三角函数与三角恒等变换、解三角形典型例题.docx

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1、一、任意角例1 写出终边符合下列要求的角集：（1）在x轴上；_（2）在y轴上；_（3）在坐标轴上；_（4）在直线y = x上；_（5）在直线y = x或y = - x上_例2 写出终边符合下列要求的角集：（1）在第四象限；_（2）在第一、三象限；_例3 写出终边符合下列条件的两角的关系：（1）与终边重合；_（2）与终边在同一条直线上；_（3）与终边关于x轴对称；_（4）与终边关于y轴对称；_ （5）与终边关于原点对称；_ （6）与终边关于直线对称；_ （7）与终边关于直线对称；_1. 已知角是小于的正角，如果角的终边与角的终边重合，试求的值.2. 扇形区域区域周期为，即每旋转一周恰好一次覆盖该

2、区域；而对角形区域的周期为，即每旋转一周恰好两次覆盖该区域.3. 若集合,则集合的关系为_. 4. 若将时钟拨慢5分钟，则时针转了_度，分针转了_度.5. 已知与终边关于直线对称，若，则6. 已知点落在角的终边上，且，则的值为_变：角（）的终边过点），则 二、弧度制1. 已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆周角的弧度数为_. 2. 已知扇形的周长为，则其面积的最大值为_拓展：（通常用半径作为自变量构建函数模型）（1）当扇形的周长为定值时，当且仅当扇形所对应的圆心角为时，可取得扇形面积的最大值为；（2）当扇形的面积为定值时，当且仅当扇形所对应的圆心角为时，可取得周长的

3、最小值为；3.（旋转问题）（1）在直径为的轮子上有一长为的弦，是弦的中点，轮子每秒转，则经过后点转过的弧长为_ （2）已知相互齿合的两个齿轮，大轮有50齿，小轮有20齿. （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角的弧度数的大小（不考虑方向）； （2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，试求小轮圆周上一点转过的弧长. 小轮转速为；（3）已知轴的正半轴上一点绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点每分钟转过角（），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么是多少弧度？ 或4. 若，则的取值范围是_5. 扇形的面积为，它的周长为，求圆心角的弧度数和弧长.6. 已知扇形的圆心角为，

4、半径为6，则扇形所含的弓形面积为_7. 已知的圆心角所对的弦长为2，求（1）这个圆心角所对的弦长；（2）这个圆心角所在扇形的面积. 8. 如图，一长为，宽为的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，则点A走过的弧的总长为 _ . 三、任意角的三角函数1. 当时，角的终边位于_2. 已知角的终边经过点，且，试判断角所在的象限，并求和的值. 3. 如果角的终边上一点到坐标原点的距离为1，则点的坐标为_4. 已知角的终边落在直线上，求的值.5. 已知角的终边经过点，则的值为_6. 已知点在角的终边的反向延长线上，且，则点的坐标为_7. 若点在角的终边

5、上，且，则实数的取值范围是_.8. 角的终边上有一点且，则_ -1或-2/39. 若，则和满足的条件是_ 10. 若，则和满足的条件是_ 11. 若，则和满足的条件是_ 12. 利用单位圆中的三角函数线，完成下列问题：（1）确定下列各角的取值范围：（2）已知为锐角，证明：（利用面积或周长都可以）（3）已知与均为第二象限角，且，则的大小关系为_（4）作出符合下列条件的角的终边：（5）求函数的定义域：变式1、函数的定义域为变式2、函数的定义域为变式3、集合，则=变式4、函数的定义域为（6）若为锐角，试比较之间的大小关系13、函数的值域为_变式、函数的值域为_ 14、若，又是第二、三象限角，则x的取

6、值范围是_15、A,B是单位圆上的两个质点，B点的初始坐标为（1，0），,质点A以的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作轴于点，过点B作轴于点（1）求经过1s后，的弧度数；（2）求质点A,B在单位圆上第一次相遇所用的时间；（3）设点与间的距离为y，请写出y关于时间t的函数关系式并求出最值变式、若点P从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向匀速运动，且角速度是rad/s，t s钟运动到Q点（1） 当t=4，求Q点的坐标；（2）当时，求弦PQ的长（用t表示）解：（1） ；（2） （余弦定理、两点间距离公式、垂径定理）16、若角的终边上有一

