2019年数学新同步湘教版必修2阶段质量检测（二）.doc

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1、(时间时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1观察一列算式：观察一列算式：1 1,1 2,2 1,1 3,2 2,3 1,1 4,2 3,3 2,4 1，则式子，则式子 3 5 是是第第( )A22 项项 B23 项项C24 项项 D25 项项解析：解析：两数和为两数和为 2 的有的有 1 个，和为个，和为 3 的有的有 2 个，和为个，和为 4 的有的有 3 个，和为个，和为

2、5 的有的有 4 个，个，和为和为 6 的有的有 5 个，和为个，和为 7 的有的有 6 个，前面共有个，前面共有 21 个，个，3 5 为和为为和为 8 的第的第 3 项，所以为第项，所以为第24 项项答案：答案：C2用反证法证明命题用反证法证明命题“是无理数是无理数”时，假设正确的是时，假设正确的是( )23A假设假设是有理数是有理数 B假设假设是有理数是有理数23C假设假设或或是有理数是有理数 D假设假设是有理数是有理数2323解析：解析：应对结论进行否定，则应对结论进行否定，则不是无理数，不是无理数，23即即是有理数是有理数23答案：答案：D3已知已知ABC 中，中，A30，B60，求

3、证：，求证：a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是，则以下不等式中不恒成立的是( )A(ab)4 Ba3b32ab2(1a1b)Ca2b222a2b D.|ab|ab解析：解析：a0，b0，对于对于 A，(ab)224，(1a1b)ab1ab故故 A 恒成立；恒成立；对于对于 B，a3b32ab2，取，取 a ，b ，则，则 B 不成立；不成立；1223对于对于 C，a2b22(2a2b)(a1)2(b1)20，故故 C 恒成立；恒成立；对于对于 D，若，若 a0，显然，显然 b成立成立ab答案：答案：B5观察下列各式：观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则

4、，则 a10b10( )A28 B76C123 D199解析：解析：记记 anbnf(n)，则则 f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现通过观察不难发现 f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以所以 a10b10123.答案：答案：C6观察下列各式：观察下列各式：7249,73343,742 401，则，则 72 015的末两位数字为的末两位数字为( )A

5、01 B43C07 D49解析：解析：7516 807,76117 649,77823 543，785 764 801，7n(nZ，且，且 n5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记，记 7n(nZ，且，且n5)的末两位数为的末两位数为 f(n)，则，则 f(2 015)f(50343)f(3)，72 015与与 73的末两位数相同，的末两位数相同，均为均为 43.答案：答案：B7将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)a

6、bac；由由 abac(a0)可得可得 bc.以上通过类比得到的结论正确的有以上通过类比得到的结论正确的有( )A1 个个 B2 个个C3 个个 D4 个个解析：解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，正确， 错误；由错误；由 abac(a0)得得 a(bc)0，从而，从而 bc0 或或 a(bc)，故，故错误错误答案：答案：B8已知已知 a0，不等式，不等式 x 2，x3，x4，可推广为，可推广为 xn1，1x4x227x3axn则则 a 的值为的值为( )An2 BnnC2n D22n2解析：解析：由由

7、 x 2，xx3，xx4，1x4x222x227x333x3可推广为可推广为 xn1，故，故 ann.nnxn答案：答案：B9来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本国语来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈

8、；个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是( )A甲日德、乙法德、丙英法、丁英德甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B甲日英、乙日德、丙德法、丁日英甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C甲日德、乙法德、丙英德、丁英德甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D甲日法、乙英德、丙法德、丁法英甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：解析：分析题目和选项，由分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除知，丁不会说日语，排除 B

9、 选项；由选项；由知，没有人既会知，没有人既会日语又会法语，排除日语又会法语，排除 D 选项；由选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除知乙、丙、丁不会同一种语言，排除 C 选项，故选选项，故选 A.答案答案：A10如图，圆周上按顺时针方向标有如图，圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点该青蛙从两个点该青蛙从 5 这点跳起，经这点跳起，经 2 018 次跳后它将停在的点

10、是次跳后它将停在的点是( )A1 B2C3 D4解析：解析：青蛙第一次跳后停留在青蛙第一次跳后停留在 1 点，第二次跳后停在点，第二次跳后停在 2 点，第三次跳后停在点，第三次跳后停在 4 点，第点，第四次跳后又停在四次跳后又停在 1 点，以此类推，循环下去点，以此类推，循环下去2 01836722，2 018 次跳后将停在次跳后将停在 2 点点答案：答案：B11设设ABC 的三边长分别为的三边长分别为 a，b，c，ABC 的面积为的面积为 S，则，则ABC 的内切圆半径的内切圆半径为为 r.将此结论类比到空间四面体：设四面体将此结论类比到空间四面体：设四面体 SABC 的四个面的面积分别为的

