高中数学第一章集合.pdf-得力文库

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1、高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：w.w.w,k.s.S,u,c.o.m（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义：了解属于、包含、相等关系的意义：掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.01.集合与简易逻辑知深要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1 .基本概念：集合、元素

2、；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2 .集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为NqN；空集是任何集合的子集，记为。=4：空集是任何非空集合的真子集；如果月a8,同时3a4,那么A =8.如果4 =8,Bc C,那么Z =注:Z=整数（V ）Z=全体整数（X ）已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（X ）（例：S=N；A=N+,则 QA=0 ）空集的补集是全集.若集合人=集合8,则 CB4=0,蒯=0 G（%）=。（注：%=0）.3.（x,y）|xy=O,xGR,yGR坐标轴上

3、的点集.（x,y）|xyO,xGR,yR 二、四象限的点集.1（x,y）|xy0,xCR,yGR 一、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.例：+3=3 解的集合（2,1）.2x-3y=1点集与数集的交集是。.（例：A=（x,y）|y=x+l B=y|y=x2+1）则 A C 8=0）4.n个元素的子集有2n个.n个元素的真子集有2-1个.n个元素的非空真子集有2 -2个.5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题=逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题O 逆否命题.例：若a+6 w 5,则a*2或，+3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3,则a+b=5,成立，所

4、以此命题为真.x丰1且夕丰2,x+”3.解：逆否：x+y=3 A x=l 或 y=2./.x+1 jiy 2 x+y#3,故x+y 4 3是XH 1且y*2的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若 x 5,=x 5或x Y 2.4.集合运算：交、并、补.交：/口8 o x|x e且x e 8并：/U 8 =x|x e 4或xe 团补：Q J x U,SLX i A5.主要性质和运算律（1）包含关系：A c 4=A,A=U,Q A c U,（2）等价关系：/=8 =Z n 8 =Z=/U 8 =8=G/U B =U（3）集合的运算律：交换律：n 8=8 n

5、4U 8=8 U 4结合律：（n 8）n c=N n（8 n c）；（N U 8）u c=/u（8 U c）分配律：.j n（5 u c）=（j n s）u（n c）；j u（s n c）=u u 5）n（u c）o-i律：口八，UN=4 u n/=4 U U/=u等幕律：/n/=4/UN=4求补律：A n 屈=A U i A=U u U=6 u 4 =U l：U(i A)=A反演律：u(A D B)=(u A)U(田)u(A U B)=(u A)C(6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为c a r d(A)规定 c a r d()=0.基本公式：U8)=c

6、ard(A)+card(5)-card(A 5)(T)cardA U 8 U C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A P|5)-card(B DC)-cardC D A)+card(ACBCC)(3)c a r d(LA)=c a r d (U)-c a r d (A)（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）将不等式化为a o（x-xi）（x-xz）（x-x.）0（0）形式，并将各因式x 的系数化“+”；（为了统一方便）w.w.w.k,s.S.u.c.o.m求根，并在数轴上表示出来：由右上方穿线，经过数轴上表示各根

7、的点（为什么？）;若不等式（x 的系数化“+”后）是“0”，则找“线”在x轴上方的区间：若不等式是“0”，则找“线”在 x 轴下方的区间.+X12 X3m-2 x；+XXm（自右向左正负相间）则不等式“o x +a”0（0）的解可以根据各区间的符号确定.特例一元一次不等式a x b 解的讨论；一元二次不等式a x;i+b o x 0 （a 0）解的讨论.A 0 =0A0二次函数y-ax2+bx+c(0 )的图象1一元二次方程 Lu.ax2+c =0（a0的根有两相异实根玉/2（王 0（。0）的解集卜,X X w-b-2aRax2+6 x+c o）的解集卜昆 x 0(或1 0 O /

8、(x)g(x)0；皿2 0 =(/依糜 g(x)g(x)町 H U3 .含绝对值不等式的解法(1)公式法：麻+耳 c(c 0)型的不等式的解法.(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4 .一元二次方程根的分布一元二次方程 a x2+b x+c=0 (a 六0)(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.(三)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑

