勾股定理的逆定理时.pptx

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1、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？还有没有其他的方法呢？有一个角是直角；有一个角是直角；有两个角的和是有两个角的和是90.90.新课导入新课导入第1页/共44页 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形 探究新知勾股定理的逆定理第2

2、页/共44页 下面的两组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5；6，8，10。画出图形,它们都是直角三角形吗？用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数想一想想一想想一想想一想这三组数都满足a2+b2=c2吗？画一画画一画画一画画一画量一量量一量量一量量一量第3页/共44页如何证明这样的结论呢？命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.第4页/共44页已知已知:在在ABCABC中，中，AB=AB=c，BC=BC=a，CA=CA=b 且且a2 2+b2 2=c2 2求证求证:ABC:ABC是直角三角形是直角三角形.AABBCC证明思路

3、：先画一个RtABC,使C=90 BC=a,CA=bab第5页/共44页AABBCCB BC CA A证明证明:画一个画一个ABC,ABC,使使C=90,BC=C=90,BC=a,CA=,CA=b AB=cAB=c 边长取正值边长取正值 ABAB2 2=c2 2 a2 2+b2 2=c2 2 C C=90=900 0 ABAB2 2=a2 2+b2 2在在ABCABC和和ABCABC中中BC=BC=a=BC=BCCA=CA=b=CA=CAAB=AB=c=AB=AB ABCABCABCABC（SSSSSS）C=CC=C=9090则则ABCABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三

4、角形的定义）第6页/共44页勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.直角三角形 的判定定理第7页/共44页探究新知逆命题、逆定理 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题.逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命 题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆 定理是互逆定理.第8页/共44页1如

5、果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命 题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么 另一个叫做它的逆命题（1）“题设、结论正好相反”是指：第一个命题的题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设（2）“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换；两者可以确定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题【知识简析】第9页/共44页2如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也 是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称 为互逆定理 每个命题都有逆命题；但每个定理不一定有逆定理；只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理3注意：判断一个命题是

6、真命题需要证明；而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可第10页/共44页例1说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题是真命题吗？（2）如果a2=b2，那么a=b；（3）等腰三角形的两底角相等 假命题逆命题：如果a=b，那么a2=b2.真命题逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形.真命题任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题第11页/共44页 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了【点评】第12页/共44页 1.说出下列命题的逆命

7、题.这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角 的平分线上.练一练练一练第13页/共44页2.下列说法正确的是()A每个定理都有逆定理 B每个命题都有逆命题 C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D真命题的逆命题是真命题第14页/共44页例1判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直 角三角形：（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=15，c=14；分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长

8、的平方探究新知勾股定理的逆定理的应用第15页/共44页解：（1）152+82=289；172=289 152+82=172，这个三角形是直角三角形.第16页/共44页例2如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD 上一点，且CF=CD,求证：AEF=90.ABCDEF证明：设正方形ABCD的边长为a，则BE=CE=a，CF=a,DF=a，在RtABE中，AE2=AB2+BE2,在RtADF中，AF2=AD2+DF2,在RtCEF中，EF2=CE2+CF2,AE2=a2+a2=a2AF2=AE2+EF2,AEF=90.AF2=a2+a2=a2 EF2=a2+a2=a2第17页/共44页例

9、3 如图，已知点A（-1,0）和点B（1,2），在坐标 轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满 足这样条件的点P共有（）A.2个 B.4个 C.6个 D.7个第18页/共44页（3）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系(即a2b2c2)来判 断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方【点评】判断一个三角形是不是直角三角形有三种方法：（1）利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角 形的内角和定理判断；（2）利用定理：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；第19页/共44页1 如果三条线段长如果三条线段长a，b，c

10、满足满足a2=c2b2，这三，这三 条线段组成的三角形是不是直角三角形？为条线段组成的三角形是不是直角三角形？为 什么？什么？练一练练一练第20页/共44页2.(2016南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形 的是()A3，4，4 B3，4，5 C3，4，6 D3，4，7 在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角

11、形，依此求解即可和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可3.在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ab)(ab)c2，则()AA为直角 BB为直角 CC为直角 DABC不是直角三角形【点评】第21页/共44页例4“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？PEQRN远航海天第22页/共44页解：根据题意，PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30.242+182=302，即 PQ2

