天津市高考数学试卷理科.pdf

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1、2007 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5 分，满分 50 分）1（5 分）i 是虚数单位=（）A1+i B1+i C1i D1i2（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=4x+y 的最大值为（）A4 B11 C 12 D143（5 分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5 分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD5（5 分）函数的反函数是（）Ay=4x2x+1（x2）By=4x2x+1（x1）Cy=4x2x+2（x2）D y=4

2、x2x+2（x1）6（5 分）设 a，b 为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若 a，b 与 所成的角相等，则 bB若 a，b，则 abC若 a?，b?，b，则 D若 a，b，是 ab7（5 分）在 R上定义的函数 f（x）是偶函数，且 f（x）=f（2x）若 f（x）在区间 1，2 上是减函数，则 f（x）（）A在区间 2，1 上是增函数，在区间 3，4 上是增函数B在区间 2，1 上是增函数，在区间 3，4 上是减函数C在区间 2，1 上是减函数，在区间 3，4 上是增函数D在区间 2，1 上是减函数，在区间 3，4 上是减函数8（5 分）设等差数列 an 的公差 d

3、 不为 0，a1=9d若 ak是 a1与 a2k的等比中项，则 k=（）A2 B4 C 6 D89（5 分）已知 a、b、c 均为正数，且满足，则（）Aabc Bcab Ccba Dbac10（5 分）设两个向量和，其中 ，m，为实数若，则的取值范围是（）A 6，1B 4，8C（，1D 1，6二、填空题（共6 小题，每小题 4 分，满分 26分）11（4 分）若（x2+）6的二项展开式中x3的系数为，则 a=（用数字作答）12（4 分）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为13（4 分）设等差数列 an 的公差 d 是 2，前 n 项的和

4、为 Sn，则=14（4 分）已知两圆 x2+y2=10 和（x1）2+（y3）2=20相交于 A，B两点，则直线 AB的方程是15（4 分）如图，在 ABC中，BAC=120 ，AB=2，AC=1，D 是边 BC上一点，DC=2BD，则?=16（4 分）如图，用 6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）三、解答题（共6 小题，满分 76分）17（12 分）已知函数 f（x）=2cosx（sinxcosx）+1，xR（）求函数 f（x）的最小正周期；（）求函数 f（x）在区间上的最小值和最大值

5、18（12 分）已知甲盒内有大小相同的1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球现在从甲、乙两个盒内各任取2 个球（）求取出的 4 个球均为黑色球的概率；（）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望19（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面 ABCD，ABAD，AC CD，ABC=60 ，PA=AB=BC，E是 PC的中点（）证明：CD AE；（）证明：PD平面 ABE；（）求二面角 APD C的大小20（12 分）已知函数 f（x）=（xR），其中 aR（）当 a=1时，求曲线 y=f（

6、x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当 a0 时，求函数 f（x）的单调区间与极值21（14 分）在数列 an 中，a1=2，an+1=an+n+1+（2）2n（nN*），其中 0（）求数列 an 的通项公式；（）求数列 an 的前 n 项和 Sn；（）证明存在 kN*，使得对任意 nN*均成立22（14 分）设椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，A 是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点 O到直线 AF1的距离为（I）证明：；（II）设 Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原点 O 作直线 Q1Q2的垂线OD，垂足为 D，求点 D的轨迹方程2007 年天津市高考数学试

7、卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5 分，满分 50 分）1（5 分）（2007?天津）i 是虚数单位=（）A1+i B1+i C1i D1i【分析】化简复数的分子，同时对复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：故选 C2（5 分）（2007?天津）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=4x+y的最大值为（）A4 B11 C 12 D14【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为（0，

8、1）、（2，3）、（1，0），将（2，3）代入 z=4x+y 得到最大值为 11故选 B3（5 分）（2007?天津）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分 析】根 据 当时成 立 判 断是成立的充分条件，当 tan=0 时不成立，进而可判断是成立的不必要条件【解答】可 知充分，当=0时可知不必要故选 A4（5 分）（2010?天津）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为

9、（6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得 a、b 的一个方程；再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，可得=，则得 a、b 的另一个方程那么只需解a、b 的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线 y2=24x的准线方程为 x=6，则由题意知，点 F（6，0）是双曲线的左焦点，所以 a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得 a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为故选 B5（5 分）（2007?天津）函数的反函数是（）Ay=4x2x+1（x2）By=4x2x+1（x1）Cy=4x2x+2（x2）D y=4x2x+2（x1）【分析】本题考查指数式