9、联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：P或 q(记作“p V q”)；p且 q(记作“p A q”);非 p(记作“1 q”)。3、“或”、“且”、“非”的真值判断(1)“非 P”形式复合命题的真假与F的真假相反；(2)“p且 q”形式复合命题当P与 q同为真时为真，其他情况时为假；(3)“p 或 q”形式复合命题当p 与 q同为假时为假，其他情况时为真.4、四种命题的形式：原命题：若 P则 q；逆命题：若 q则 P；否命题：若1 P则q；逆否命题：若1 q贝卜|P。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2

10、)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命原命题互逆逆命题题；者P 则q互为、*否逆若q 则p(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命互互题是逆否命题.否为逆否否5、四种命题之间的相互关系：否命题若 P 则i q互逆否命题一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：互逆若i q 则IP（原命题O 逆否命题）、原命题为真,、原命题为真,、原命题为真,它的逆命题不一定为真。它的否命题不一定为真。它的逆否命题一定为真。6、如果已知pn q那么我们说，p是 q的充分条件，q是 p的必要条件。若 p=q 且 q=p,则称P是 q的充要条件，记为p O q.7、反证法：从命题结论的

11、反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。“由高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数塞的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念.（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.（4）理解分数指数幕的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.（

12、5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质.（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.02.函数知识要点-、本章知识网络结构：-定义-F:A|.反函数映身立厂一舟殳研究国I像性屋具体函数指数数函数-对数一对致函数二、知识回顾：（-）映射与函数1 .映射与一一映射2 .函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y =/(x)(x e A)的值域是C

13、,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=0(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=*(y)(ywc)叫做函数歹=/(x)(x e/)的反函数，记作x =/T(y),习惯上改写成(二)函数的性质1 .函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X i,X z若当X 1 X 2时，都有f(X i)f(X)则说f(X)在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y才(X)在这一区间具有(严格的)单调

14、性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数f(X)的定义域内任意一个X,都有M-x)=f(x),那么函数f(X)就叫做偶函数./(X)是偶函数 o /(7)=/(A)O/(-.X)-/(.、)=0 o 纸=l(/(.x)*0)奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有K-X)hf(x),那么函数f(x)就叫做奇函数./(X)是奇函数 o /(r)=-/(.t)O/(T)+/(.t)=0 O骁=-l(/(.t)*0)/(V)正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问

15、题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数/(X)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；(2)/(-x)=/(x)或/(-X)=-/(x)是定义域上的恒等式。2 .奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于，轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反.4 .如果/(x)是偶函数，则

16、x)=/(|x|),反之亦成立。若奇函数在 x=0时有意义，则 0)=0。7 .奇函数，偶函数：偶函数：/(T)=/(X)设(a,6)为偶函数上一点，则(-a,6 )也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于V 轴对称，例如：=苫2+1 在口厂1)上不是偶函数.满足T)=/(X),或/(T)-/(X)=O,若 f(X)W 0 时,工2=1./(-X)奇函数:/(-x)=-/W设(a,b)为奇函数上一点，贝 I(-a-b )也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：卜=/在 1,-1)上不是奇函数.满足-x)=-x

17、),或/(-x)+/(x)=0,若”x)*0 时，空 =7./(-x)8 .对称变换：y=/(x)轴对称 y =/(_x)y=/(x)词对称 y =-/(x)y =f (x)原点对称 y =-/(-X)9 .判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：/(x 1)-/(X 2)=J xj+启-&+庐=(：J x1 +b+收 +b2在进行讨论.1 0 .外层函数的定义域是内层函数的值域.X例如：已知函数/(x)=1+的定义域为A,函数用(x)的定义域是B,则集合A与集1 -X合 B 之1 艇关系是.解：/(X)的值域是/(/(x)的定义域8 ,/(x)的值域e

18、R,故而A =X|XH1 ,故 B n/.1 1 .常用变换：f(x+y)=o/(x-y)=娱f(y)证：小一加卷h小)+回=s w/(-)=/(x)-f(y)。f(x-y)=f(x)+f(y)y证：fW =f(-y)=A-)+fMy y1 2.熟悉常用函数图象：例：y =2 W f|x|关于y轴对称.指数函数V=优(a 0且a w 1)的图象和性质图yzy=l o gax _-*象O性质（1）定义域：（0,+8）(2)值域:R（3）过点（1,0）,即当 x=l 时，y=0(4)X (0,1)时歹 0 x(O,l)时 y 0X G(l,+8)时 0,N 0,a0,a*l,b 0,b