7、点，且 ，则 的值为_17、已知角的终边在直线上，若，且，则实数_可利用斜率解决 得结果为218、若，则角x所在象限为 _ 二或四19、已知点在第一象限，在内角的取值范围是_20、若是关于x的二次方程两根，且，则角的范围是_ 21、已知，均为正数，满足，则的值为_ 原题呈现：已知，为非零实数，且满足，则的值为 _ 思考：命题意图何为？三角函数定义从方法的角度，消参，两种方式：（1）引入新的参数对其消参；（2）直接内部消参，不引入新的参数；练习：若二次函数满足对任意的正整数，当，则的解析式为_ 考点：曲线的参数方程，,消去后得：四、同角三角函数基本关系式1、试用单位圆法和定义法证明同角三角函数的

8、基本关系式；2、化简下列三角函数式：3、证明下列三角恒等式：（弦切互化，1的代换）（1）(2)(3)4、已知，且，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；5、已知，则变式1、已知，（1）求的值；（2）求的值变式2、设，且（1）求 ；（2）求变式3、已知，则变式4、设，则=_变式5、已知（1） 求的值；（2）；求的值（3）当 时，求6、已知，求和的值变式：的值（齐次分式的求值问题）变：已知，则的值为_7、若，求角x的取值范围_变式：化简8、若，则在第_ 象限；四9、化简10、已知是方程的两个实数根，则实数k的值为_11. 求值：_ -112. （1）已知，求和的值；（2）已知，且，求的值；（3）

9、已知，求和的值；解：若角位于第一、四象限或轴的正半轴时，若角位于第二、三象限或轴的负半轴时，13. 已知，则_（）或五、三角函数的诱导公式1. 已知，则_ 2. ，则_ 3. 已知，则_；_4. 求下列各式的值（1） （2） 05. 化简： -16. 已知，为第三象限角，则_ 7. 在中，若，则的三个内角分别是_ 8. ，则_. 9. 化简：=_ -110. 已知，则 11. 若，则12. 已知（i）化简；（ii）若是第三象限角，且，求的值.13. 已知（1）求的值； （2）若，求的值. （3）若，求的值； 14. 如果，则_15. 化简： （1）=_ （2）（3）16. 在中，求证：总结中的

10、一些三角结论：正弦、余弦、正切关系？半角关系如何？拓展：已知顺次为圆内接四边形的四个内角，则（1）；（2）；17. 判断下列函数的奇偶性：（1）（2）18. 如果，则19. 已知，则_20. 若，则=_21. 函数的值域为_22. 已知，求的值；23. 已知,求的值24. 已知（i）化简；（ii）若是第三象限角，且，求的值.25. 定义在上的函数的图像与的图像的交点为，则点到轴的距离是_六、三角函数的周期性1. 若函数的最小正周期是，则的值为 2. 若，则_ 3. 已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则=_4. 已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个

11、值是 5. 设，则函数的最小正周期为_6. 定义在上的函数，满足，则它的一个周期为_7. 已知是定义在上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值为_.8. 已知函数满足：，求证：是周期函数.9. 已知函数是定义在上的周期为4的奇函数.（1）求的值；（2）若时，求时，的解析式.10. 定义在上的函数满足，当时，,当时，则 33811. 设函数,则下列结论错误命题的序号为_3（1）的值域为；（2）为偶函数；（3）不是周期函数（4）不是单调函数12. 已知，再设函数，是以2为周期的奇函数，且在上，画出的图象并求其解析式.解：13.是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为

12、 _ -1014. 函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数，又知yf(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.(1)证明：f(1)f(4)0；(2)求yf(x)，x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式解：（2）（3）15. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求的值. 16. 定义在R上的奇函数满足，若当时，则当时，则的解析式为_ 17. 已知函数在区间上的表达式为，若对于任意，且，则. 18. 函数，对任意都有成立，则的最小值为_. 219. 求函数的最大值和最小值.研究周期：，故可只考虑函数在

13、上的情形.最小值为1，最大值为七、三角函数的图象与性质1. 已知函数，若对一切实数恒成立，则实数的取值范围是_. 2. 函数，则的取值范围是_变：使成立的角x的范围是_3. 已知函数图像与直线的交点中距离最近的两点间的距离为则 24. 对于函数给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线成轴对称；图象可由函数的图象向左平移个单位得到；图象向左平移个单位，即得到函数的图象。其中正确结论是_5. 函数在上为增函数，且在这个区间上的最大值为则正数值为_ 6. 已知为正实数，在上为增函数，则的取值范围为_变式1：已知函数在区间上的最小值为-3，则的最小值等于_. 2变式2：已知函数在区间上的最小

