2021届高考数学（理）考点复习：空间向量及其应用（含解析）.pdf

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1、2021届高考数学(理)考点复习空间向量及其应用1 .空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为止的向量0单位向量长度(模)为L的向量相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a/b共面向量平行于同一个平面的向量2 .空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量0 与 仇b W O)共线的充要条件是存在唯一的实数2,使得=劝.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p=x a+)力，其中x,y C R,a,为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,6,c 不共面，那么对空间任

2、一向量p,存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 y,z ,使得pxa+yb+zc,a,b,c 叫做空间的一个基底.3 .空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，6,在空间任取一点O,作方i=a,O B=b,则/40 B叫做向量a,6的夹角，记 作(a,b),其范围是OW a,b)若 a,b)=会 则 称。与 b互相垂直,记 作 a_L A两向量的数量积已知空间两个非零向量，b,则同步|co s a,b 叫做向量a,1的数量积,记作a b,即 o b=|a|出|co s。，b).(2)空间向量数量积的运算律(A a)-6=2(aZ)；交换律：a b=b a

3、；分配律：a(b+c)=a b+a c.4 .空间向量的坐标表示及其应用设。=(。1，(12,4/3)(=3 1，岳，bi).向量表示坐标表示数量积crba1历+。2岳+。3匕3共线2WR）垂直eb=O（a WO,力WO）a 也 i+。2勿+=0模|q曷+浴夹角余弦bco sa,b）一步|（aW 0,b#0）,）_+a 2 b 2 +3。3“q山+崖尻+虎+昭5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个.平面的法向量直线/J _平面a,取直线/的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个

4、平面的法向量有无数个，它们是共线向量.(3)位置关系向量表示直线/1,，2的方向向量分别为 1，2l/hn/nn=Ani/山2n J _ 2 O 2=0直线/的方向向量为，平面a的法向量为ml/an.Ltnnni=0l-Lan/mn Xm平面a,4的法向量分别为鹿，机a/pn/mn=kma邛n z n /1/n=0【概念方法微思考】1 .共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗？提 示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.1.(2018新课标H)在正方体A 8 8-4 B C R 中，E

5、 为棱C G 的中点，则异面直线AE与 CD所成角的正切值为()A.B.3 C.D.立2 2 2 2【答案】C【解析】以。为原点，A 4 为x 轴，9为 y 轴，O R 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体A 8 8-4 耳G R 棱长为2,则 A(2,0,0),(0,2,1),D(0,0,0),C(0,2,0),AE=(-2,2,1),CD=(0,-2,0),设异面直线A E 与8 所成角为6 ,则皿。=也3sin，A(1,0,0),R(0,0,x/3),(0,0,0),4(1,1,扬，A D=(-l,0,5,DB,=(1,1,7 3),设异面直线A Dt与。耳所成角为6,则 cos 0

6、=I A D DB,|2 y/5I AD,11 DB,I -2x/5-5.异面直线A D,与DB、所成角的余弦值为赵.15故选C.3.（2 0 1 8全国）长方体 A 88-A BCA ,AB =A =4,A4,=8 ,E、F、G 为 A B、玲与、DDt的中点，H为AR上一 点,则4 H =1,求异面直线F H与E G所成角的余弦值.【答案】延1 5【解析】长方体 ABCD A B C R，AB=A D =4,A4,=8 ,E、F、G为A B、0 A的中点，“为A R上一点，则A=I，.以。为原点，D 4为x国，DC为y轴，。1为z轴，建立空间直角坐标系,F(4,2,8),H(3,0,8),

7、(4,2,0),G(0,0,4),FH=(-,一2,0),E G=(-4,-2,4),设异面直线F H与E G所成角为，h l l ln FH EG 8 4拓FHEG V 5 V 36 1 5故答案为：.4.(2 0 1 8江苏)如图，在正三棱柱A B C-A B C中，4 8 =9=2,点P,Q分别为4内，8 c的中点.(1)求异面直线族与4G所成角的余弦值；(2)求直线Cq与平面A Q G所成角的正弦值.【解析】如图，在正三棱柱A 8C-A BC中，设AC,A G的中点分别为o，。则，O B L O C O O,O C ,OO,OB .故以 0 8,0 C,0 0 J为基底，建立空间直角坐