19、*l,c 0,c l,a1,a2.an AO且 H l)注:当 Y O 时,l o g(a-b)=l o g(-a)4-l o g(-/?).(2)：当MMO时，取“+”，当是偶数时且MYO时，”AO,而MYO,故取“一”.例如：l o g 。2 1 0 g M T(2 1 0 g X 中 X 0 而 l o gf/J2 中 X R).(2)y =ax()与y =l o g。x 互为反函数.当心1时，k k)g“x的值越大，越靠近x轴；当0 Y O Y 1时，贝I J相反.(四)方法总结(1).相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：log(M Af)=log/M =-lo

20、ga Mn换底公式：kg“N=_!alogfe a推论：loga b-logj,c-log(.a=1=lg“,为 Jogs%log”,”%=1%(以上 M 0,N 0,a A 0,a*l,bA 0,b/1,:*0,0且*1)注：当”,6Y0 时，l o g(-b)=l o g(-)+l o g(-f e).：当时，取“+”，当是偶数时且MYO时，W,0,而A/YO,故取“一”.例如：l o g,#?*Z l o g q X T(2 1 o g“X 中 X 0 而 l o g 工？中 X G R).(2)y =ax(a 0,a x l)与 y =l o g“x 互为反函数.当al时，y =l

21、o g。x的a值越大，越靠近x轴；当OYO Y 1时，则相反.(2).函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;零指数哥的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法”；反函数法；换元法；不等式法：函数的单调性法.(6).单调性的判定法:设X 1,X 2是所研究区间内任两个自变量，且X V x 2 ;

22、判定f(X 1)与f(X 2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(X)之间的关系:f (-X)=f (x)为偶函数;f(-x)=-f(X)为奇函数；f(-x)-f(x)=o 为偶；f(x)+f(-x)=o为奇；f (-x)/f (x)=l是偶；f (x):f (-X)=T为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学第三章数列考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和

23、公式.考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题.03.数列知识要点等差数列等比数列定义册+1也 L=q(q 丰 0)Qn递推公式an=a_1+d；an=am_+m dan =an-Q；通项公式an=ax+(-l)da n =a、q(t 7 ,qw 0)中项J _ an-k +an+k2G =J a“_*a“+*(a,_ka

24、n+k A 0)(n,k G N*,A%A 0)(n,k G N*,A%A 0)前项和S=y(i+。)crw(w-l)S=n a+2 d町(q=l)S=4 2)q I重要性质+an=4p+%(7w,，p,g wN*,m+n=p+q)a dn=ap q(m E,p,q w N*,m+n=p+q)1.等差、等比数列:等差数列等比数列定义册为A P =an+l-an=d(常数)%为G-P o2=式常数)an通项公式Q=Q+(n-l)d=4 +(nk)d=d+Q-d一一1 n k%=/q =akq求和公式(4+册),(-1),sn=-=nax+-a2 2=犷+(%一多S=叫(q=1)=%一 a

25、“q 丰 j、i-q i-q /中项公式a+b.n.A=2 推J ：2%=G?=b。推广：a 2=a_m x a+m1王质1若 m+n=p+q 贝I am+an=ap+aq若 m+n=p+q,则 aman=a。4。2若代成A.P（其中3e N）则%也为A.Po若尤成等比数列（其中左,等）,贝收如“成等比数列。3-S,s2-Sn,s3n-s2n 成等差数列。S”，$2 _ S，$3“S2n 成等比数列。4a 47i a ad=一L(m 丰 W)n-m-n步=2 ,aa.n(？w )5看数列是不是等差数列有以下三种方法:=或22,1为常数）2“=勺+1 +.1（2）an=k n +

26、b（，左为常数）.看数列是不是等比数列有以下四种方法:4=。_|式2 2 国为常数,且4 0）4 =an+i an_x（n 2,aan+ia_x 片0 尸注：i.6=疝，是。、b、c 成等比的双非条件，即6=疝=。、b、c 等比数列.i i.b=y ac（a c 0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要.i i i.b =J i-为a、b、c 等比数列的必要不充分.i v.8=且 a c a 0 为a、b、c 等比数列的充要.注意：任意两数a、c 不一定有等比中项，除非有a c 0,则等比中项一定有两个.%=c g（c,g 为非零常数）.正数列 ,成等比的充要条件是数列 lo g*%,（X