14、值为，则的最大值等于_. 1变式3：已知函数在区间上的最小值为-2，则的最大值等于_. -27. 函数与函数y=2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_8. 设x0，若关于x的方程有两解，则a的取值范围是_9. 关于函数，有下列命题：（1） 由，得必是的整数倍；（2） y=f(x)的表达式可改写成；（3） y=f(x)的图象关于点对称；（4） y=f(x)的图象关于直线对称其中正确命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号都填上）10. 已知函数,若，且在区间内有最大值，无最小值，则 11. 已知函数在时取得最大值，在同一周期中，在时取得最小值.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单

15、调增区间；（3）若，求的值.解：（1）依题意，；-1分， ，；-4分将代入，得，.-6分（2）由，-9分即函数的单调增区间为，.-10分（2） 由，-13分，或，或.-15分12. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 。13. 若，并且关于的方程有两个不等实根，则值为 14. （2009全国卷理）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 15. (2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于 16. 函数（，是常数，）的部分图象如图所示，的值是 _17. 函数）的图像如图所示，则18. 将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所

16、得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，则的解析式为 _ 19. 要得到函数的图象，只需把函数的图象向_ _平移_ _个单位；20. 将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量21. （2009全国卷理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 变式：（2011全国卷）设函数，将的图象向右平移个单位长度后，与原图象重合，则的最小值为 ；若所得图象与原图象关于轴对称，则的最小值为 ；若所得图象为偶函数，则的最小值为 22. 的递减区间是_；的递减区间是_23. ，函数在上

17、单调递减, 的取值范围是_24. 若关于的方程满足，则方程有两个不同实数解的的取值范围是_25. 有一种波，其波形为函数的图象，若在区间上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数的最小值为_26. 已知函数和的图象的对称轴完全相同，则 的值是 27. 函数（其中，）的图象如图所示，若点A是函数的图象与x轴的交点，点B、D分别是函数的图象的最高点和最低点，点C是点B在x轴上的射影，则= 28. 函数的部分图象如右图所示，则 29. 函数在内是减函数，那么的取值范围是_ 30. 函数的对称轴方程是_31. 已知函数在区间内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则的取值范围是_32. 定义在上的

18、函数的图象与的图象的交点为，则点到轴的距离为_. 33. 求下列函数的定义域：（1）；（2）（3）；（4）（5）；（6）；（7）； （8）（9） ；（10）34. 画出下列函数的图象，并根据图象判断函数的周期性（1）；（2）；（3）；（4）（写出单调区间）；（5）（单调递增区间）35. 判断下列函数的奇偶性：（1）（2）36. 函数的值域为_37. （1）比较与的大小；（2）在锐角三角形中，比较与的大小关系；38. 求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）39. 已知函数（1）作出函数的图象；（2）由函数的图象求出的最小正周期、值域和单调递增区间.40. 已知函数在区间上单调递增，则实数

19、的取值范围是_41. 给定性质：a最小正周期为；b图象关于直线x对称则下列四个函数中，同时具有性质ab的是_ysin() ysin(2x) ysin|x| ysin(2x)42. 已知a是实数，则函数f(x)1asinax的图象不可能是_443. 如图是函数f(x)Asin(x)(A0，0，0，0，|0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cosx的图象，只要将yf(x)的图象_解析：f(x)sin(x)(xR，0)的最小正周期为，故2.又f(x)sin(2x)g(x)sin2(x)sin(2x)cos2x. 答案：向左平移个单位长度47. 已知函数f(x)Acos(x) 的图象如图所示，f(

20、)，则f(0)_.解析：，3.又(，0)是函数的一个上升段的零点，32k(kZ)，得2k，kZ，代入f()，得A，f(0). 答案：48. 当0x1时，不等式sinkx恒成立，则实数k的取值范围是_解析：当0x1时，ysin的图象如图所示，ykx的图象在0,1之间的部分应位于此图象下方，当k0时，ykx在0,1上的图象恒在x轴下方，原不等式成立当k0，kxsin时，在x0,1上恒成立，k1即可故k1时，x0,1上恒有sinkx.答案：k149. 已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0)的周期为，且图象上一个最低点为M(，2)(1)求f(x)的解析式；(2)当x0，时，求f(x)

21、的最值解：(1)由最低点为M(，2)得 A2.由T得2.由点M(，2)在图象上得2sin()2，即sin()1，2k(kZ)，即2k，kZ.又(0，)，f(x)2sin(2x)(2)x0，2x，当2x，即x0时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值.50. 方程的解的个数为_. 751. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_. 52. 已知，求的最值 最大值为；最小值为53. O y21 -2 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）设，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和.54. 已

