐角，最大角为NCDB=NCDA=6QP，故当E 在 上 移 动 时，不存在E,使得 E J _ 8.故 5 错误.（3）对于C 选项，将。看成顶点，则由。向底面作垂线，垂足为底面正三角形/W C的中心，不

26、落在上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E,使得DEL平面/W C,故 C 错误.故选。.8.（2020兖州区模拟）如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面4 3 8 为菱形，ZDAB=60,侧面上M为正三角形，且平面B4T_L平面A S C D,则下列说法正确的是（)A.在棱4 y 上 存 在 点 使 A）_L平面PMBB.异面直线4）与 PB所成的角为90。C.二面角P-8 C-A 的大小为45。D.平面 E4C【答案】ABC【解析】如图所示，4.取 AD的中点M,连接PM,B M ,连接对角线AC,3D 相较于点O.侧面R4D为正三角形，.EM _LAD.又底面ABC

27、D为菱形，N D$=60。，.AABD是等边三角形.又 FM B M =M .r.4）_L 平面,因此 A 正确.B.由A 可得：AD1.平面RWB，.AZ）_LPB,.异面直线4）与 PB所成的角为90。，正确.C.平面 P5C C 平面 A8C=8C,B C/A D,，8C_L 平面尸5M,:.BCLPB,B C 工 B M .是 二 面 角 P-3 C-2的平面角，设 4?=1，则 8M=*=P 何，在 RlAPBM中，2tanZPBM=,:.ZPBM=45,因此正确.B MD.5。与R 4不垂直，.BZ）与平面P4C不垂直，因此 错误.故选ABC.9.（2020山东模拟）如图所示，在四

28、个正方体中，/是正方体的一条体对角线，点M,N ,P 分别为其所在棱的中点，能 得 出 平 面 MNP的图形为（）【答案】AD【解析】对于4）.根据正方体的性质可得：U M N ,U M P,可得/!.平面MYP.而B C无法得出I 平面M N P.故选AD.10.（2020海东市模拟）在三棱锥 P-ABC 中，A B=A C =4,ZR4C=120%PB=PC面 P8CJ_平面A B C,则三棱锥P-A B C外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】80万【解析】如图，设AA8C的外接圆的圆心为。连接O|C,O|A,BC OA=H ,连接 P H .由题意可得 A _ L 8C,且 A =；

29、Q 1A=2,B H =；BC=2 6.因为平面PBC_L平面A B C,且尸8=PC,所以平面A 8C,且 P H =J（4拘 2 一（2舟=6.设O 为三棱锥P-A B C外接球的球心，连接。厂O P ,O C ,过 O 作 OZ）_ L P/,垂足为。，则外接球的半径R满足改=。0：+军=（6-0。+。附 2,4 g,平即。O：+16=(6-00)2+4,解得0|=2,从而a=2 0 ,故三棱锥P-MC外接球的表面积为4 万 2=8 0 万.故答案为：8 0 万.1 2.（2 0 2 0 大庆三模）已知四边长均为2 石 的 空间四边形A B C D 的顶点都在同一个球面上，若Z B A

30、D =-,平面AB。J 平面8。，则该球的体积为.3【答案】改 叵【解析】如图所示,设 是A 4 5 D 的外心，F是AB C。的外心，过 E,尸分别作 平 面 与 平 面 8 c o 的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形钻 8 的边长为26,Z B A D =-,3所以AA3 Z）与A B C D 均为等边二角形；又平面4 3。，平面C B ,所以。为四面体A B C D 外接球的球心；又 A E =g J（2 扬 2 -（石了=2 ,O E =,所以外接球的半径为/?=也2+7=石;所以外接球的体积为V =x （右 y=型 屋.3 3 3故答案为：史 坛.313.（2020广西模拟）在

31、四棱锥S-ABC力中，底面四边形ABCD为矩形，S 4,平面ABCD,P,Q别 是 线 段 BS,4）的 中 点，点 R 在 线 段 SD 上.若 AS=4,A D=2 ,AR V P Q ,则AR【答案】5【解析】取&4的中点E，连接PE,QE.SA_L平 面 醺 CE，4?u 平面 ABC，:.SAYAB,而 A D SA=A,二 钻，平面SAD,故 PE，平面 S4Z），又 A R u平面 SAD,:.PEAR.又 AR 1.PQ,PE PQ=P,.1AR，平面 PEQ,EQu 平面 PE。，A R V EQ.E,Q 分别为 SA,AD 的中点，:.EQ/SD,则在直角三角形ASD中，A

32、S=4,A D=2 ,可求得S =26.由等面积法可得AR=生叵.5故答案为：型.14.（2020娄底模拟）如图所示，在四棱锥尸-他 8中，底面ABCD是菱形，Z D A B =上,侧 面 皿）3是等边三角形，且 平 面 皿 J平面ABC，E 为棱PC上一点，若平面EB）J_平面A B C D,则PE-=.EC【答案】-2【解析】取 AD的中点O，连接OC交加）于尸点，连结EF,OD/BC,B C =2OD,:.FC=2 O F.平面上 4 _1_平面闻3 8,P O Y A D,.尸。1_平 面 钙 8,乂 平面 或）E_L平面ABC。，：.O P H E F ,/.-=EC FC 2故答案