27、M 1）成等比数列.数列。“的前项和S”与通项an的关系：an=%（=1）S“-S“T（”2 2）注:a,=%+（-/=+（a）可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）一若d不为0,则是等差数列充分条件）.等差 a”前n 项和S“=i M+B”=-*y 可以为零也可不为零为等差的充要条件f若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.寺零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k 2 倍Sk,$2*-S*，邑及-S 2k

28、-；若等差数列的项数为2 （WN+）,则S 偶 =2,；S 偶若等差数列的项数为则且S 奇-S 偶=。“，8.=_S 偶 w 1n 代入”到2 -1 得到所求项数.3.常用公式：1+2+3 .+=凶上I2+2 2+3 2+2=而+1 1 2 1）6/+2 3+3 3 3=肉由注:熟悉常用通项：9,99,999,.=a =1 0z,-l；5,5 5,5 5 5,=1(1 0z,-1).4.等比数列的前项和公式的常见应用题:生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为。，年增长率为广，则每年的产量成等比数列，公比为1+r.其中第年产量为“(l+r)i,且过年后总产量为：a+a(l+r)

29、+a(l +r)2+.+a(l+r)/,|=1-()银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存。元，利息为r,每月利息按复利计算，则每月的。元过”个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：a(l +r)12+2(l +r)+7(1 +r)10+/(+a(l+r)1=xQ+)-=x=二 +，)r(l +r)m-l5.数列常见的几种形式：。“+2=P%+i+g。(p、q为二阶常数)f 用特证根方法求解.具体步骤:写出特征方程*2=px +q(X2对应。“+2，x对应。川),并设二根片,与若X产巧可设 a”.=CX：+C 2 X；,若 X=X2 可设 a”=G+C 2 )X；由

30、初始值的,。2 确定。1，。2 册=(P、r为常数)一用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n转化为a“+2=P a”+i+g a ”的形式，再用特征根方法求a”；a n=ci+c2Pn (公式法)，与心由%,。2确定.转化等差，等比：a+l+x =P(a+x)=an+1=Pan+Px-x x =.p 选代法：a=Pan_+r=P(Pa_2+r)+r=(a+一)P T -=(a,+x)PT-xp p =Pn-ai+P-2-r+-+Pr+r.Z J-P Q+尸用特征方程求解：+-a=Pan-Pa_l=a+l=(.P+l)an-Pan_l.由选代法推导结果：/=一，C 2=%+一，an=c

31、2P,-+c=(al+)P-+.-P P-1 P-1-P6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前项和为S,，在4YO时，有最大值.如何确定使S“取最大值时的值，有两种方法：一是求使。”2 0,4+1 Y0,成立的值；二是由s“=:2 +(%-?)利用二次函数的性质求”的值.如果数列可以看作是个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：2 4 2两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差小，4 的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：定义法:对

32、于n 2的任意自然数,验证a-an 1(马-)为同一常数。通项公式法。中项公式法：验证an-i2 4+1 =%+(片+i =%/+2)e N 都成立。a 03.在等差数列%中，有关S n 的最值问题：当卬0,d 0 时，满足4 的项数mI 初 0使得%取最大值.(2)当 0 时，满足 afn 0的项数m使得s,取最小值。在解含绝回+1 2 0对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。(三)、数列求和的常用方法1 .公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。“、2 .裂项相消法:适用于一其中是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分aa

33、n+.无理数列、含阶乘的数列等。3 .错位相减法:适用于%,其中 4 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4 .倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5 .常用结论.n(n+1)1):1+2+3+.,+n=-22)l+3+5+.+(2 n-l)=w23)I3+23+-+W3=+4)I2+22+32+-+M2=-(+1)(2 +1)6、1 1 1 1 1/1、伽+1)n +1 (+2)2 n +26)=-(-)(P q)pq q-p p q高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.