10、与对数式的互化、反函数的求法、函数的值域的求法等相关的知识和方法；可以有两种方法：一种是常规方法，即将看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域；另一种方法是针对选择题的特点，利用其图象关于 y=x对称的特征，通过选取特殊点代入的方法进行验证获得【解答】解：法一：由得：由此解得：x=4y2y+2，即：y=4x2x+2又原函数的定义域为：x0原函数的值域为：y2函数的反函数是 y=4x2x+2（x2）故选 C法二：特值排除法，原函数过（4，1）其反函数过（1，4）从而排除 A、B、D，故选 C6（5 分）（2007?天津）设 a，b 为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

11、（）A若 a，b 与 所成的角相等，则 bB若 a，b，则 abC若 a?，b?，b，则 D若 a，b，是 ab【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证 C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证 D、由 a，可得到 a?或 a，再由 b得到结论【解答】解：A、直线 a，b 的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证如图，设A1B1为 a，平面 AC为 ，BC为 b，平面 A1C1为 ，显然有 a，b，但得不到 ab，不正确；C、可设 A1B1为 a，平面 AB1为 ，CD为 b，平面 AC为 ，满足选项 C的条件却得不到 ，不正确；D、

12、a，a?或 a又bab故选 D7（5 分）（2007?天津）在 R上定义的函数 f（x）是偶函数，且 f（x）=f（2x）若f（x）在区间 1，2 上是减函数，则 f（x）（）A在区间 2，1 上是增函数，在区间 3，4 上是增函数B在区间 2，1 上是增函数，在区间 3，4 上是减函数C在区间 2，1 上是减函数，在区间 3，4 上是增函数D在区间 2，1 上是减函数，在区间 3，4 上是减函数【分析】根据函数的性质，作出函数的草图，观察图象即可得答案【解答】解：由 f（x）=f（2x）可知 f（x）图象关于 x=1对称，又f（x）为偶函数，f（x）=f（x2）f（x）为周期函数且周期为2，

13、结合 f（x）在区间 1，2 上是减函数，可得 f（x）草图故选 B8（5 分）（2007?天津）设等差数列 an的公差 d 不为 0，a1=9d若 ak是 a1与a2k的等比中项，则 k=（）A2 B4 C 6 D8【分析】由 ak是 a1与 a2k的等比中项，知ak2=a1a2k，由此可知 k22k8=0，从而得到 k=4或 k=2【解答】解：因为 ak是 a1与 a2k的等比中项，则 ak2=a1a2k，9d+（k1）d2=9d?9d+（2k1）d，又 d0，则 k22k8=0，k=4或 k=2（舍去）故选 B9（5 分）（2007?天津）已知 a、b、c 均为正数，且满足，则（）Aab

14、c Bcab Ccba Dbac【分析】由对数函数的真数一定大于0 确定 a、b、c 的范围，再由，对其范围再缩小即可【解答】解：a010ab001b10c1abc故选 A10（5分）（2007?天 津）设 两 个 向 量和，其中 ，m，为实数若，则的取值范围是（）A 6，1B 4，8C（，1D 1，6【分析】利用，得到 ，m 的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元【解答】解：由，可得，设代入方程组可得消去 m 化简得，再化简得再令代入上式得（sin 1）2+（16t2+18t+2）=0可得（16t2+18t+2）0，4解不等式得因而解得 6k1故选 A二、填空题（共6 小

15、题，每小题 4 分，满分 26分）11（4 分）（2007?天津）若（x2+）6的二项展开式中 x3的系数为，则 a=2（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1 项，令 x 的指数为 3，求出展开式中 x3的系数，列出方程求出a【解答】解：通项 Tr+1=C6r?arx123r，当 123r=3时，r=3，所以系数为 C63?a3=，得 a=2故答案为 212（4 分）（2007?天津）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14【分析】由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求

16、出球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由 S=4 R2=14 故答案为：1413（4 分）（2007?天津）设等差数列 an 的公差 d 是 2，前 n 项的和为 Sn，则=3【分析】由首项 a1和公差 d 等于 2，利用等差数列的通项公式及前n 项和的公式表示出 an和 Sn，然后把表示的式子代入到极限中，求出极限的值即可【解答】解：由公差 d=2，得到 an=a1+2（n1）=2n+a12，Sn=na1+2=n2+n（a11）则=3故答案为 314（4 分）（2007?天津）已知两圆 x2+y2=10和（x1）2+（y3）2=20相交于 A，

17、B两点，则直线 AB的方程是x+3y=0【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程【解答】解：因为两圆相交于A，B 两点，则 A，B 两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故答案为x+3y=015（4 分）（2007?天津）如图，在 ABC中，BAC=120 ，AB=2，AC=1，D 是边 BC上一点，DC=2BD，则?=【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值法二：由余弦定理得可得分别求得，又夹角大小为ADB，所以=【解 答】解：法 一：选 定

