专题02函数概念与基本初等函数(文科数学)45547.pdf

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1、12020 年高考数学压轴必刷题专题 02 函数概念与基本初等函数(文科数学)1【2019 年天津文科 08】已知函数 f（x）若关于 x 的方程 f（x）x+a（a R）恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为（）A，B（，C（，1D，1【解答】解：作出函数 f（x）的图象，以及直线 yx 的图象，关于 x 的方程 f（x）x+a（a R）恰有两个互异的实数解，即为 y f（x）和 yx+a 的图象有两个交点，平移直线 yx，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得 a或 a，考虑直线与 y在 x 1 相切，可得 ax x21，由a210，解得 a 1（1 舍去），综上可得

2、 a 的范围是，1故选：D2【2019 年新课标 3 文科 12】设 f（x）是定义域为 R的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（）2Af（log3）f（2）f（2）Bf（log3）f（2）f（2）Cf（2）f（2）f（log3）Df（2）f（2）f（log3）【解答】解：f（x）是定义域为 R的偶函数，log34log331，0f（x）在（0，+）上单调递减，故选：C3【2018 年新课标 2 文科 12】已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）f（1+x），若 f（1）2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且

3、 f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x 1），f（0）0，则 f（x+2）f（x），则 f（x+4）f（x+2）f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，3故选：C4【2018 年新课标 1 文科 12】设函数 f（x），则满足 f（x+1）f（2x）的 x 的取值范围是（）A（，1B（

4、0，+）C（1，0）D（，0）【解答】解：函数 f（x），的图象如图：满足 f（x+1）f（2x），可得：2x 0 x+1 或 2x x+10，解得 x （，0）故选：D5【2017 年北京文科 08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N约为 1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg30.48）A1033B1053C1073D1093【解答】解：由题意：M3361，N 1080，根据对数性质有：310lg3100.48，M3361（100.48）36110173，1093，故选：D46【2017 年天津文科 08】已知函数

5、 f（x），设 a R，若关于 x 的不等式 f（x）|a|在 R上恒成立，则 a 的取值范围是（）A2，2BCD【解答】解：根据题意，函数 f（x）的图象如图：令 g（x）|a|，其图象与 x 轴相交与点（2a，0），在区间（，2a）上为减函数，在（2a，+）为增函数，若不等式 f（x）|a|在 R上恒成立，则函数 f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有 f（0）g（0），即 2|a|，解可得2a 2，故选：A7【2016 年新课标 2 文科 12】已知函数 f（x）（x R）满足 f（x）f（2x），若函数 y|x22x 3|与 yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2）

6、，（xm，ym），则xi（）A0BmC2mD4m【解答】解：函数 f（x）（x R）满足 f（x）f（2x），故函数 f（x）的图象关于直线 x 1 对称，函数 y|x22x 3|的图象也关于直线 x 1 对称，5故函数 y|x22x 3|与 y f（x）图象的交点也关于直线 x 1 对称，故xi2m，故选：B8【2016 年北京文科 08】某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.603

7、0 秒跳绳（单位：次）63a7560637270a 1b65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则（）A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛【解答】解：这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，故编号为 1，2，3，4，5，6，7，8 的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则 3，6，7 号同学必进入 30 秒跳绳决赛，剩下 1，2，4，5，8 号同学的成绩分别为：63，a，6

8、0，63，a 1 有且只有 3 人进入 30 秒跳绳决赛，故成绩为 63 的同学必进入 30 秒跳绳决赛，故选：B69【2015 年新课标 1 文科 12】设函数 y f（x）的图象与 y 2x+a的图象关于 y x 对称，且 f（2）+f（4）1，则 a（）A1B1C2D4【解答】解：与 y 2x+a的图象关于 y x 对称的图象是 y 2x+a的反函数，y log2x a（x 0），即 g（x）log2x a，（x 0）函数 y f（x）的图象与 y 2x+a的图象关于 y x 对称，f（x）g（x）log2（x）+a，x 0，f（2）+f（4）1，log22+alog24+a1，解得，a

9、2，故选：C10【2015 年新课标 2 文科 11】如图，长方形 ABCD的边 AB2，BC1，O是 AB的中点，点 P沿着边BC，CD 与 DA运动，记BOP x 将动点 P到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y f（x）的图象大致为（）ABCD【解答】解：当 0 x时，BP tanx，AP，此时 f（x）tanx，0 x，此时单调递增，7当 P在 CD 边上运动时，x且 x时，如图所示，tanPOB tan（POQ）tanx tanPOQ，OQ，PD AO OQ 1，PC BO+OQ 1，PA+PB，当 x时，PA+PB 2，当 P在 AD边上运动时，x ，PA+P