34、两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin（3x+）的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义.（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（5）

35、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（3x+4）的简图，理解A.3、。的物理意义.（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示.（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.（8）“同角三角函数基本关系式：sin2 a+cos2 a=1,sin。/cosa=tan a,tan a cos a=1”.04.三角函数知识要点1.与a（0*a V 360。）终边相同的角的集合（角a与角6的终边重合）：/3J3=kx360+a,k&z终边在x轴上的角的集合：

36、加R =1 8 0,A e z 终边在y轴上的角的集合：物|=%xl80+90,%wz终边在坐标轴上的角的集合：pp=k ,k e z 终边在y=x轴上的角的集合：物|180+45,%e z终边在尸-x轴上的角的集合：物|=1 8 0。-45。,丘2SINCOS三角函数值大小关系图I、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域若角a与角的终边关于x轴对称，则角a与角夕的关系：a=3 6 0 7-若角a与角夕的终边关于y轴对称，则角a与角夕的关系：a=360+180若角a与角夕的终边在一条直线匕则角a与角的关系：a=180。%+4角a与角P的终边互相垂直，则角a与角（3的关系：a=360%

37、+/?902.角度与弧度的互换关系：360=27 180=乃 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：lrad=l 257.30=57 1 8.711=n=0.01745(rad)1803、弧长公式：/=|二”.1 1 ，扇形面积公式：s扇形=/r=4、三角函数：设a是一个任意角，在。的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r,Y,y,x.cosa=tan a cot a=;r x y5、三角函数在各象限的符号：（-全二正弦,正切、余切6、三角函数线正弦线：MP;余弦线:0M:正切线:s

38、ec a =7.三角函数的定义域:cos a三角函数定义域f(x)=sinxx 1 x e Rf (x)=cosxx I X 7?)/(x)=tanxI X G RUx k7r+7T,k G z jf(x)=cotxx|x e H且x w k i,k eZf(x)=secxI X G 火且X W 2汗+z f(x)=esexx|x G RJlx*k i,k eZ-=cot asin a8、同角三角函数的基本关系式：皿=tanacos ata n a c o ta =1 cscasina=1 secacosa=1sin2 a +cos2 a-1 sec2 a-ta n2 a=1 esc2 a

39、-cot2 a=19、诱导公式:把铮渝三角函数化为颉三角函数，概括为:“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组一sinx-cscx=lsin xtanx=-cosxsin2x+cos2x=1cosx secx=lcosxcotx=sinx1 +tan2 x=sec2xtanx cotr=l公式组四sin(+x)=-sin xcos(乃+x)=-cosxtan(+x)=tan xcot(乃 +x)=cot x1 +cot2x=csc2x公式组五sin(2-x)=-sin xcos(2-x)=cosxtan(2 -x)=-tan xcot(2-x)=-cot x公式组二s

40、in(2Avr+x)=sin xcos(2+x)=cosxtan(2 左乃 +x)=tan xcot(2 左左 +x)=cot x公式组六sin(-x)=sin xcos(万-x)=tan(万一 x)=-cosx-tan xcot(-x)=-cot x公式组三sin(-x)=-sin xcos(-x)=cos xtan(-x)=-tan xcot(-x)=-cot x（二）角与角之间的互换公式组一cos（a +/?）=cos a cos 夕一 sin a sin p公式组二sin 2a=2 sin a cos acos-p)=cos a cos 夕 +sin a sin pcos2a=

41、cos2 ar-sin2 a=2cos2 cif-1=1 -2 sin2 asin(a+夕)=sin a cos p +cos a sin p-2 tan atan la -1 -tan2 asin(a 一 1)=sin a cos p -cos a sin p1-cos a2/c、tan a +tan Qtan(a+,)=-1 -tan a tan 3cos=.21 +cosa2/c、tan a -tantan(a-J3)=-1+tan a tan atan =.21-cosa sina 1-cosa1 +cosa 1 +cos a公式组三)a2tan sin a =-,?a1 +tan-2

42、,?a1 -tan cos a=-1 ，2 aI+tan2公式组甲sin a cos 夕=sin(6f+/7)+sin(。一夕)cos sin p =；sin(a+/?)-sin(a-yff)cos a cos =；卜os(a+4)+cos(a-77)sin a sin f=-cos(a+/?)-cos(a-/?)sin a +sin/=2 sin 十 cos 2 2sin a公式组五tan a=c a2 tan2,2al-ta n-2sin a-s in f=2coscos a +cos p -2 cosa+.a-B-sin-2 2a+a-B-c o s-22cos a-c o s f3=

