人教A版高中数学必修四1.4.2正弦函数余弦函数的性质课件.ppt

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1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 正、余弦函数图像特征：正、余弦函数图像特征：-11-1在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：注意：函数图注意：函数图像的凹凸性！像的凹凸性！温故知新-11-1在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：注意：函数图注意：函数图像的凹凸性！像的凹凸性！余弦函数余弦函数图像特征：图像特征：正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 每当角增加每当角增加

2、(或减少或减少)2,所得角的所得角的终边与原来的终边相同终边与原来的终边相同.故两角的正弦、故两角的正弦、余弦函数值也分别相同余弦函数值也分别相同.即有即有:sin(2+x)=sinx cos(2+x)=cosx诱导公式诱导公式sin(x+2)=sinx,的几何意义的几何意义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的oyx48xoy612 若记若记f(x)=sinx,则对于任意则对于任意x R,都有都有f(x+2)=f(x)这样的函数具有什么样的特点这样的函数具有什么样的特点?如何用如何用数学语言刻画这类函数数学语言刻画这类函数?定义

3、：定义：对于函数对于函数f(x)，如果存在一个非，如果存在一个非零常数，使得当零常数，使得当x取定义域内的每一个取定义域内的每一个值时，都有值时，都有f(x+T)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就就叫做叫做周期函数周期函数非零非零常数常数T叫做这个函数叫做这个函数的的周期周期4.一般情况下，如果一般情况下，如果T是函数是函数f(x)的周期，的周期，则则kT(k N)也是也是f(x)的周期的周期.1.x及及x+T都应在函数的定义域内都应在函数的定义域内注意注意:2.T03.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的是定义域内任意的)对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),如果在它的如果在它

4、的所所有正周期中存在一个最小的正数有正周期中存在一个最小的正数，那么这，那么这个最小的正数就叫做个最小的正数就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期 1、正弦函数、余弦函数都是、正弦函数、余弦函数都是周期函周期函数数，2k(k Z且且k0)是它们的是它们的周期周期，最小最小正周期是正周期是2.xoy41268210等式等式sin(300+1200)=sin300是否成立是否成立？如果成立，能否说明？如果成立，能否说明1200是正弦函数是正弦函数y=sinx,x R的一个周期？为什么？的一个周期？为什么？f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的是定义域内任意的)解解(1)例例1:求下列函数的周期

5、：求下列函数的周期：(1)y=3cosx,x R;(2)y=sin2x,x R;(3)y=2sin(),x R.是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数.所以所以y=sin2x是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数.2)y=sin2x,x R;满足满足f(x+T)=f(x)(3)y=是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数 注意：注意：f(x)的特点，的特点，f(x+T)的结构的结构 利用定义证明利用定义证明y=Asin(x+),x R(其中其中A,为常数为常数,且且A0,0)的周期的周期T=2/.根据上述例题的做法根据上述例题的做法,你能完成下面你能完成下面的证明吗的证明吗?一般地，函数

6、一般地，函数y=Asin(x+),x R及函数及函数y=Acos(x+),x R(其中其中A,为常数为常数,且且A0,0)的周期为的周期为 思考：思考：若若f()的周期为，则的周期为，则f(x)的周期为多少？的周期为多少？对于函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得，使得当当x取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)那么函数那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个叫做这个函数的周期。函数的周期。注：注：1、T要是非零常数要是非零常数 2、“每一个值每一个值”只要有一个反例，则只要有一个反例

7、，则f(x)就不为周期函数（如就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）3、周期函数的周期周期函数的周期T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx 2,4,-2,-4,都是周都是周 期）期）4、周期、周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数，最小正周期是余弦函数是周期函数，最小正周期是周期性奇偶性为为奇奇函数函数为为偶偶函数函数定义域和值域正弦函数正弦函数定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数定义域：定义域：R值域：值域：-1，1下列等式能否成立？下列等式能否成立？

8、练一练例例1.求下列函数的定义域和值域。求下列函数的定义域和值域。定义域定义域值域值域0,12,40,2探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时，有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时，有最小值有最小值最值探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时，有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时，有最小值有最小值x6o-12345-2-3-41y当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当正弦、余弦函数的最值x6yo-12345-2-3-41例：求使函数求使函数 取得最大值、最小取得最大值、最

9、小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。化未知为已知化未知为已知分析：分析：令令则则例例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，就的集合，就是使函数是使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数

10、使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.练习练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值

11、是-3。探究：正弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。当当 在区间在区间上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。探究：余弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。曲线逐渐下降，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。当当 在区间在区间上时

12、，上时，由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，其值从其值从1增大到增大到1；在每个闭区间在每个闭区间都是都是增函数增函数，练一练(4)先画草图，然后根据草图判断先画草图，然后根据草图判断 练习1 正弦函数的单调性 y=sinx (xR)增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至1xyo-1234-2-31 x sinx 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-1 +2k,+2k,kZ +2k,+2k,kZ余弦函数的单调性 y=cosx (xR)x cosx -0 -1 0

13、 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12k,2k+,kZyxo-1234-2-31增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k ,+2k,kZ 例例3 3 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小:正弦函数的图象正弦函数的图象对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：正弦、余弦函数的对称性余弦函数的图象余弦函数的图象对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：正弦、余弦函数的对称性x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41yy=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴

14、为：y=cosx的图象对称中心为：的图象对称中心为：任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴(或对称中心或对称中心)的间距为半个周期；对的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（）解：经验证，当解：经验证，当时时为对称轴为对称轴练一练函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性1-1时，时，时，时，时，时，时，时，增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数1-1对称轴对称轴：对称中心对称中心：对称轴对称轴：对称中心

15、对称中心：奇函数奇函数偶函数偶函数求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心解解（1）令）令则则的对称轴为的对称轴为解得：对称轴为解得：对称轴为的对称中心为的对称中心为对称中心为对称中心为练一练求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心分析根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数归纳：归纳：解题中应注意三角函数的有界性解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响对函数值的影响函数yasinxb的最大值为1，最小值为7，则a_，b_.答案43课堂小结对称

16、性：y=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：对称中心为：对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：对称中心为：对称中心为：任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴(或对称中心或对称中心)的间距为半个周期；对的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性1-1时，时，时，时，时，时，时，时，增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数1-1对称轴对称轴：对称中心对称中心：对称轴对称轴：对称中心对称中心：奇函数奇函数偶函数偶函数 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k,+2k,kZ单调递增单调递增 +2k,+2k,kZ单调递减单调递减 +2k,2k,kZ单调递增单调递增2k,2k+,kZ单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数2、定义域、定义域3、值域、值域1、周期性、周期性R-1,1 T=2正弦、余弦函数的性质：正弦、余弦函数的性质：4、奇偶性与单调性：、奇偶性与单调性：