18、基 向 量，由 图 及 题 意得，=（）（）=+=法二：由题意可得BC2=AB2+AC22AB?ACcosA=4+1+2=7，BC=，cosB=AD=，=故答案为：16（4 分）（2007?天津）如图，用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色 要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390种（用数字作答）【分析】由题意选出的颜色只能是 2 种或 3 种，然后分别求出涂色方法数即可【解答】解：用 2 色涂格子有 C622=30种方法，用 3 色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，从左至右，第一空3 种，第二空 2 种，第三空分两张情况，一是与

19、第一空相同，一是不相同，共有32（11+12）=18种，所以涂色方法 18C63=360种方法，故总共有 390 种方法故答案为：390三、解答题（共6 小题，满分 76分）17（12 分）（2007?天津）已知函数 f（x）=2cosx（sinxcosx）+1，xR（）求函数 f（x）的最小正周期；（）求函数 f（x）在区间上的最小值和最大值【分析】（I）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（II）根据正弦函数的单调性和x 的范围，进而求得函数的最大和最小值【解答】解：（I）f（x）=2cosx（sinxcosx）+1=sin2xcos

20、2x=因此，函数 f（x）的最小正周期为（II）因 为在 区 间上 为 增 函 数，在 区 间上为减函数，又，故函数 f（x）在区间上的最大值为，最小值为 118（12 分）（2007?天津）已知甲盒内有大小相同的1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球现在从甲、乙两个盒内各任取2 个球（）求取出的 4 个球均为黑色球的概率；（）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望【分析】（1）取出的 4 个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2 个球均黑球且从乙盒内取出的 2 个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根

21、据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）取出的 4 个球中恰有 1 个红球表示从甲盒内取出的2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红红，1 个是黑球或从甲盒内取出的2 个球中，1个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的2 个球均为黑球两种情况，它们是互斥的（3）为取出的 4 个球中红球的个数，则 可能的取值为 0，1，2，3结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望【解答】解：（I）设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A，“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B事件 A，B 相互独立，且取出的 4 个球均为黑球的概率为P（A?B）=P（A）?P（B）=（II）设

22、“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件 C，“从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的2 个球均为黑球”为事件 D事件 C，D互斥，且取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P（C+D）=P（C）+P（D）=（III）可能的取值为 0，1，2，3由（I），（II）得，又，从而 P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）=的分布列为0123P 的数学期望19（12分）（2007?天津）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60 ，PA=AB=BC，E是 PC的中点（

23、）证明：CD AE；（）证明：PD平面 ABE；（）求二面角 APD C的大小【分析】（I）由题意利用线面PA 底面 ABCD得线线 PACD，进而得线面 CD 平面 PAC，即可得证；（II）由题意可得 AEPC，由（I）知，AE CD，进而得到 AE 平面 PCD，在由线线垂直得 PD平面 ABE；（III）因为 AE 平面 PCD，AM 在平面 PCD内的射影是 EM，则 EMPD因此AME是二面角 APDC的平面角，然后再在三角形中求出即可【解答】解：（I）证明：在四棱锥PABCD中，因 PA 底面 ABCD，CD?平面 ABCD，故 PACD AC CD，PAAC=A，CD 平面 P

24、AC 而 AE?平面 PAC，AE CD（II）证明：由 PA=AB=BC，ABC=60 ，可得 AC=PA E是 PC的中点，AEPC 由（I）知，AECD，且 PC CD=C，所以 AE平面 PCD 而 PD?平面 PCD，AEPDPA 底面 ABCD，PD在底面 ABCD内射影是 AD，ABAD，ABPD又 ABAE=A，综上得 PD平面 ABE（III）过点 A作 AMPD，垂足为 M，连接 EM由（II）知，AE 平面 PCD，AM 在平面 PCD内的射影是 EM，则 EMPD因此 AME是二面角 APD C的平面角由已知，得 CAD=30 设 AC=a，可得在 RtADP中，AMP

25、D，AM PD=PA AD 则在 RtAEM中，所以二面角 APDC的大小是20（12 分）（2007?天津）已知函数 f（x）=（xR），其中 aR（）当 a=1时，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当 a0 时，求函数 f（x）的单调区间与极值【分析】（I）把 a=1 代入，先对函数求导，然后求f（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f（2），从而求出切线方程（II）先对函数求导，分别解f（x）0，f（x）0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值【解答】解：（I）解：当 a=1时，又所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为，即6x

