2015年天津市高考数学试卷(理科).pdf

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1、第 1页（共 22页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）一一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）（2015天津）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，5，6，集合 B1，3，4，6，7，则集合 AUB（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，82（5 分）（2015天津）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+6y 的最大值为（）A3B4C18D403（5 分）（2015天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值

2、为（）A10B6C14D184（5 分）（2015天津）设 xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5 分）（2015天津）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM2，MD4，CN3，则线段 NE 的长为（）第 2页（共 22页）AB3CD6（5 分）（2015天津）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线 y24x 的准线上，则双曲线的方程为（）A1B1C1D17（5 分）（2015天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）

3、2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记 af（log0.53），bf（log25），cf（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba8（5 分）（2015天津）已知函数 f（x），函数 g（x）bf（2x），其中 bR，若函数 yf（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9（5 分）（2015天津）i 是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为10（5 分）（2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何

4、体的体积为m311（5 分）（2015天津）曲线 yx2与 yx 所围成的封闭图形的面积为12（5 分）（2015天津）在（x）6的展开式中，x2的系数为第 3页（共 22页）13（5 分）（2015天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC的面积为 3，bc2，cosA，则 a 的值为14（5 分）（2015天津）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，则的最小值为三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15（13 分）（2015天津）已知函数

5、 f（x）sin2xsin2（x），xR（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，内的最大值和最小值16（13 分）（2015天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17（13 分）（2015天津）如图，在四棱柱

6、 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D1ACB1的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为，求线段 A1E的长18（13 分）（2015天津）已知数列an满足 an+2qan（q 为实数，且 q1），nN*，a11，第 4页（共 22页）a22，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求 q 的值和an的通项公式；（2）设 bn，nN*，求数列bn的前 n 项和19（14 分

7、）（2015天津）已知椭圆+1（ab0）的左焦点为 F（c，0），离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2截得的线段的长为 c，|FM|（）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围20（14 分）（2015天津）已知函数 f（x）nxxn，xR，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 yf（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 yg（x），求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x）；（）若关于 x 的方程 f（x）a（

8、a 为实数）有两个正实数根 x1，x2，求证：|x2x1|+2第 5页（共 22页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）（2015天津）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，5，6，集合 B1，3，4，6，7，则集合 AUB（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，8【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：全集

9、U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，5，6，集合 B1，3，4，6，7，UB2，5，8，则 AUB2，5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2（5 分）（2015天津）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+6y 的最大值为（）A3B4C18D40【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 zx+6y 得 yx+z，平移直线 yx+z，由图象可知当直线 yx+z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大由，解

10、得，即 A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 zx+6y，得 z3618即 zx+6y 的最大值为 18故选：C第 6页（共 22页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3（5 分）（2015天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）A10B6C14D18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 i8 时满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S20，i1i2，S18不满足条件 i5，i4，S14不满足条件 i5，i8，S6满足

11、条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6第 7页（共 22页）故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S 的值是解题的关键，属于基础题4（5 分）（2015天津）设 xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x2|1”得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5（5 分）（2015

12、天津）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM2，MD4，CN3，则线段 NE 的长为（）AB3CD【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求 NE 即可【解答】解：由相交弦定理可得 CMMDAMMB，24AM2AM，AM2，MNNB2，又 CNNEANNB，3NE42，NE故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础第 8页（共 22页）6（5 分）（2015天津）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线 y24x 的准线上，则双曲线的方程为（）A1B1C1D1【分析】由

13、抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、b 的另一个方程，求出 a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意，抛物线 y24x 的准线方程为 x，双曲线的一个焦点在抛物线 y24x 的准线上，c，a2+b2c27，a2，b，双曲线的方程为故选：B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5 分）（2015天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记 af（log0.53），bf（log25），cf（2m），则 a，b，c 的大小关系为

14、（）AabcBacbCcabDcba【分析】根据 f（x）为偶函数便可求出 m0，从而 f（x）2|x|1，这样便知道 f（x）在0，+）上单调递增，根据 f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：af（|log0.53|），bf（log25），cf（0），然后再比较自变量的值，根据 f（x）在0，+）上的单调性即可比较出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）为偶函数；第 9页（共 22页）f（x）f（x）；2|xm|12|xm|1；|xm|xm|；（xm）2（xm）2；mx0；m0；f（x）2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 af（|log0.53|）f（log23

15、），bf（log25），cf（0）；0log23log25；cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8（5 分）（2015天津）已知函数 f（x），函数 g（x）bf（2x），其中 bR，若函数 yf（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【分析】求出函数 yf（x）g（x）的表达式，构造函数 h（x）f（x）+f（2x），作出函数 h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可

