高中数学第一章集合与函数课件.ppt

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1、2022年4月13日星期三1制作：包头市第十五中学 牵 手2022年4月13日星期三2知识网络集合映射方程子集、空集、全集交集、并集、补集反函数函数基本函数图象性质不等式y取定值y0y02022年4月13日星期三31.1集合的概念1、集合的概念：(1)把一些确定的对象看成一个整体，就形成一个集合。集合里的各个对象叫做集合的元素，元素与集合的关系用或表示。(2)集合分为：有限集、无限集、空集。(3)集合的三大特性：确定性、互异性、无序性。(4)集合可用列举法、描述法、图示法表示。(5)注意N、Z、Q、Q+、R、R+等所表示的数集。2022年4月13日星期三42、集合之间的关系(1)子集：若xA，

2、则 xB，集合A叫做集合B的子集。表示为 或 。ABAB性质： 若 ， 则 AACBCABAAAB(2)若 ，且至少有一个xB，但 xA，集合A叫做集合B的真子集。表示为 或 。ABAB(3)若 且 ，那么这两个集合相等。表示 为AB。BAABACBCAAB性质： 若A则 ； 若 ， ，则2022年4月13日星期三5方法小结1、明确集合中元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用。2、熟练掌握集合图形表示（韦恩图）、数轴表示等基本方法。3、理解集合的基本概念、相互关系、术语符号等，能正确地表示出一些较简单的集合。2022年4月13日星期三6ABAB2022年4月13日星期三71.

3、2集合的运算1、交集：AB=x|xA且xB2、并集：AB=x|xA或xB3、全集：在研究集合与集合之间的关系时这些集合都是某个集合的子集，这个给定的集合叫做全集。4、补集：A=x|xI 且xA性质：AA=A，A=，AB=BA性质：AA=A，A=A，AB=BA性质：AA=I，A A = , A=A2022年4月13日星期三8方法小结解集合问题的基本思路是：读懂集合，弄清关系，依据概念，结合图形，分步解决：1、对于集合问题，要首先确定属于哪一类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法。2、关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算。3、含参数的集合问题，多根据

4、集合的互异性来处理有时需进行讨论。4、集合的问题常与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通。2022年4月13日星期三91 .3映射与函数1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：AB2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。(2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域。

5、只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。2022年4月13日星期三10方法小结1、理解映射的概念A、B为非空数集；A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。4、若y是u的函数，u又是x的函数即y=f(u)，u=g(x)，x(a，b)，u(m，n)，那么y关于x的函数y=f(g(x)，叫做f和g的复合函数。2022年4月13

6、日星期三111.4函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。2、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母不为0；偶次方根的被开方数非负；对数的真数大于0；指数、对数函数的底数大于0且不等于1；指数为0或负数时，底数不为0；实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。2022年4月13日星期三12方法小结1、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组。2、已知f(x)的定义域为D，求fg(x)的定义域时，可令g(x) D解得x的范围C，即为fg(x)的定义域；已知 fg(x)

7、的定义域为D，求f(x)定义域时，可先由xD，求出g(x) 的范围C，即为f(x)定义域。2022年4月13日星期三131.5函数的值域函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。方法小结1、求函数值域的常用方法有：配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.真分式法:2022年4月13日星期三14反函数法:判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式0,从而求得原函数的值域.形如y= (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的

8、分布来求解.单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数2022年4月13日星期三153、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。不等式法:利用基本不等式求函数值域,但要注意其使用的条件“一正、二定、三相等”。数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域.2022年4月13日星期三161.6函数的奇偶性函数的奇偶性 1、定义：如果对于函数、定义：如果对于函数f(x)的定义域内的

9、任的定义域内的任一个一个x,都有都有f(x)= f(x)(或或 f(x)= f(x)），），那么那么 f(x)是偶函数（或奇函数）。是偶函数（或奇函数）。 2、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；、图象特征：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称。轴对称。 3、奇偶函数的定义域一定关于原点对称。、奇偶函数的定义域一定关于原点对称。 4、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶、函数可分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数（函数、既是奇函数又是偶函数（f(x) = 0）。）。2022年4月13日星期三17方法小结方法小结1、判断函数的奇偶性必须先考虑定义

10、域是否关于原点对称。2、函数奇偶性的可用如下变形判定：奇函数：f(x) + f(x)=0 或f(x)f(x)=1偶函数：f(x) f(x)=0 或f(x)f(x)= 13、求函数中字母参数满足什么条件能使函数是奇函数或偶函数的方法有：根据恒等式性质，利用待定系数法；利用特殊值法。特别是当奇函数在x=0时有意义必有f(0)=0。（f(x)0）2022年4月13日星期三181.7函数的单调性1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当 x1x2时，都有f(x1) f(x2) （ f(x1) f(x2) ），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）