26、+25y32=0（II）解：=由于 a0，以下分两种情况讨论（1）当 a0 时，令 f（x）=0，得到当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：xa（a，+）f（x）0+0f（x）极小值极大值所以 f（x）在区间，（a，+）内为减函数，在区间内为增函数函数 f（x）在处取得极小值，且函数 f（x）在 x2=a处取得极大值 f（a），且 f（a）=1（2）当 a0 时，令 f（x）=0，得到当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，aa）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增所以 f（x）在区间（，a）内为增函数，在区间内为减函数函数 f（x）在 x1=a处取得极大

27、值 f（a），且 f（a）=1函数 f（x）在处取得极小值，且21（14 分）（2007?天津）在数列 an中，a1=2，an+1=an+n+1+（2）2n（nN*），其中 0（）求数列 an 的通项公式；（）求数列 an 的前 n 项和 Sn；（）证明存在 kN*，使得对任意 nN*均成立【分析】（）解法一：由题设条件可猜想出数列an 的通项公式为 an=（n1）n+2n然后用数学归纳法证明解法二：由an+1=an+n+1+（2）2n（nN*），0，可知为等数列，其公差为1，首项为 0由此可求出数列 an 的通项公式（）设 Tn=2+23+34+（n2）n1+（n1）n，Tn=3+24+35

28、+（n2）n+（n1）n+1然后用错位相减法进行求解（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大然后用分析法进行证明【解答】解：（）解法一：a2=2+2+（2）2=2+22，a3=（2+22）+3+（2）22=23+23，a4=（23+23）+4+（2）23=34+24由此可猜想出数列 an的通项公式为 an=（n1）n+2n以下用数学归纳法证明（1）当 n=1 时，a1=2，等式成立（2）假设当 n=k时等式成立，即ak=（k1）k+2k，那么，ak+1=ak+k+1+（2）2k=（k1）k+2k+k+1+2k+12k=（k+1）1 k+1+2k+1这就是说，当 n=k+1 时等式也成立 根据（

29、1）和（2）可知，等式 an=（n1）n+2n对任何 nN*都成立解 法 二：由an+1=an+n+1+（2 ）2n（n N*），0，可 得，所以为等差数列，其公差为 1，首项为 0 故，所以数列 an 的通项公式为 an=（n1）n+2n（）解：设 Tn=2+23+34+（n2）n1+（n1）nTn=3+24+35+（n2）n+（n1）n+1当 1时，式 减 去 式，得（1 ）Tn=2+3+n（n 1）n+1=，这时数列 an 的前 n 项和当=1 时，这时数列 an 的前 n 项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大下面证明：由 0 知 an0要使式成立，只要2an+1（2+4）an（

30、n2）因为（2+4）an=（2+4）（n1）n+（2+4）2n4 （n1）n+42n=4（n1）n+1+2n+22nn+1+2n+2=2an+1，n2所以式成立因此，存在k=1，使得对任意 nN*均成立22（14 分）（2007?天津）设椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，A 是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点 O到直线 AF1的距离为（I）证明：；（II）设 Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2，过原点 O 作直线 Q1Q2的垂线OD，垂足为 D，求点 D的轨迹方程【分析】（1）先求得 A 点的坐标，再求得直线AF1 的方程，利用点到直线的距离结合条件得到一个关于a，b

31、 的关系式，化简即得；（2）设点 D 的坐标为（x0，y0）欲求其轨迹方程，即寻找x，y 的关系式，由直线 Q1Q2的方程和椭圆的方程组成方程组，结合向量的垂直关系即可找到找x，y的关系式，从而问题解决【解答】解：（I）由题设 AF2F1F2及 F1（c，0），F2（c，0），不妨设点 A（c，y），其中 y0由于点 A 在椭圆上，有，即解得，从而得到直线 AF1的方程为，整理得 b2x2acy+b2c=0由题设，原点 O 到直线 AF1的距离为，即，将 c2=a2b2代入上式并化简得a2=2b2，即（II）设点 D 的坐标为（x0，y0）当 y00时，由 ODQ1Q2知，直线 Q1Q2的斜率

32、为，所 以 直 线Q1Q2的 方 程 为，或y=kx+m，其 中点 Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组将式代入式，得x2+2（kx+m）2=2b2整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m22b2=0于是，由式得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=由 OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0 将式和式代入得，3m2=2b2（1+k2）将代入上式，整理得当 y0=0 时，直线 Q1Q2的方程为 x=x0点 Q1（x1，y0），Q2（x2，y2）的坐标满足方程组所以由 OQ1OQ2知 x1x2+y1y2=0，即，解得这时，点 D 的坐标仍满足综上，点 D 的轨迹方程为参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；yhx01248；zhwsd；wzj123；liuerq；wodeqing；杨南；zlzhan；wsj1012；wdnah；sllwyn；caoqz；涨停；邢新丽；吕静（排名不分先后）菁优网