10、Btanx，由对称性可知函数 f（x）关于 x对称，且 f（）f（），且轨迹为非线型，排除 A，C，D，故选：B11【2015 年新课标 2 文科 12】设函数 f（x）ln（1+|x|），则使得 f（x）f（2x 1）成立的 x的取值范围是（）A（，）（1，+）B（，1）C（）D（，）【解答】解：函数 f（x）ln（1+|x|）为偶函数，且在 x 0 时，f（x）ln（1+x），8导数为 f（x）0，即有函数 f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x 1）等价为 f（|x|）f（|2x 1|），即|x|2x 1|，平方得 3x24x+10，解得：x 1，所求 x 的取值范围是（，1）故选

11、：B12【2015 年北京文科 08】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015 年 5 月 1 日12350002015 年 5 月 15 日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为（）A6 升B8 升C10 升D12 升【解答】解：由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，所以该车每 100 千米平均耗油量4868；故选：B13【2015 年天津文科 07】已知定义在 R上的函数 f（x）2|xm|1（m为实数）为偶函数，记 a

12、f（log0.53），b f（log25），c f（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）Aa b cBa c bCc a bDc b a【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）f（x）；2|xm|12|xm|1；|x m|x m|；（x m）2（x m）2；mx0；m 0；9f（x）2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 a f（|log0.53|）f（log23），b f（log25），c f（0）；0log23log25；c a b 故选：C14【2015 年天津文科 08】已知函数 f（x），函数 g（x）3f（2x），则函数 y f（x）g（x）的零点个数为（）A2B3C4D

13、5【解答】解：g（x）3f（2x），y f（x）g（x）f（x）3+f（2x），由 f（x）3+f（2x）0，得 f（x）+f（2x）3，设 h（x）f（x）+f（2x），若 x 0，则x 0，2x 2，则 h（x）f（x）+f（2x）2+x+x2，若 0 x 2，则2x 0，02x 2，则 h（x）f（x）+f（2x）2x+2|2x|2x+22+x 2，若 x 2，x 0，2x 0，则 h（x）f（x）+f（2x）（x 2）2+2|2x|x25x+8即 h（x），作出函数 h（x）的图象如图：当 y 3 时，两个函数有 2 个交点，故函数 y f（x）g（x）的零点个数为 2 个，故选：A1

14、015【2014 年北京文科 08】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 p at2+bt+c（a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50 分钟B3.75 分钟C4.00 分钟D4.25 分钟【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入 p at2+bt+c，可得，解得 a 0.2，b 1.5，c 2，p 0.2t2+1.5t 2，对称轴为 t3.75故选：B16【2013 年新课标 1 文科 12】已

15、知函数 f（x），若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，0【解答】解：由题意可作出函数 y|f（x）|的图象，和函数 y ax的图象，11由图象可知：函数 y ax的图象为过原点的直线，当直线介于l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y x22x，求其导数可得 y 2x 2，因为 x 0，故 y 2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y ax的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a 2，0故选：D17【2013 年天津文科 07】已知函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，且在区间0，+）

16、上单调递增，若实数 a 满足 f（log2a）+f（）2f（1），则 a 的取值范围是（）AB1，2CD（0，2【解答】解：因为函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，所以 f（）f（log2a）f（log2a），则 f（log2a）+f（）2f（1）为：f（log2a）f（1），因为函数 f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|log2a|1，解得a 2，则 a 的取值范围是，2，故选：A18【2013 年天津文科 08】设函数 f（x）ex+x 2，g（x）lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）0，g（b）0，则（）Ag（a）0f（b）Bf（b）0g（a）C0g（a）f（b）Df（b）

17、g（a）012【解答】解：由于 y ex及 y x 2 关于 x 是单调递增函数，函数 f（x）ex+x 2 在 R上单调递增，分别作出 y ex，y 2x 的图象，f（0）1+020，f（1）e 10，f（a）0，0a 1同理g（x）lnx+x23在R+上单调递增，g（1）ln 1+1320，g（），g（b）0，g（a）lna+a23g（1）ln 1+1320，f（b）eb+b 2f（1）e+12e 10g（a）0f（b）故选：A19【2012 年新课标 1 文科 11】当 0 x时，4xlogax，则 a 的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）【解答】解：0 x时，14x