8、标系。-乎，AB =M=2,A(0,-1,0),8(6，0,0),C(0,I,0),A(o,-1 ,2),4(6，0,2),G(0,1,2).(I)点尸为44的中点.,B P =(一与,AC,=(0,2,2).|cos|=B P|-1 +4|3 M|8 P|AC|Vx 2&-2 0异面立线BP与A G 所成角的余弦值为：题：1 2 0(2)。为 3 c 的中点.二。(3,g,0)4。=(孚,|,0),A 0 =(0,2,2),C 0 =(0,0,2),设平面4 Q C 的 一 个法向量为=(x,y,z),由,A Q =-x+-y =0 r r-2 2 ,可取=(6，-1,1),AC 1 =2

9、y +2 z=0设直线c c,勺平面AQG所成角的正弦值为e.sin 0=|cos =旦=-J =,ICC,11|V5x2 51.（2020东湖区校级三模）如图，在棱长为4 的正方体A B S-A B C R 中，点E 是棱A R 的中点，DiF=3FCi,若过点A,E,尸的平面分别交棱C 、8 c 于点G,H,则线段G 的长度为（、回 口 4省 屈 -D .-Lx -3 3 3【答案】B【解析】如图，连接短，延长 F、B,相交于M,点 E 是棱A R 的中点，DtF=3FCt,且正方体ABC。-A B C 4 的棱长为4,2:.RE=2,R F =3,C,F=1 ,则2 Q在平面AEM中过A

10、 作 A/EW ,交 B C 于H ,则 3H=2+=一.3 34 可得C=一，:.CG=2 G G,即 CG=.3 32.（2020沙坪坝区校级模拟）直角AABC中，AB=A C =y/3,D 为 B C 边上一点,沿 AT 将 A A 8折起，使点C 在 平 面 内 的 正 投 影 H 恰好在A S上，若 4/=1,则二面角C-4 5-B 的余弦值是（）A1 8 及 0 0 及3 3 3 2【答案】A【解析】如图，在直角AABC中，由A8=AC=G，得 BC =a.设3Z)=x,则 CD=C-x,由 C H J_43,A C =6，A H =,可得 C =J 5.在 A B D H 中,由

11、 Ba=G-1,BD=X,NDBH=45,得 2=X2+（73-1）2-2（V 3-1）A:=X2-V 6X+A/2X+4-2 73.2在 RtACHD 中，有 D H、CH2=CD2,即/-向 +缶+4-2G +2 =（#-X）2,解得工=逑 二2即。8=逑咨c o =6-逑 二 =3（卡-扬.2 2 2则%。=飞-F-s_（6 一 D 当吗=W.3-6设二面角C AD8 的平面角为。，则cos6=&=生 =.Sco 9-3 二 34故选A.3.（2020浙江模拟）如图，在平行四边形4 3 c 中，沿 AC将 AACD折成A A CP,记异面直线B 4与B C 所 成 的 角 为 a,直 线

12、 B 4 与 平 面 ABC所 成 的 角 为 尸，二 面 角 P-A G 1为 7,当TT一/尸）7 时，则（）2BA.aj?y B.a朦 /3 C.p D.y廊 a【答案】B【解析】由选项可知，当ABCD为平行四边形，且ZR4O时，角a,7 的大小唯一确定.则不妨取平行四边形ABCD为边长是2 的菱形，Z BAD=-,Z P A D =.4 3A BC,.,.异面直线R 4 与8C 所成的角a 即 为/R4D的补角为巴；3设 AC 80=0,则 8O_LAC,P O L A C,/2 0 8 即为二面角2 一4 7-8 的平面角7，由 AC J.3 0，A C I P O BO P0=0,

13、可得 ACJ_平面 PO8,在平面PO 8内，过尸作P G _L O 8,则 PG_L平面A8C，连接AG,可得ZB4G为直线P A与平面A B C所成的角为力，在 RtAPGO 与 RtAPGA 中，由 PG=PG,O G tan,则y?;在 AMD 中，由 24=4 5=2,Z P A D =,可得尸)=2 6，3在 V)中，由尸。=。)=，2+应,PD =2 8 ,-r，n/，、2+/2+2+/2 _ 12 _/T _ 1可得 cos Z.POD=-f=-=3V2-5一万，可得/0/仁平面4。0厂.尸3 平面.(2)解：由题意知，。同、。4、O F三直线两两垂直，.以0为原点，0人、。f

