《方程的根与函数的零点》说课稿(附教案).pdf

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1、说课稿：方程的根与函数的零点一、本课数学内容的本质、地位、作用分析普通高中课标教材必修1 共安排了三章内容，第一章是集合与函数的概念，第二章是基本初等函数（），第三章是函数的应用。第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。函数在数学中占据着不可替代的核心地

2、位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。二、教学目标分析本节内容包含三大知识点：一、函数零点的定义；二、方程的根与函数零点的等价关系；三、零点存在性定理。结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相

3、应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“数形结合思想”，“函数与方程思想”的优质载体。结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思

4、想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。由于本节课将以教师引导，学生探究为主体形式，故设定本节课的情感、态度与价值观目标如下：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。三、教学问题诊断学生具备的认知基础：1.基本初等函数的图象和性质；2.一元二次方程的根和相应函数图象与x 轴的联系；3.将数与形相结合转化的意识。学生欠缺的实际能力：1.主动应用数形结合思想解决问题的意识还不强；2.将未知问题已知化，将复杂问题简单化的化归意识淡薄；3.从直观到抽

5、象的概括总结能力还不够；4.概念的内涵与外延的探究意识有待提高。对本节课的教学，教材是利用一组一元二次方程和二次函数的关系来引入函数零点的。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数零点，再来理解其他复杂的函数零点就会容易一些。但学生对如何解一元二次方程以及二次函数的图象早就熟练了，这样的引入过程使学生感到平淡，激发不起他们的兴趣，他们对零点的理解也只会浮于表面，也无法使其体会引入函数零点的必要性，理解不了方程根存在的本质原因是零点的存在。教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数y=f(x)在（a，b）内有零点的一种条件的

6、，如果不能有效地对该过程进行引导，容易出现学生被动接受，盲目记忆的结果，而丧失了对学生应用数学思想方法的意识进行培养的机会。教材中零点存在性定理只表述了存在零点的条件，但对存在零点的个数并未多做说明，这就要求教师对该定理的内涵和外延要有清晰的把握，引导学生探究出只存在一个零点的条件，否则学生对定理的内容很容易心存疑虑。四、本节课的教法特点以及预期效果分析本节课教法的几大特点总结如下：1以问题为主线贯穿始终；2精心设置引导性的语言放手让学生探究；3注重在引导学生探究问题解法的过程中渗透数学思想；4在探究过程中引入新知识点，在引入新知识点后适时归纳总结，进行探究阶段性成果的应用。由于所设置的主线问

7、题具有很高的探究价值，所以预期学生热情会很高，积极性调动起来，那整节课才能活起来；由于为了更好地组织学生探究所设置的引导性语言，重在去挖掘学生内心真实的想法和他们最真实体会到的困难，所以通过学生活动会更多地暴露他们在基础知识掌握方面的缺憾，免不了要随时纠正对过往知识的错误理解；因为在探究过程中不断渗透数学思想，学生对亲身经历的解题方法就会有更深的体会，主动应用数学思想的意识在上升，对于主线问题也应该可以迎刃而解；因为在探究过程中引入新知识点，学生对新知识产生的必要性会有更深刻的体会和认识，同时在新知识产生后，又适时地加以应用，学生对新知识的应用能力不断提高。课题：3.1.1 方程的根与函数的零

8、点一、教学目标知识与技能1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.过程与方法1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。情感、态度与价值观1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大

9、数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。二、教学重点与难点教学重点零点的概念及零点存在性的判定。教学难点探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.三、教学的方法与手段授课类型：新 授 课教学方法：启发式教学、探究式学习教学课件：自制 Powerpoint 课件多媒体设备：计算机四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示 第三章函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对

10、数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，我们还要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230 xx；（2）062lnxx.学生活动：回答，思考解法。教师活动：第二个方程我们不会解怎

11、么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。教师活动：用屏幕显示函数223yxx的图象。学生活动：观察图像，思考作答。教师 活 动：我 们来 认真 地对 比一 下。用屏幕 显 示表 格，让 学生填 写2230 xx的实数根和函数图象与x 轴的交点。学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的

12、横坐标的结论。教师活动：我们就把使方程成立的实数x 称做函数的零点【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数 y=f(x),使方程 f(x)=0的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点）。教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0 的点？学生活动：对比定义，思考作答。教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系

13、。如果已知函数 y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。教师活动：对于函数 y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程 f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x 轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)=0有实根和图象与x 轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与 x 轴有交点的一个统一体。在屏幕上显示：函数 y=f(x)有零点方程 f(x)=0有实数根函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：用屏幕显示

14、求下列函数的零点.21(1)3;(2)log;(3);xyyxyx(4)(1),4(4).(4)(6),4xxxyxxx学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述 4 个图象的画法；教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考）。教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决062lnxx的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。

15、这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是非常有价值的。教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y=ln26xx的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑教师活动：我们看到，当函数图象穿过x 轴时，图象就与 x 轴产生了交点，图象穿过 x 轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示223yxx的函数图象，多次播放抛物线穿过x 轴的画面。学生活动：通过

16、观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？学生活动：得出 f(a)f(b)0的结论。教师活动：若 f(a)f(b)0,函数 yf(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在a,b 上连续不断的函数，在满足 f(a)f(b)0的条件时，才会存在零点的结论。【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书（三、零点存在性定理）

17、。教师活动：用屏幕显示 函数零点存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点即存在 c(a,b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0的根教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。学生活动：读出定理。教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间a,b 上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？学生活动：思考作答。教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结

18、合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1.若函数 y=f(x)在区间 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？3.在什么条件下，函数yf(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题。学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。1.若函数 y=f(x)在区间 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数 yf(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。【环节七：应用所

19、学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决062lnxx的根的存在性问题应该是游刃有余了。用屏幕显示 判断下列方程是否有实根，有几个实根？（2）062lnxx学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作

20、用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题1.函数 f(x)=x(x2-16)的零点为().(0,0),(4,0).0,4 .(4,0),(0,0),(4,0).4,0,4 2.已知函数 f(x)是定义域为的奇函数，且f(x)在(0,)上有一个零点，则 f(x)的零点个数为().不确定3.已知函数 f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：x1234567f(x)2397115 12 26那么函数在区间 1，6 上的零点至少有（）个1 A.5 个 B.4个 C.3个 D.2个4.函数 f(x)=x3 3x+5的零点所在的大致区间为（）A.(2，0)B.(1，2)C.(0，1)D.(0，0.5)【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识2()23fxxxaa已知，求取何值时能分别满足下列条件.有 2 个零点;3 个零点;4 个零点.五、板书设计屏幕方程的根与函数的零点一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程 f(x)=0的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点二、方程的根与函数零点之间的等价关系三、零点存在性定理1 o y x