18、2要使 4xlogax，由对数函数的性质可得 0a 1，数形结合可知只需 2logax，即对 0 x时恒成立解得a 1故选：B1320【2012 年北京文科 08】某棵果树前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示 从目前记录的结果看，前 m年的年平均产量最高，则 m的值为（）A5B7C9D11【解答】解：若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P（S，n）点则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率由图易得当 n 9 时，直线 OP 的斜率最大即前 9 年的年平均产量最高，故选：C21【2011 年新课标 1 文科 10】在下列区间中，函数 f（x）ex+4x 3 的零

19、点所在的区间为（）A（，）B（，0）C（0，）D（，）【解答】解：函数 f（x）ex+4x 3f（x）ex+4当 x 0 时，f（x）ex+40函数 f（x）ex+4x 3 在（，+）上为 f（0）e032014f（）10f（）20f（）f（）0，函数 f（x）ex+4x 3 的零点所在的区间为（，）故选：A22【2011 年新课标 1 文科 12】已知函数 y f（x）的周期为 2，当 x 1，1时 f（x）x2，那么函数y f（x）的图象与函数 y|lgx|的图象的交点共有（）A10 个B9 个C8 个D1 个【解答】解：作出两个函数的图象如上函数 y f（x）的周期为 2，在1，0上为减

20、函数，在0，1上为增函数函数 y f（x）在区间0，10上有 5 次周期性变化，在0，1、2，3、4，5、6，7、8，9上为增函数，在1，2、3，4、5，6、7，8、9，10上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为0，1，再看函数 y|lgx|，在区间（0，1上为减函数，在区间1，+）上为增函数，且当 x 1 时 y 0；x 10 时 y 1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A23【2011 年天津文科 08】对实数 a 与 b，定义新运算“”：a b设函数 f（x）（x22）（x 1），x R 若函数 y f（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的

21、取值范围是（）A（1，1（2，+）B（2，1（1，2C（，2）（1，2D2，115【解答】解：，函数 f（x）（x22）（x 1），由图可知，当 c （2，1（1，2函数 f（x）与 y c 的图象有两个公共点，c 的取值范围是（2，1（1，2，故选：B24【2010 年新课标 1 文科 12】已知函数，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）f（b）f（c），则 abc的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图，不妨设 a b c，则ab1，则 abcc （10，12）故选：C1625【2010 年天津文科 10】设函数

22、g（x）x22，f（x），则 f（x）的值域是（）AB0，+）CD【解答】解：x g（x），即x x22，即x 1 或x 2x g（x），即1x 2由题意f（x），所以当 x （，1）（2，+）时，由二次函数的性质可得 f（x）（2，+）；x 1，2时，由二次函数的性质可得 f（x），0，故选：D26【2018 年新课标 3 文科 16】已知函数 f（x）ln（x）+1，f（a）4，则 f（a）【解答】解：函数 g（x）ln（x）满足 g（x）ln（x）ln（x）g（x），所以 g（x）是奇函数函数 f（x）ln（x）+1，f（a）4，可得 f（a）4ln（a）+1，可得 ln（a）3，则 f

23、（a）ln（a）+13+12故答案为：21727【2018 年天津文科 14】已知 a R，函数 f（x）若对任意 x 3，+），f（x）|x|恒成立，则 a 的取值范围是【解答】解：当 x 0 时，函数 f（x）x2+2x+a 2 的对称轴为 x 1，抛物线开口向上，要使 x 0 时，对任意 x 3，+），f（x）|x|恒成立，则只需要 f（3）|3|3，即 96+a 23，得 a 2，当 x 0 时，要使 f（x）|x|恒成立，即 f（x）x2+2x 2a，在射线 y x 的下方或在 y x 上，由x2+2x 2a x，即 x2x+2a 0，由判别式18a 0，得 a，综上a 2，故答案为

24、：，228【2017 年新课标 3 文科 16】设函数 f（x），则满足 f（x）+f（x）1 的 x 的取值范围是【解答】解：若 x 0，则 x，则 f（x）+f（x）1 等价为 x+1+x11，即 2x，则 x，此时x 0，18当 x 0 时，f（x）2x1，x，当 x0 即 x时，满足 f（x）+f（x）1 恒成立，当 0 x，即x 0 时，f（x）x1x，此时 f（x）+f（x）1 恒成立，综上 x，故答案为：（，+）29【2016 年北京文科 14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品

25、有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店 第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品最少有种【解答】解：设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为 B，第三天售出商品的种类集为 C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有 19316 种；由 知，前两天售出的商品种类为 19+13329 种，第三天售出但第二天未售出的商品有 18414 种，当这 14 种商品第一天售出但第二天未售出的 16 种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为 29 种故答案为：16；2930【2016 年天津文科 14】已知函数 f（x）（a 0，且 a