22、知函数的图象在轴右侧的第一个最高点（函数取最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的对称轴方程.55. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为_. 56. 试用五点法作出函数的图象，并说明这个函数的图象可以由图象如何变换得到？57. 已知函数（1）这个函数是否为周期函数？为什么？（2）求它的单调增区间和最大值.58. 已知函数的定义域为，值域为，则实数59. 矩形中，轴，矩形恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为 .60. 函数是R上的偶函数，图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则函数的解

23、析式为变式：函数是R上的偶函数，图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则函数的解析式为或62. 函数与的图象在上的交点个数为_. 363. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_. 64. 函数的最小正周期为_.变式：函数的最小正周期为_.65. 已知点,是函数 图象上的任意两点,且角的终边经过点,若时,的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 解：解：（1）角的终边经过点， ，. 由时,的最小值为，得，即， (2）,即,函数的单调递增区间为 (3 ) 当时, 于是,等价于 ，由, 得的最大值为 所以，实数的取值范围是66.

24、若函数（）的图象关于直线对称，则 = 67. 函数y =的图象可由函数y = sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的现给出下列四个变换：A. 图象上所有点向右平移个单位；B. 图象上所有点向右平移个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： _ .（只要填写一组）BD（DA） 68. 已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 69. 定义运算，则函数的值域为_. 70. 函数（）的单调递增区

25、间为_. 71. 已知函数f(x)sin(2x+)，R，若f(x)|f()|对xR恒成立，且f()f()，则f(x)的单调递减区间是 . k，k，kZ；72. 将函数的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像 七、三角函数的应用1已知泰州某浴场的水高度是时间的函数，记作下表是某日各时的浪高数据：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，的曲线可近似的看成是函数（1） 根据以上数据，求出函数的最小正周期,振幅及函数表达式；（2）依据规定，当高度高于时，才对游泳爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8时至晚上20

26、时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？2. 如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右O方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则该物体5s时刻的位移为 cm 答案：1.53. （3）求证：不论为何值，是定值.4. 一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3 s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间。(1) 试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；(2) 点P第一次到达最高点大约要多长时间？(3) 记f（t）=h，求证：不论t为何值，f (t) +

27、 f (t + 1) + f (t + 2)是定值PP0O215. 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间（秒）内离开平衡位置（就是静止时的位置）的距离由函数关系决定.（1）求小球开始振动时的位置；（2）求小球上升到最高点和下降到最低点的位置；（3）经过多少时间，小球往返一次？（4）每秒钟内小球往返多少次？八、三角恒等变换（一）三角函数的图象问题1. 将函数的图象沿轴平移个单位，可得函数的图象，其中的所有取值中，绝对值最小的是_. 2. 已知函数，其中，.（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式，并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单

28、位后所对应的函数是偶函数.解：（1）；（2）3. 已知函数，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.（1）求；（2）若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间.4. 已知函数，（其中）的周期为，且图像上有一个最低点为（1）求的解析式；（2）求函数的最大值及对应的值 5. 已知函数在区间上是单调函数，则正整数的值为_. 1或2或3.6. 若函数与函数的图象的对称轴相同，则实数的值为 . （二）化简求值问题1. 已知，则= 0 2. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为_. -13. 已知，则= -74. 已知向量

29、，(1) 若，求的值； (2) 若，求的值（1）由可知，所以，2分所以 6分（2）由可得，即， 10分又，且 ，由可解得，12分所以 14分5. 已知函数（）的最大值为2，则实数的值为_. 或6.（2011四川）已知函数（1）求的最小正周期和最小值；（2）已知，求证：7. 求下列函数的值域：（1）（为锐角）；（2）（反控法）（3） 8. 已知函数，直线（）与函数的图象分别交于两点.（1）当时，求的值；1/2（2）求在时的最大值. 19. 设函数，其中向量，（1）求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；（2）当时，的最大值为4，求的值. 110.（2011天津卷）已知函数（1）求的定义域与最小正

30、周期；（2）设，若求的大小（1）解：由，得.所以的定义域为，的最小正周期为 （2）解：由得整理得因为，所以因此由，得.所以11. 已知向量（1）当时，若，求的值；（2）定义函数，求的最小正周期及最大值.12. 已知（1）求的最小正周期；（2）若在上的最大值与最小值之和为3，求实数的值. 013. 已知定义在上的函数，的最小正周期为.（1）求的值；（2）试探究和满足什么关系时，能使得对一切恒成立.14. 已知函数.（1）当时，求函数在上的取值范围；（2）当时，求实数的值. -215. 计算 的值等于 16. 已知函数的定义域是，值域是，则的值分别为_ 17. 求函数的值域. 三角换元 18. （