33、为：.15.（2020曲靖二模）在 几 何 体 P-A B C 中，APA8是正三角形，平 面 以 3_L平 面 A8C,且A B=BC=2,A B B C,则 P-A fiC 外接球的表面积等于【答案】3【解析】M 48是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形R钻的中心的垂线上，因为 平 面 平 面 ABC，所以作GO 1 平 面上46,A B J.B C，外接球的球心也在平面ABC的重心的垂线上，作 OE_L平面ABC交 AC于 E,O 为外接球的球心,由题意可知 EC=/5,G D=x x 2=1故答案为：316.(2020市中区校级模拟)如图，在四棱柱4 8 C D-A B C

34、 0 中，底面ABCZ)是边长为2 的菱形,AB=CBX.(1)证明：平面B D DtBt X 平面A B C D；(2)若 小3 =60。，。与8 是等边三角形，求点R 到 平 面 的 距 离.【解析】(1)设 AC交 切 于 E,连接用E，如图四边形4 3 a 为菱形，.AC_LBD且点 为 AC 中点，在 ABtC 中,AB=CB,A E =CE,DB B E=E、B D、q E u 平面 BDR4,AC_L 平面A C u 平面 AfiC,平面 ABCD_L 平面 8)R81；(2)连接 8 0,A，C、E,在四棱柱A B C D-A B C R 中，平面A B C D II平面A g

35、C R ,又 由(1)可知，平面ABC。，平面平面 A 4GA，平面 BDD1 B、,则 D O,平面 ABCD，乂 BOu平面 A B C D,DR BD,AG u 平面，AG _ L 平面 B D/B广AD=AB=2,N Z M 8 =6 0，/.A Z M B 为等边三角形,：.BD=AB=2,D B B 为等边三角形,:.BD=AB=2,DB、B为等边三角形,:.BB=BD=2,又 DD、=BB=2,为的，=；x 2 x 2 =2,V j-B D O f=X ABDD,XIAGI 2拒23X.BB、_ L 平面 A B C D,3 C u 平面 A B C 7），BB BC,BBt=B

36、D=AB=2,AB=BC=2,BB、=BC,乂因为四边形5 C C|g 为平行四边形,四边形Bcqg为正方形,BCt=B。,:.CtD=BCt,又E为应）中点，C、E L BD,=2-12向述3MX2-XH1-2电OI=GBES？1-31-2IC=IDGl%sI-2匕,2 V 2 1/.a=-,7所以点A 到 平 面 的 距 离 为 2 叵.1 7 .（2 0 2 0 龙 凤 区 校 级 模 拟）如 图，四棱锥中，AB/CD,AB=3 CD=3,PA=P D=B C =2,N A B C=9 0 ,且 P 8=P C.（I）求证：平面平面A B C。；（2）求点D到平面P B C的距离.【解析

37、】（1）取 4。、的中点分别为M、E,连结P M,PE,M E ,A B/CD,A B=3CD=3,.四边形A B C D为梯形，又 M、E 为AD、B C的中点，.ME为梯形的中位线，.1 M E/A 8,又 ZA BC=90,;.M EL BC,P B=P C，E为B C的中点.-.P EA.BC,又 P E M E =E,P E u 平面 P M E,M E u 平面 P M E，.8。_1 _平 面?磔，又月Wu平面PME,故R 0 _ L 3 C，由 =/）,M 为 A 中点，：.P M A.A D,又 A D,8 c不平行，必相交于某一点，口A D,8 c都在平面A 3 C 上，/

38、.W 平面 A B C D,由P M u平面P A D,则平面2 4。J _平面A BCD.（2）由（1）及题意知，PM为三棱锥尸一 38的高，A =2 0,M E =2,P M =旧 故 P E=,SPBC BC x P E=；x 2 x R=/6 ,且 S4s BC x CD=；x 2 x 1 =1 ,设点。到平面P 8 C的距离为人，.由等体积法知：展=匕/=g S gX PM=（SA r a c xh glx近 十 指 x h,解得h=,所以点Z）到平面P B C的距离为.3 31 8.（2 0 2 0雅安模拟）如图，菱形A 8 C D与正三角形8 C E的边长均为2,它们所在平面互相

39、垂直，FD _ L平面A B C D.（1）求证：平面A C FJ _平面匝尸;(2)若 NC54=60。，求三棱锥E-B C F体积.【解析】(1)证明：在菱形ABCD中，AC_LM，FD_L平面 ABC,:.FDLAC.乂 BD F D =D,.AC_L平面而 AC u 平面A C F ,平面A C F _L平面B D F：(2)解：取 8 c 中点O,连接EO,OD,&BCE为正三角形，.EO LBC，平面3CE_L平面ABCD且交线为BC，EO JL平面ABC。.FDJL 平面 A3C),:.EO/FD,得 皿/平面 BCE.,E-BCF=%-B C E=V o-S C E =E-RC