26、1）在 R上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|2恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是【解答】解：f（x）是 R上的单调递减函数，y x2+（4a 3）x+3a 在（，0）上单调递减，y loga（x+1）+1 在（0，+）上单调递减，19且 f（x）在（，0）上的最小值大于或等于 f（0），解得a作出 y|f（x）|和 y 2的函数草图如图所示：由图象可知|f（x）|2在0，+）上有且只有一解，|f（x）|2恰有两个不相等的实数解，x2+（4a 3）x+3a 2在（，0）上只有 1 解，即 x2+（4a）x+3a 20 在（，0）上只有 1 解，或，解得 a或 a，又a，故答案为

27、，）31【2014 年北京文科 14】顾客请一位工艺师把 A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间粗加工精加工20原料原料 A915原料 B621则最短交货期为个工作日【解答】解：由题意，徒弟利用 6 天完成原料 B的加工，由师傅利用 21 天完成精加工，与此同时，徒弟利用 9 天完成原料 A的加工，最后由师傅利用 15 天完成精加工，故最短交货期为 6+21+1542 个工作日故答案为：4232【2014 年天津文科 14】已知函

28、数 f（x），若函数 y f（x）a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为【解答】解：由 y f（x）a|x|0 得 f（x）a|x|，作出函数 y f（x），y a|x|的图象，当 a 0，不满足条件，a 0，当 a 2 时，此时 y a|x|与 f（x）有三个 交点，当 a 1 时，当 x 0 时，f（x）x25x 4，由 f（x）x25x 4x得 x2+4x+40，则判别式16440，即此时直线 y x 与 f（x）相切，此时 y a|x|与 f（x）有五个交点，要使函数 y f（x）a|x|恰有 4 个零点，则 1a 2，故答案为：（1，2）2133【2012年新课标1文科1

29、6】设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m【解答】解：函数可化为 f（x），令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为 0函数 f（x）的最大值与最小值的和为 1+1+02即 M+m 2故答案为：234【2012 年北京文科 14】已知 f（x）m（x 2m）（x+m+3），g（x）2x2若 x R，f（x）0 或g（x）0，则 m的取值范围是【解答】解：g（x）2x2，当 x 1 时，g（x）0，又 x R，f（x）0 或 g（x）0此时 f（x）m（x 2m）（x+m+3）0 在 x 1 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（1，0）的左面则4m

30、0故答案为：（4，0）2235【2012 年天津文科 14】已知函数 y的图象与函数 y kx的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是【解答】解：函数 y，如图所示：故当一次函数 y kx的斜率 k 满足 0k 1 或 1k 2 时，直线 y kx与函数 y的图象相交于两点，故答案为（0，1）（1，2）36【2011 年北京文科 14】设 A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t R）记 N（t）为平行四边形 ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 N（0），N（t）的所有可能取值为【解答】解：当 t 0 时，平行四边形 ABCD

31、内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共 6 个点，所以 N（0）6作出平行四边形 ABCD将边 OD，BC 变动起来，结合图象得到 N（t）的所有可能取值为 6，7，823故答案为：6；6，7，837【2010 年北京文科 14】（北京卷理 14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC沿 x 轴滚动 设顶点 P（x，y）的轨迹方程是 y f（x），则 f（x）的最小正周期为；y f（x）在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为说明：“正方形 PABC沿 X轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶点

32、 A为中心顺时针旋转，当顶点 B落在 x 轴上时，再以顶点 B为中心顺时针旋转，如此继续类似地，正方形 PABC可以沿 x 轴负方向滚动【解答】解：不难想象，从某一个顶点（比如 A）落在 x 轴上的时候开始计算，到下一次 A点落在 x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1，因此该函数的周期为 4下面考察 P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从 x 轴上开始运动的时候，首先是围绕 A点运动 个圆，该圆半径为 1，然后以 B点为中心，滚动到 C点落地，其间是以 BP 为半径，旋转90，然后以 C为圆心，再旋转 90，这时候以 CP 为半径，因此最终构成图象如下：故其与 x 轴所围成的图形面积为故答案为：4，+12438【2010 年天津文科 16】设函数 f（x）x，对任意 x 1，+），f（mx）+mf（x）0 恒成立，则实数 m的取值范围是【解答】解：已知 f（x）为增函数且 m 0，当 m 0，由复合函数的单调性可知 f（mx）和 mf（x）均为增函数，此时不符合题意当 m 0 时，有因为 y 2x2在 x 1，+）上的最小值为 2，所以 1，即 m21，解得 m 1 或 m 1（舍去）故答案为：m 1