31、2010浙大自主招生）若，则19. 已知则. 20. 求证：.21. 训练1：角的拆分（1）已知角,的正余弦值，如何求的三角函数值？（2）已知角,的正余弦值，如何求的三角函数值？（3）已知角,的正余弦值，如何求的三角函数值？训练2：角范围的求解（1）已知，求的范围；（2）已知，求的范围；（3），求的范围. 22. （1）能成立吗？恒成立吗？为什么？（反例思想）（2）当均为锐角时，判断与的大小关系，并说明理由. 23. 如图，在中，为直角，于点，设.（1）若，试求的各边之长，由此推出的三角函数值；（2）设，（均为锐角），试由图推出的公式. 24. 函数的最大值为_，最小值为_.25. （1）能成

32、立吗？恒成立吗？为什么？（反例思想）（2）当均为锐角时，判断与的大小关系，并说明理由. 26. 已知，则27. 已知，且，求的值. 28. 在中，已知，试求的值. 29. 已知均为锐角，且.（1）；（2） 30. 已知向量（1）若，试求锐角的值；（2）若，且，求的值. （）和、差、倍角的三角函数的习题课（1）一、基础训练1. _；_.2. 化简：3. 4. 下列各式中，值为的是_. 5. 化简：6. 若则角的值为_. 注：可利用两角互余优化7. 已知均为锐角，且，则18. 化简：1二、例题精讲：例1：化简：讲评：（1）分子是一个完全平方公式；（2）弦切互化；（3）角的拼凑与划分，整体关系；（4

33、）化繁为简是数学的一贯追求.例2：化简： 讲评：抓住同构思想法一：从角入手，出现角为与，将二倍角转化为与的三角函数；法二：从名入手，只出现正弦或余弦；法三：从形入手，平方结构；法四：从幂入手，降次扩角；例3：（1）若，求证：；（2）已知均为锐角，且满足，求证：.解：（2），两式相除注：重视对式子结构的特征分析，从结构统一角度探寻思维方向，目标导向作用很关键.（1）注意到目标式的右端只有角，故将角消去；（2）求角或者证明角的等式，一般先求出这个角的某个三角函数值，再根据角的范围确定角的大小，或证明两个角的同名三角函数相等，且两个角在此三角函数的同一个单值区间上.例4：证明：注：对恒等式的证明，应

34、遵循化繁为简的原则，常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的代换、公式变形等手段.变式：证明：注：注意到目标式的右端只有角，故将角消去三、巩固练习1. 函数的最小正周期是_.2. 设，则的大小关系为_.3. 化简：的结果是_. 4. 化简：_. 要点回顾：（1）重视变角的常用方法：目标角用条件角、特殊角表示，还可以将条件角用目标角表示；（2）三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同名函数、同角函数、同次函数等，其中切函数化为弦函数也是同化思想的体现；（3）常用代换也是值得注意的解题策略，如1的代换，又如将用或表示等；（4）降次是一种三角变换的常用技巧，要熟练掌握降次公式，并灵活运用；（5）

35、三角恒等变换，特别是三角等式的证明问题，要重视对式子的结构特征的分析，从结构统一的角度探寻思维方向，目标导向作用很关键.自我测试：1. 求值：22. 化简：. 3. 化简：4. 函数的奇偶性为_. 奇函数5. 函数的最小正周期为_. 6. 求值：7. 证明：.8. 证明下列式子：（1）；（2）.9. 求证：的值与无关.10. 已知，其中均不为，求证：.11. 已知（均为锐角），求证：.12. 求证：=.13. 切比雪夫多项式的系列研究由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，可见可以表示为的三次多项式. 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. Tscheb

36、yscheff）多项式.（1）求证：；（2）利用结论：，求出的值（）（3）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示；（4）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示；（5）请尝试解决下列问题：（08江苏高考14）对于总有成立，则= .解：由的切比雪夫多项式，作代数变形可得，由对任意恒成立，对任意恒成立，作代数换元，原不等式就等价于对任意恒成立，即为试题考查的结论.（2010江苏高考附加题23）已知ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数.第（1）问在利用余弦定理的基础上结合有理数集对除法运算的封闭性易证得；对于第（2）问的解答，参考答案给出了同步数学归纳法，同时归纳和的有理性，看完参考解答会觉得解法确实有道理，但是从学生思维的发生认识来看，本题所用的同步数学归纳法虽属数学归纳法的一种，但思路学生难以获得.为此，笔者在本例的第（2）问的教学中做了如下设计：思考