40、D 5ABe =gx2x2xsinl200=y/3,E O =.19.(2020 怀 化 模 拟)图 I 是 直 角 梯 形 ABC,AB/CD,Z=90,45=2,D C =3,AD=y/3,CE=2 E D,以BE为折痕将ABCE折起，使 C 到达C1的位置，且 A G=卡,如图 2.(I)证明：平面8弓_ 1平面 闻 的；(I I)求点5 到平面4C Q的距离.【解析】（I）证明：在直角梯形ABCD中,由 A8=2,OE=1,AO=G ,解得 E8=EC=BC=2.连接AC交EB与M 点，则AECM三BAM,r.M为 的 中 点，则C M _L8E.C.M=MA=/3,又 GA=，Y M

41、A,又 C、M LBE,BE AM=M,QM 平面 ABED,又QM u 平面GEB,平面相 田J_平面C、EB；（II）ft?：设5到平面A C Q的距离为d,则”=兽 口,-S3 J 4C|D又NoB zAiC（-1 UD CC A R D =,ABD X C.M=X X 2x 5/3 X 573=1 ./DU 3 Z i/U）z 1 3 2DM=AM=43,C、M=6 ：.CtD=s/6,S A C,D=g X G X j（陶-g o。=20.（2020遂宁模拟）如图，在长方体印d石中，底面ABCZ）是边长为3的正方形，对角线A C与处相交于点O,点尸在线段A“上且2AF+H/=0,8

42、E与底面/1BCZ）所成角为工.3（1）求证：A C I B E t（2）M 为线段 班）上一点，且 B M =如,求异面直线AM 与 3口所成角的余弦值.【解析】（1）证明：因为在长方体中，有。L 平面ABCD，所以力EJ.A C，因为四边形A 8co是正方形，所以AC_L8D,又 BD D E=D,从而AC_L平面期DE.而 B E u 平面B D E,所以AC_LBE.（2）因为在长方体M CD-必 LE中，有 BE与平面ABCD所成角为主,3由（1）知A D B E为宜线B E与平面A B C D所成的角，所以NZME=工，所 以 生=有.由4）=3 可知。E=3#，3 DB所以 AH

43、=3 而，又 2AF+尸=0,B P A F =-A H ,3故AF=瓜,在。上取一点G,使 G=E,3连接尸G，则在长方体ABC。-也 中，有 F G 11 A D /B C ,.FG=A D =B C,所以四边 形 用 CG为平行四边形，所以B F/C G,在助D上取一点N,使 D N =B M，因为 3M=啦，B D =3/2,所以 W=8M=48Q,3所以在正方形A B C D中，O N =O M,所以ACON=AAOM，所以 NCNO=ZAMO，所以 4W C7V,所以NGGV（或其补角）为异面直线AM 与 所 成 的 角，在 AGNC 中，G C =BF=jAF2+A B2=715

44、,在 A4MB 中，由余弦定理得 A M=JA B2+B M 2-2X4BX8MXCOS=V ,则 CN=AM=石，又 GN=yjGD2+D N2=2 0 ,在 AGNC中，由余弦定理得:2GC N C故异面直线A M与B F所成角的余弦值为迪.521.(2020四川模拟)如图所示，菱形ABCD与正方形C)EF所在平面相交于CZ).(1)求作平面ACE与平面BCF的交线/.并说明理由；(2)若 B D L C F,求证：平面BZ)E_L平面ACE.取:.【解析】(1)过点C 作 防 的 平 行线/即可，下面予以证明.由已知得，A B和 所 都 与 CD平行且相等，四边形A B F E是平行四边

45、形，3-，3尸仁平面ACE，且 A u平面ACE,3尸平面ACE,B Fu平面8CE，且平面A C EC 平面(2)证明：由 CF_L8D,C F L C D,且 8 C D =D ,，C/1.平面 A8C),A Cu 平面 MC，:.CFYAC,DE/CF,:.DEA.AC,在菱形/WC 中，B D L A C,乂 D E BD=D,，ACJ_ 平面A C u平面ACE,.,.平面印)E_L平面ACE.22.(2020新 疆 一 模)如 图，四棱锥E-A BCD 中，底 面 ABCD是平行四边形,C D =2AD,EC_L底面 A BC(I)求证：平面4)E_L平面ACE；(II)A D =CE =2,求点C 到面ADE的距离.ZADC=6O.【解析】（I）证明：ECJ_平面ABCD，:.EC-LAD,又 ZADC=60,C D=2 AD,:.A D r A C,二 AD JL 平面 ACE,又ATu 平面A D E,故平面A D E_L平面A C E .（II）设点C 到面A D E的距离为h,乂 C-ADE=F-ACD,由（I）可知AD_L平面A C E,则 AO_LAE,所以，-x x2x4x/?=-x x2x2G x2,3 2 3 2所以=g,故点C 到面ADE的距离为6.