14、、O F所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设。声=1,则。同=6，A 4,=2,1.0,(0.0,0),4(7 5,0,2),B(0,1,2),尸(0 ,0,4),C(-y/3,0,2),O,A =(y/3,0,2),O,B =(0 ,1,2),设平面A 8 Q的法向量为帆=(x,y,z),则卜即!+2 z=0,m O B =0 y +2 z=0令 Z=G，则 x =-2,y =-2y/3,m =(-2,-2白，5.同理可得，平面P 8 C的法向量n =(-2 ,2 7 3 ,&).m n 4-1 2 +3 5/.c o s =-=.r-=-m n(j4+1 2 +3 1

15、 9故平面P 3 C与平面4 8 Q所成的锐二面角的余弦值为5.6.(2 0 2 0江西模拟)已知如图，菱形A B CZ)的边长为2,对角线A C=2 6，现将 菱 形 沿 对角线A C翻折，使3翻折至点8 .(1)求证：(2)若9 0=1,且点E为线段3。的中点，求C E与平面4?。夹角的正弦值.【解析】(1)如图所示，取 AC的中点为,OB,A8=8 C,AD=CD,:.B O V A C,DO V A C,又 BO DO=O,AC_L 平面 8OZ),6 O u 平面8 Q，/.ACJLE D.(2)以。为原点，OC为x 轴，8 为y 轴，过 O 作平面ACD的垂线为z 轴，建立空间直角

16、坐标系，在等腰MAC中，O =1,同理0 0 =1,BD=1,A(-g,0,0),0(0,1,0),8(0,-,),C(6,0,0),E(0,-,2 2 4AO=(百，1,0),夕。=(0,-,-争设平面5 A D 的一个法向量为 =(x,y z).,C=(-3,-4n AD=0n BD=0则J3x+y=0，即 1 73，取 z=l，得=(-l，73,1),_ y-z=012 2G,3G ,G厂 1r yjj 4-1-cos=-=-4-4nCE 石 x 巫2454设 CE 与平面 夹角为 6,则 sin=|cosv,CE|=w.7.(2020柯桥区二 模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD

17、=PB=BD=-AB=l,/RM=30。，2CD=CB.(1)求证：PC工BD；(2)若PA=&,求直线P 4 与平面PB)所成角的正弦值.【解析】(1)取 5。的中点O，连接O P、OC,PD=PB,;.OPA.BD,乂 CD=CB,:.O C LB D,OP OC=。，OP.O C u 平面OPC,.3。，平面0 尸(7,P C u 平面OPC,.P C-LfiD；解：(2)BD=-A B =,2:.A B=2,BD=1,而 ZS4)=30,由余弦定理可得：BD1=AEr+AB2-2 AD AB cos ABAD,即 1 =AD2+4 2V5A),解得 A。=6，：.AD2+DB2=AB2

18、,则 45_LO3.取 A5 中点 E,连接 O E,则 OE/AD,:.O EVB D,可得O E u 平面尸O C，连接P E,在平面PCE中，过 O 作OZ_LCE,以O 为坐标原点，分别以。8,OC,OZ所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.在 AE4B 中，由 PA=,AB=2.PB=1,可得 cos/PAB=6+j-l =亚,2xV6x2 8在叱中，有 公卜心和、乎=半3 3 5在 bPOE 中，有 c o s Z.POE-4+4 2 _ c2.V 3-32 x x 2 22c o s Z.POC=3则 丐，0,0),D(-,0,0),OP =(0,半)，DB =(l,P(0

19、 ,$,平)，A(-,-7 3 ,nm _/1 4石 V1 5 A0，0),PA=)0).设平 面 尸 的一个法向量为=(x,y,z),由，n DB=x =0CP 6 4 屈取 z=T，得n OP=y +-z=03 6V1 5设直线R 4 与平面P B D所成角为0,则s i n0=生 竺 L =_ =叵.nPA 3X6 1 828.(2 0 2 0 香坊区校级一模)已知直三棱柱A B C-A B|G中，A 4 B C 为正三角形，AB=AA=4,F为 BC 的中点.点在棱G C 上，且 G E=3 E C.(I )求证：直线用F_L 平 面 心；(I I )求二面角与-AE-F 的余弦值.【