43、-2 sina+J3.a-B-s in.-22A、CQS(7T-a)=sm a.A、sin(5 万一 a)=cosaA、tan(5 -a)=co ta/、cos(-r+a)=一 sm aJ 、tan(7r+a)=-c o t a.A、s in(乃+a)=cosaSinl5=coS75=L s i n 7 5 =cosl5=2 1 ztanl5=cot75=2-7 3,tan 75=cotl5-=2+6441 0,正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y =si n xy=c o s xy =t an xy -c o t xy=%s in（如+e）（A、口 0）定义域RRx|x G Kfl

44、jt*k兀 +；冗,k e z x|x G火且x.k兀,k e ZR值域-1,+1 -1.+1 RR-44周期性2乃2%71TV2万co奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当S w0,非奇非偶当e=0,奇函数单调性一万+2%，7 1 -,七+2k 7r上为增函数；+1k 7r,3万 I+2 左;r h为减函数（左EZ）-1兄.2 A x 上为增函数 2腕（2左+1加上为减函数（k e Z ）卜“纱）上为增函数（左 Z ）（无不,（A+1%）上为减函数（A e Z ）l k 7T -（p-，（O2k兀+上兀一（p-（-4）（D卜.为增函数：一2左）+一一万一 0山上

45、为减函数（%w Z ）注意：y =-s in x与y =s in x的单调性正好相反；y=-c o s x与y =co sx的单调性也同样相反.一般地，若y =/（x）在口向上递增（减），则=-/（）在口向上递减（增）.、=而吊与y =|c o s N的周期是开.2乃、=5由（如+9）或1=c o s（o ir +9）（0/0）的周期T =.网歹=t an土的周期为2乃（T=T=2兀,如图，翻折无效）.2I d、=s in（g+p）的对称轴方程是工=左乃+1（Z r e Z ）,对称中心（左肛0）；y =c o s 3 v +p）的对称轴方程是x =%乃（k w Z）,对称中心（左乃

46、+1肛o ）;歹=t an（w+夕）的对称中心（）*y =c o s 2 x 蜗匚 y =-c o s（-2 x）=-c o s2x当 t an a t an /7 =1,a+=左;r +（%e Z）；t an a-t an/?=-1,a-（3=+%（k e Z）.y =c o s x与y =s in（x +2女乃）是同一函数，而歹=（皈+9）是偶函数，则y =（co x +（p）=s in（6 zr +k zr+-7r）=c o s（f t i Y）函数y =t an x在R上为增函数.（x）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y =t an x为增函数，同样也是错误的.定义域关于

47、原点对称是x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：/（-x）=/（x）奇函数：/（-%）=-/（x）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：_ y =t an x是奇函数，y =t an（x +7）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若0 ex的定义域，则/（x）一定有/（o）=o.（Oe x的定义域，则无此性质）y =s in|x|不是周期函数；y =b in x|为周期函数（7=）;y =c o弼是周期函数（如图）；y =|c o s x|为周期函数（T=）;图象yc o s 2 x +1的周期为左（如图）

48、，并非所有周期函数都有最小正周期，例如:2y =f(x)=5=f(x +k),k eR.y =a c o s a+b s in /?=-J a2+b2 s in(a+(p)+c o s(p 有 y l a2+b2|y|.I K三角函数图象的作法：1）、几何法：2）、描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=A s in （3x+。）的振幅.A|,周期,=空，频率/-=_!=!，相位6 Z X +9；初相9co T In（即当x=0时的相位）.（当A 0,3 0时以上

50、函数y=s i n x,0 工口）的反函数叫做反正弦函数，记作y=arc s in x,它的定义域是-1,1 ,值域是卜2,三 .函数y=c o s x,（x 0,）的反应函数叫做反余弦函数，记作y=a r c c o s x,它的定义域是-1,1 ,值域是 0,汨.函数y=t an x,1J的反函数叫做反正切函数，记作y=arc t an x,它的定义域是（一8,+8）,值域是卜工工）函数y=c t gx,x（0,万）的反函数叫做反余切函数，记作y=ar c c t gx,它的定义域是（一8,4-c o）,值域是（0,冗）.I I.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函

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