11、四个面的面积分别为2SabcS1，S2，S3，S4，体积为，体积为 V，则四面体的内切球半径为，则四面体的内切球半径为 r( )A. B.VS1S2S3S42VS1S2S3S4C. D.3VS1S2S3S44VS1S2S3S4解析：解析：设四面体的内切球的球心为设四面体的内切球的球心为 O，则球心，则球心 O 到四个面的距离都是到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积等于以所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和个三棱锥体积的和则四面体的体积为则四面体的体积为 V (S1S2S3S4)r，13r.3VS1S2S3S4答案：答案：

12、C12下面的三角形数阵叫下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形莱布尼茨调和三角形” ，它们是由整数的倒数组成的，它们是由整数的倒数组成的11121213161314112112141512013012015第第 n 行有行有 n 个数且两端的数均为个数且两端的数均为 (n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 1n ， ， ，则第，则第 10 行第行第 4 个数个数(从左往右数从左往右数)为为( )1112121213161314112A. B.13601504C. D.184011 260解析：解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第依题意，结合

13、所给的数阵，归纳规律可知第 8 行的第一个数、第二个数分别等行的第一个数、第二个数分别等于于 ， ，第，第 9 行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于 ， ，181718191819(1718) (1819)第第 10 行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于， ，11019110(1819)，.(19110) (1718)(1819) (1819)(19110)1840答案答案：C二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分把答案填写在

14、题中的横线上分把答案填写在题中的横线上)13在在ABC 中，中，D 为为 BC 的中点，则的中点，则 ()，将命题类比到三棱锥中，将命题类比到三棱锥中AD12ABAC去得到一个类比的命题为去得到一个类比的命题为_答案：答案：在三棱锥在三棱锥 ABCD 中，中，G 为为BCD 的重心，则的重心，则 ()AG13ABACAD14用火柴棒摆用火柴棒摆“金鱼金鱼” ，如图所示：，如图所示：按照上面的规律，第按照上面的规律，第 n 个个“金鱼金鱼”图需要火柴棒图需要火柴棒_根根解析：解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多 6 根火柴棒，

15、第一个根火柴棒，第一个图形为图形为 8 根，可以写成根，可以写成 a1862.又又 a214622，a320632，所以可以猜测，第所以可以猜测，第 n 个个“金鱼金鱼”图需要火柴棒的根数为图需要火柴棒的根数为 6n2.答案：答案：6n215观察下列式子：观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可，由以上可推测出一个一般性结论：对于推测出一个一般性结论：对于 nN，12n21_.解析：解析：112,12122,1232132,123432142，归纳可得归纳可得 12n21n2.答案：答案：n216如图，圆环可以看作线段如图，圆环可以看作线段 AB 绕圆心绕圆心 O 旋转一

16、周所形成的平面图形，又圆环的面旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积积 S(R2r2)(Rr)2.所以圆环的面积等于以线段所以圆环的面积等于以线段 ABRr 为宽，以为宽，以 AB 中中Rr2点绕圆心点绕圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长旋转一周所形成的圆的周长 2为长的矩形面积请你将上述想法拓展为长的矩形面积请你将上述想法拓展Rr2到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系 xOy 中，若将平面区域中，若将平面区域 M(x，y)|(xd)2y2r2(其中其中 03，nN)边形对角线的条数边形对角线的条数 f(n)，并证明所得结论并证明所得结论解：解：由题

17、意得当由题意得当 n4 时，时，f(4)2；4 12当当 n5 时，时，f(5)5；5 22当当 n6 时，时，f(6)9；，6 32由此猜测由此猜测 f(n)，n n3 2即凸即凸 n(n3，nN)边形有边形有条不同的对角线条不同的对角线n n3 2证明：因为凸证明：因为凸 n(n3，nN)边形中从每一个顶点出发的对角线有边形中从每一个顶点出发的对角线有(n3)条，条，所以从所有的顶点出发的对角线有所以从所有的顶点出发的对角线有 n(n3)又每条对角线都被数了两次，又每条对角线都被数了两次，所以凸所以凸 n(n3，nN)边形的对角线的条数为边形的对角线的条数为.n n3 218(本小题满分本

18、小题满分 12 分分)ABC 的三条高分别为的三条高分别为 ha，hb，hc，r 为内切圆半径，且为内切圆半径，且hahbhc9r，求证：该三角形为等边三角形，求证：该三角形为等边三角形证明：证明：设三角形三边分别为设三角形三边分别为 a，b，c，故只需证，故只需证 abc.因为因为 ha，hb，hc，其中，其中 S 为为ABC 的面积，的面积，2Sa2Sb2Sc所以所以 hahbhc2S.(1a1b1c)又因为又因为 S (abc)r，hahbhc9r，12所以所以(abc)9.(1a1b1c)所以所以 a2ba2cb2ab2cc2ac2b6abc0.将上式分解因式，将上式分解因式，得得 a