20、解析】（I）取用G中点。，连接D F,设A3=4,以 尸 为 坐 标 原 点，E4,正仇F的 方 向 为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,4(0,2,0),F(0,0,0),A(26,0,0),E(0,-2,1),B,F=(0,-2,-4),FA=(2 ,0,0),FE=(0,-2,1),设平面AEF的法向量为/=(%,y,z jm FA=0m FE=02岛=0 1，/.m=(0,l,2),-2y,+z,=0B p =-2m,BF/Im,直线B|F_L平面AEF.(II)AE=(-2x/3,-2,1),BtE=(0,4,3).设平面瓦A E的法向量为=(受,，z2)n AE=0-2A/3

21、X2-2y2+z2=0n B,=0 4y2+322=0不妨取 y2=33,则七=-5,z2=-4 fi.n=(-5,3-/3,4-/3),平面AEF的法向量为加=(0,1,2),设二面角4 AE 尸的平面角为。,八m n V15cos=-=-mn 1 0y9.（2 0 2 0 沙坪坝区校级模拟）如图，在正三棱柱A8C-ABC 中，。为 CC；的中点，AB=2.（1）求证：平面J _平面4 880：（2）若直线4耳与平面ABC 所成角为6 0。，求二面角S-AO-G 的余弦值.【解析】（1）取 4耳中点“，连接由题设条件易知：Rt A A CD 与Rt B,C,D 全等，所以DA=DBD H A

22、Bt,同理：/?4 G。与 Rt A B CD 全等，所以以=。隹，D H工A B ,所以。J _平面A 8 8 1 A n 平面4。用J _平面4 8 M A -（2）4A L平面A片G =AB,与平面A AG所成角即为NA4 A，乙峭A =6 0。,4Al=26，取 AG 中点o,连接OB,则_L AG,以O 为坐标原点，。片方向为X 轴，OC1 方向为y 轴，过 o作平面A 4 G 的垂线为z轴建立如图所示空间直角坐标系,则：4 g o,6,。(0,1,G),A(0,-1,2 石),4 =(_ 1,折4 A=(-6,-1,2 后)，设平面A4的法向量为m=(x,y,z)由=ZADC=90

23、,AB=AD=2DC(1)证明：MB_L平面MA。；(2)当直线M B与平面ABCD所成的角为45。时，求二面角D-M 4-C的正弦值.【解析】(1)证明：因为半圆弧A B所在平面与平面ABCD垂直，平面M 4 B C平面他8=钻,由D 4 _ L A 5,所以0 4 1.平面 M 4 B,又M B u平面 则有D4_LMB又A 5为半圆弧所对的直径，所以而M4 DA=A,所以M 3JL平面M 4O.(2)法1 (空间向量法)：过M作AO_L的/O,因为平面M 45_L平面ABCD,平面M 4 B C平面 他8=他，所以A/O_L平面ABC。，即M B与平面ABC。所成的角,由已知条件得NMB

24、A=45。，M A =M B,即。为 四 中点.由 N84D=NA)C=90。，A B=A D =2 D C,四边形 AOCD为矩形，所以 OC_LA8以O 为坐标原点，OB,O C、方向分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，iAB=A D=2 D C =2,所以 C(0,2,0),0(-1,2,0),A(-l,0,0),A/(0,0,1),8(1,0,0)由(I)知，平面M 4 D,则平面他4。的一个法向量勺=MB=(l,0,-l)设平面 M4c 的法向量巧=(x，z)因为 AM=(1,0,1),AC=(1,2,0),|n,A M=0 x+z=0由一 ，得 c ,、n,4C=0

25、x+2y=0取 y=T,则/=(2,-1,-2)设二面角。-M 4-C 大小为则 cos 0=%I n 1 1 n21lx2+(-l)(_2)_ 2夜72x3-3所以sin6=，即二面角。一M4 C 的正弦值为法 2(传统几何法)：二 面 角 M 4-C 的 大 小 即 为 二 面 角 的 大 小 与 二 面 角大小的差，由(1)的证明可得，二面角8-加4-。的大小为90。，所以二面角D-M 4-C 的正弦值即为二面角3-M A-C 的余弦值.由平面肱$1,平面43c),平面M43 c 平面C O L A B,所以CO_L平面M 43，又M 4 u 平面M 4B，则O C_LM 4,取 M 4