12、+PR2=QR2，QPR=90.由“远航”号沿东北方向航行可知，1=45.因此2=45，即“海天”号沿西北方向航行.分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.PEQRN远航海天12第23页/共44页 用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如：“点与点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”【点评】第24页/共44页1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东 方向，C地在B地的什么

13、方向？练一练练一练第25页/共44页2.五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是()第26页/共44页3.有四个三角形，分别满足下列条件，其中直角三角形有（）（1）一个内角等于另外两个内角之差：（2）三个内角度数之比为3：4：5；（3）三边长度之比为5：12：13；（4）三边长分别为7、24、25 A1个 B2个 C3个D4个C分析：分析：根据根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理 即可进行判断，从而得到答案即可进行判断，从而得到答案第27页/共44页分析：(1）一个内角等于另外两个内角之差

14、，A=B-C，A+B+C=180，B=90，故是直角三角形；（2）三个内角度数之比为3：4：5；设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45，60，75，故不是直角三角形；（3）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；（4）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形所以有三个直角三角形，故选C第28页/共44页4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=3AC=3，D D是是BCBC的中点，的中点，AD=2AD=2，求求ABCABC的面积的面积.第29页/共44页第30页/共44页5.若ABC三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+

15、24b+26c，试判断ABC的形状.分析：要判断ABC的形状，须先求出三边的长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。第31页/共44页解析：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0即：(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0解得：a=5，b=12，c=1352+122=132 a2+b2=c2 C=90，ABC是直角三角形。第32页/共44页6.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，B=90求四边形ABCD的面积.ABCD解：连接ACB=90 AC2=AB2+BC2 A

16、C=5 AD=13，CD=12 AD2=AC2+CD2ACD是直角三角形S四边形ABCD=ABBC+ACBC=6+30=36第33页/共44页探究新知勾股数 勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数 我们常见的一组勾股数是“3，4，5”，而这组勾股数的倍数仍能构成直角三角形，如它的1.5倍“4.5，6，7.5”.为了计算方便，我们应该熟以下这五组勾股数：“3，4，5”，“5，12，13”，“6，8，10”，“7，24，25”，“8，15，17”熟记这五组勾股数，在做题时就可以省略很多繁琐的计算过程，提高做题的速度和准确度第34页/共44页1勾股数：能够成为

17、直角三角形三条边长的三个正整 数常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.要点精析：（1）勾股数组有无数个；（2）一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数：如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是 勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数第35页/共44页2判断勾股数的方法：（1）确定是否是三个正整数；（2）确定最大数；（3）计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方3易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：（1）三个数都是正整数；（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方第36

18、页/共44页例3 下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35D分析：根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整数 a，b，c称为勾股数A.627282，不能构成勾 股数，故错误；B.5282132，不能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股 数，故错误；D.212282352，能构成勾股数，故 正确故选D.第37页/共44页 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速

19、度【点评】第38页/共44页1 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它 的三边长分别是的三边长分别是()A3，4，5 B6，8，10 C3，4，6 D4，6，8练一练练一练第39页/共44页2 下面几组数中，为勾股数的一组是下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D2.4，4.5，5.13 下列几组数：下列几组数：9，12，15；8，15，17；7，24，25；n21，2n，n21(n是大于是大于1的整数的整数),其中是勾股数的有其中是勾股数的有()A1组组 B2组组 C3组组 D4组组第40页/共4

20、4页知识总结知识方法要点关键总结注意事项逆命题逆定理课堂小结课堂小结一般地，如果一个定理的逆命一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为一个定理，称这两个定理互为逆定理逆定理 每一个定理不一定有逆定理，只有定理的逆命题是真命题时，定理才有逆定理.所以命题一定有逆命题，但是定理不一定有逆定理.我们把题设、结论正好相反我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题如的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题么另一个叫做它的逆命题 1.每一个命题都有逆命题，这两个命题只是题设和条件互

21、相对换而已.2.命题和逆命题是成对出现的，不能单独存在.第41页/共44页知识总结知识方法要点关键总结注意事项勾股定理的逆定理勾股数如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要工具，不能机械的认为c边所对的角必是直角.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数注意的条件：（1）这些数是正整数；（2）有且只有三个数；(3)满足a2+b2=c2.第42页/共44页方法规律总结我们学过的识别直角三角形的方法有：（1）两锐角互余的三角形是直角三角形；（2）有一个角是直角的三角形；（3）勾股定理的逆定理.第43页/共44页感谢您的观赏第44页/共44页