19、(bc)2b(ca)2c(ab)20.因为因为 a0，b0，c0，所以所以(bc)2(ca)2(ab)20.所以所以 abc.该三角形为等边三角形该三角形为等边三角形19(本小题满分本小题满分 12 分分)如图所示，设如图所示，设 SA，SB 是圆锥是圆锥 SO 的两条母线，的两条母线，O 是底面圆心，是底面圆心，C 是是 SB 上一点，求证：上一点，求证：AC 与平面与平面 SOB 不垂直不垂直证明：证明：假设假设 AC平面平面 SOB，因为直线因为直线 SO 在平面在平面 SOB 内内所以所以 SOAC.因为因为 SO底面圆底面圆 O，所以所以 SOAB.因为因为 ABACA，所以所以 S

20、O平面平面 SAB.所以平面所以平面 SAB底面圆底面圆 O，这显然与平面这显然与平面 SAB 与底面圆与底面圆 O 相交矛盾，相交矛盾，所以假设不成立，即所以假设不成立，即 AC 与平面与平面 SOB 不垂直不垂直20(本小题满分本小题满分 12 分分)数列数列an的前的前 n 项和记为项和记为 Sn，已知，已知a11，an1Sn(nN)，试利用三段论形式证明：，试利用三段论形式证明：n2n(1)数列数列是等比数列；是等比数列；Snn(2)Sn14an.证明：证明：(1)an1Sn1Sn，an1Sn，n2n(n2)Snn(Sn1Sn)，即，即 nSn12(n1)Sn.故故2，(小前提小前提)

21、Sn1n1Snn故故是以是以 2 为公比，为公比，1 为首项的等比数列为首项的等比数列(结论结论)Snn(大前提是等比数列的定义大前提是等比数列的定义)(2)由由(1)可知可知4(n2)，Sn1n1Sn1n1Sn14(n1)4Sn14an(n2)(小前提小前提)Sn1n1n12n1又又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提小前提)对于任意正整数对于任意正整数 n，都有，都有 Sn14an.(结论结论)21(本小题满分本小题满分 12 分分)已知数列已知数列an中，中，Sn为其前为其前 n 项和且项和且 Sn14an2(nN)，a11，(1)设设 bnan12an(nN)，求证：数列，

22、求证：数列bn是等比数列；是等比数列；(2)设设 cn(nN)，求证：数列，求证：数列cn是等差数列是等差数列an2n证明：证明：(1) Sn14an2，Sn24an12，两式相减，得，两式相减，得Sn2Sn14an14an(nN)即即 an24an14an.变形得变形得 an22an12(an12an)bnan12an(nN)，bn12bn.a11，Sn14an2，S24a126，即，即 a25.b1a22a1523.bn32n1.由此可知，数列由此可知，数列bn是以是以 3 为首项，公比为为首项，公比为 2 的等比数列的等比数列(2)cn(nN)，an2ncn1cn，an12n1an2na

23、n12an2n1bn2n1将将 bn32n1代入，得代入，得 cn1cn (nN)34又又 c1 ，a1212由此可知，数列由此可知，数列cn是首项为是首项为 ，公差为，公差为 的等差数列的等差数列123422(本小题满分本小题满分 12 分分)十字绣有着悠久的历史，如下图，十字绣有着悠久的历史，如下图，为十字绣最简单的为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同小正方形的摆放规律相同)，设第，设第 n 个图案包含个图案包含 f(n)个小正

24、方形个小正方形(1)求出求出 f(5)的值；的值；(2)利用合情推理的利用合情推理的“归纳推理思想归纳推理思想” ，归纳出，归纳出 f(n1)与与 f(n)之间的关系式，并根据你之间的关系式，并根据你得到的关系式求出得到的关系式求出 f(n)的表达式；的表达式；(3)求求(n2)的值的值1f 1 1f 2 11f 3 11f n 1解：解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得由图可得 f(5)41.(2)可得可得 f(2)f(1)41；f(3)f(2)842；f(4)f(3)1243；f(5)f(4)1644；由上式规律，可得由上式规律，可得 f(n)f(n1)4(n1)由以上各式相加可得由以上各式相加可得 f(n)f(1)412(n1)42n22n， 1n1 n1 2又又 f(1)1，f(n)2n22n1.(3)当当 n2 时，时，1f n 112n22n12n n1 12(1n11n)原式原式1 1 1 .1212121313141n11n12(11n)3212n