26、中点H，连 HC,由 钻 为 半圆弧所对的直径，所以O,H 分别为AB，A例的中点，所以O H/B M，则 O_LM4,又OH OC=O,所以 呢4_1_平面0。则NOHC即为二面角3-M 4-C 的平面角,设AB=AD=2ZX7=2,在 RtACOH 中，OH=、MB=立,OC=2,HC=2 22 T11.(2020滨州三模)在如图所示的圆柱Q Q 中，为圆。的直径，C,。是 A 3的两个三等分点，EA,FC,GB都是圆柱Q Q 的母线.(I)求证：/4/平面4 9 ；(2)设 3 c =1,已知直线A F与平面ACB所成的角为30。，求二面角A-m-C 的余弦值.【解析】(1)连接Q C,

27、O Q，因为C,。是半 圆 弧 的 两 个 三 等 分 点，所以4 4 。=/0=/:015=60。,又0|4=0I8=0 1 0,所以 AQ。，COQ,/SB O C 均为等边三角形，所以aA =AZ)=C=C a,所以四边形AOCQ是平行四边形.所以C HAD.因为E 4,尸 C 都是圆柱RO2的母线，所以E4 召C.又因为 C 0 r F C u 平面尸c q,CO,FC=C,AD.4 u 平面 ADE,AD EA=A,所以平面FCOX/平面ADE,又 FOt u平面FCO、,所以FQ/平面ADE.（2）连接A C，因为FC 是圆柱OQ?的母线,所以FC _L平面ACB，所以N E 4c

28、为宜线A F 与平面ACS所成的角，即 ZM C =30.因为A 3为圆&的直径，所以48=90。，在 RtAABC 中，ZABC=60,BC=，所以 AC=BC tan60。=百，所以在 RtAFAC 中，FC=AC tan30=1.因为 AC_L3C，A C V F C,BC FC=C,B C、F C u 平面 E B C,所以 AC_L 平面m C ，又E 5 u 平面m C,所以A CJ.FB.在 A/B C内，作 C H J.F 3 子点”，连接AH.因为AC CH=C,AC.C H u 平面AC”,所 以 用 JL平面AC”,又 A H u 平面A C H,所 以 所 _L A H

29、,所以NA C 是二面角4-尸8-C 的平面角.在 RtAFBC 中，CH J。BC=罕=也,在 RtAACH 中，AH=ylAC2+CH2=,2所以 cos Z.AHC =,AH 7故二面角A-M-C 的余弦值为 也.712.（2020南岗区校级模拟）图中组合体由一个棱 长 为 2 的正方体A B C O-A 4G A 和一个四棱锥S A8C组成（S_L平面A8C,S,D,鼻三点共线，SD=2）,E 是。口 中点.(I)求证：S 3/平 面 珞；(I I)点/在 棱 S8上靠近S 的三等分点，求直线E E 与平面3 G 所成角的正弦值.【解析】(I)连接。与，连接。出交 A G 于O,则)0

30、=0 月.D、E=ED,:.EO/DBt,又SDI/BB、,5。=8耳，.四 边 形 是 平 行 四 边 形，得 SB/O8 故S3/E O.SB仁平面EA,G,EOu 平面EAG，.S 3/平面 EAG；(II)以A 为坐标原点，分别以R A、D G、所在直线为X、y、z 轴建立空间直角坐标系.则 4(2，0,0),C,(0.2,0),(0,0,1),F(|,|.与).A G=(-2 2 0),=(-2,0,1),EF=3 3 3设平面区 41G 的一个法向量为n=(x,y,z),由 n=-2x+2y=0n E =2x+z=0取 x=1,得=(1,1,2).设直线EF与 平 面 所 成 角

31、为 e.则 sin 0=|cos|=nEFnEF直线E F与平面E4,G所成角的正弦值为噜.13.(2020龙潭区校级模拟)如图，在四棱锥中，AB/DC,D C =2AB=2 AD=2BC,A/X 3为等边三角形，平面始5_L底面A8CD,E 为 PD的中点.(1)求证：A E/平面PBC；(2)求二面角8-A E-P 的正弦值.【解析】(1)如 图 1,取 PC中点F，连接F,BF,在 APDC中，E,F 分别为PD，PC的中点，.-.EF/DC,EF=-D C,2AB D C,AB=-D C,2:.EF/AB,所=AB,.四边形板 方 为平行四边形，:.AE/BF,又 A E U 平面 P

32、BC,BFu 平面 P3C,.4 /平面9(7.(2)取 A 3中点O,8 中点。，连接OP,0Q,AZ%B为正三角形，:.O P L A B，在四边形ABCD中，AB/DC,A B w D C,AD=3C，四边形ABCD为等腰梯形，O,。分别为AB,DC的中点，O Q Y A B,平面 a$_L 底 面 舫 8,且平面 243 c 底面/W 8 =4 3,O P A B,.OP_L 底面 ABC，二以点。为原点，以向电。，OB,OP的方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系O-x y z,如图2,用/设 9=2,在等腰梯形ABCE)中，4)=2,D C =4,OQ=6 ,在等边三角形A