11、函数。2、注意定义的变形：设x1、x2a，bf(x1) f(x2)x1x20或(x1x2)( f(x1) f(x2)0 f(x)为偶函数f(x1) f(x2)x1x20或(x1x2)( f(x1) f(x2)0 f(x)为奇函数2022年4月13日星期三19几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性。两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减） 函数；奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；y=f(x)与y=f(x)有相反的单

12、调性；当 y=f(x)恒为正或恒为负时， y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：2022年4月13日星期三20方法小结1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。2、根据定义证明函数单调性的方法：设x1、x2A，且设x1x2 ；作差：f(x1)f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并作结论。3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x(a,b),u(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x)在a,b上也是单调函数。若y=f(u)是(m

13、 , n)上的增（减）函数，则y=f(g(x)的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）。也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减”。2022年4月13日星期三211.8反函数3、反函数的求法：由y=f（x）解出x=f1（y）；将x=f1（y） 中的x、y互换，得y=f1（x） ；由 y =f（ x ） 的值域，写出 y =f1（ x ）的定义域。1、定义：函数、定义：函数y=f(x)(xA)中，设它的值域为中，设它的值域为C，由，由y=f(x)解出解出x=f1(y)，如果对于，如果对于y在在C中的任何一个值中的任何一个值，由，由x=f1(y) ，x在在A中都有唯一的值和它对应，那么中都有唯一

14、的值和它对应，那么x=f1(y)就表示就表示x是是y的函数，则函数的函数，则函数x=f1(y)就叫做就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把的反函数。习惯上把y看成函数，将看成函数，将x、y调换，调换， y=f(x)的反函数表示为的反函数表示为y=f1(x)。2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。2022年4月13日星期三22方法小结1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数；周期函数不存在反函数。2、若原函

15、数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。3、若原函数过点(a , b)，则反函数过点(b, a) ，即若f（a）=b，则f1（b）=a。4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。2022年4月13日星期三231.9正、反比例函数、一次、二次函数1、正比例函数：y=kx（k0）xyok0 xyok0图象性质性质:1、定义域为、定义域为R； 2、值域为、值域为R； 3、是奇函数；、是奇函数； 4、单调性：、单调性： k0时为增函数时为增函数, K0时为减函数。时为减函数。2022年4月13日星期三24图象2、反比例函数：y= （k0）kxxyok0 xyok0性质性质: 1、定义域：、定义域：(,0)

16、(0,); 2、值域：、值域： (,0)(0,)； 3、是奇函数；、是奇函数； 4、k0时，在时，在(,0)或或(0,) 上是增函数；上是增函数； k0在在(,0)或或(0,) 上是减函数。上是减函数。 2022年4月13日星期三253、一次函数：y=kxb（k0）xyok0 xyok0图象性质性质: 1、定义域为、定义域为R； 2、值域为、值域为R； 3、b=0是奇函数；是奇函数；b0时为非时为非奇非偶函数；奇非偶函数； 4、k0时为增函数时为增函数, K0时为减函数。时为减函数。2022年4月13日星期三264、二次函数：y=ax2+bx+c（a0）oxy2022年4月13日星期三27ox

17、y2022年4月13日星期三2800=0图象xx1=x2yoxx1x2yoyxoax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)x=x1 或x=x2x=x1 =x2=b2ax|xx2x|x1 xx2b2ax|x OOR无实根2022年4月13日星期三292022年4月13日星期三302022年4月13日星期三312022年4月13日星期三322022年4月13日星期三332022年4月13日星期三342022年4月13日星期三352022年4月13日星期三362022年4月13日星期三37a10a1图象性质xR； y(0,+); 过定点过定点(0,1)当当x0时时,y

18、1, x0时时,0y1当当x0时时, 0y1, x0时时, y1 在在R上是增函数上是增函数.在在R上是减函数上是减函数.2022年4月13日星期三38a10a1图象性质x (0,+) ； y R; 过定点过定点(1, 0)当当x 1时时,y 0, 0 x 1时时, y 0当当x 1时时, y 0, 0 x 1时时, y 0在在R上是增函数上是增函数.在在R上是减函数上是减函数.2022年4月13日星期三39当0a1时，mn0 logamlogan当a1时，mn0 logamlogan2022年4月13日星期三402022年4月13日星期三412022年4月13日星期三422022年4月13日星期三432022年4月13日星期三44伸缩变换2022年4月13日星期三452022年4月13日星期三462022年4月13日星期三472022年4月13日星期三48