33、 ftW 中，0P=6 ,A(0,-1,0),8(0,1,0),。(6,-2,0),P(O,O,6)，E 为 PD 中点,AE=E(,A B =(0,2,0),A P =(0,l,G).Ap n=f）设平面明E的法向量为=a，%,Z 1）,则AB ny=0，石 nB|J TX|Tz,=0.2 y =0取 4 =-l ,得,=(l,0,-l),AT =0设平面RAE的法向量为“2=(%,必,z?),则-AP n2=0取z 2 =-l 得%-(h /3,-l),设二面角 3AEP为。，有|c o se|=|c o s J_ 平面“比 为直线D与平面A B E 所成的角.以O为原点，以OB ,OE,

34、8 为坐标轴建立空间直角坐标系O-孙z,则 A(0,-y/2,0),B(yf 2,0,0),0(0,0,6),设 E(0,t,0)(/0),:.D C =A B =e ,及，0),D E =(0 ,t,-V 2),设平面C Z 迫的法向量为 =(x,y,z),则,n D C =0X+C x/2 y =0 ,.令 y =l,y得 =(-1,1,学叵f),n D E =ty-J 2z=0 28 _L 平面w =(0,0,1)为平面A B E 的一个法向量,由平面。CE与平面ME所成锐二面角的余弦值 色，得5亚|c o s1=2=/1=边1 ,解得 t=屈.t a n Z.DE O=,得/D E C

35、=3 0 .OE限 31 5.(2 0 2 0 靖远县模拟)如图，四边形A B C D 为正方形，尸 _ L平面A B C D,P D =D C =2,息E,F分别为A),PC的中点.(1)证明：DF/平面PBE；(2)求直线PD与平面P3E所成角的正弦值.【解析】（1）取PB的中点G，连接EG,F G,则FG/ABC,S.FG=-B C,2四边形/WCZ）是正方形，E是4）的中点，:.D E/BC,DE=-B C,2;.FG”DE艮FG=DE,：.四边形DEGF为平行四边形，.-.D F/E G,又 DF U 平面 PBE,EGu 平面 P3E,.方/平面 PBE.（2）BD=/2DC=2y

36、/2,PD=2,:.PB=dPD?+BD?=2有,又 AE=DE=,AB=PD=2,:.BE=PE=5：.B E的边P8上的高为h=不BE?一（?产=收，=J *PB x =逐,设。到平面m E的距离为 ，则V:=瓜xd=粤.:1 1 2又D-PBE V p_BD E =3*5“1*2乂2=石.7限.d=-3设PD与平面尸BE所成角为a,则sina=4=.PD 6故直线PD与平面P砥 所 成角的正弦值为 远.APB=2#,PB1=OB2+OP2,即 OP_LBE,16.(2020东湖区校级三模)如图，在六棱锥尸-ABCZ)所 中，形，PA=PC=2 口.(1)证明：平面R4C1平面PBE；(2

37、)若尸8=26，求二面角-尸 的余弦值.C D【解析】(1)证明：设 AC BE=。，则。为 AC的中点，PA=P C，:.P O A C.由正六边形的性质可知，AC.LBE.PO BE=O,PO、3 E u 平面 M E,.-.A C X SPB EA C u 平面B 4 C,二平面B4C_L平面P3E.C D(2)解：底面ABCM F是边长为4 的正六边形，24=2、;.OB=2,OA=2y/3,OP=IPA1-O A1=4.底面ABCDEF是边长为4 的正六边斤，故A C、B E、O P两两垂直.以。为原点，OA.OE,O尸所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0 ,2 73 ,0),B(-2 ,0,0),P(0 ,0,4),F(4,26，0),PA=(0,2石，-4),P B=(-2 ,0,-4),PF =(4,2百，-4).f fn 上/、上 J ri.m P A=2 V 3 y-4z =0设平面RW的法向量，=(x,y,z),则/3 /rm n V V V 1 3 3/.c o s =-=,=-=-卬 问 1 +；+l x g 19由图可知，二面角-尸 为钝二面角，故二面角3-R 4-尸的余弦值.1 9