16、【解答】解：g（x）bf（2x），yf（x）g（x）f（x）b+f（2x），由 f（x）b+f（2x）0，得 f（x）+f（2x）b，设 h（x）f（x）+f（2x），若 x0，则x0，2x2，则 h（x）f（x）+f（2x）2+x+x2，若 0 x2，则2x0，02x2，则 h（x）f（x）+f（2x）2x+2|2x|2x+22+x2，第 10页（共 22页）若 x2，x2，2x0，则 h（x）f（x）+f（2x）（x2）2+2|2x|x25x+8即 h（x），作出函数 h（x）的图象如图：当 x0 时，h（x）2+x+x2（x+）2+，当 x2 时，h（x）x25x+8（x）2+，故当 b

17、时，h（x）b，有两个交点，当 b2 时，h（x）b，有无数个交点，由图象知要使函数 yf（x）g（x）恰有 4 个零点，即 h（x）b 恰有 4 个根，则满足b2，故选：D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9（5 分）（2015天津）i 是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为2【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解：由（12i）（a+i）（a+2）+（12a）i 为纯虚数，第 1

18、1页（共 22页）得，解得：a2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题10（5 分）（2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为 1，高为 2，圆锥底面圆的半径为 1，高为 1；该几何体的体积为V几何体2121+122故答案为：【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11（5 分）（2015天津）

19、曲线 yx2与 yx 所围成的封闭图形的面积为【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0直线 yx 与曲线 yx2所围图形的面积 S01（xx2）dx第 12页（共 22页）而01（xx2）dx（）|01曲边梯形的面积是故答案为：【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数12（5 分）（2015天津）在（x）6的展开式中，x2的系数为【分析】在二

20、项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数【解答】解：（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1（x）6r（）r（）rx62r，令 62r2，解得 r2，展开式中 x2的系数为，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题13（5 分）（2015天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC的面积为 3，bc2，cosA，则 a 的值为8【分析】由 cosA，A（0，），可得 sinA利用 SABC，化为 bc24，又 bc2，解得 b，c由余弦定理可得：a2b2+c22

21、bccosA第 13页（共 22页）即可得出【解答】解：A（0，），sinASABCbc，化为 bc24，又 bc2，解得 b6，c4由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA36+164864解得 a8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5 分）（2015天津）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，则的最小值为【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值【解答】解：由题意

22、，得到 ADBCCD1，所以（）（）（）（）21cos60+11cos60+21+11cos1201+（当且仅当时等号成立）；故答案为：【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15（13 分）（2015天津）已知函数 f（x）sin2xsin2（x），xR（）求 f（x）的最小正周期；第 14页（共 22页）（）求 f（x）在区间，内的最大值和最小值【分析】（）由三角函数公式化简可得 f（x）sin（2x），由周期公式可得；（）由 x，结合

23、不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值【解答】解：（）化简可得 f（x）sin2xsin2（x）（1cos2x）1cos（2x）（1cos2x1+cos2x+sin2x）（cos2x+sin2x）sin（2x）f（x）的最小正周期 T；（）x，2x，sin（2x）1，sin（2x），f（x）在区间，内的最大值和最小值分别为，【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题16（13 分）（2015天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3

24、 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】（）利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望第 15页（共 22页）【解答】解：（）由已知，有 P（A），事件 A 发生的概率为；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4

25、P（Xk）（k1，2，3，4）随机变量 X 的分布列为：X1234P随机变量 X 的数学期望 E（X）【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题17（13 分）（2015天津）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D1ACB1的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为，求线

26、段 A1E的长【分析】（）以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建系，通过平面 ABCD 的一个法向量与的数量积为 0，即得结论；（）通过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；第 16页（共 22页）（）通过设，利用平面 ABCD 的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可【解答】（）证明：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建系，则 A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，

27、2，2），又M、N 分别为 B1C、D1D 的中点，M（1，1），N（1，2，1）由题可知：（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，（0，0），0，MN平面 ABCD，MN平面 ABCD；（）解：由（I）可知：（1，2，2），（2，0，0），（0，1，2），设（x，y，z）是平面 ACD1的法向量，由，得，取 z1，得（0，1，1），设（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z1，得（0，2，1），cos，sin，二面角 D1ACB1的正弦值为；（）解：由题意可设，其中0，1，E（0，2），（1，+2，1），又（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，第 17页（共 22

28、页）cos，整理，得2+430，解得2 或2（舍），线段 A1E 的长为2【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题18（13 分）（2015天津）已知数列an满足 an+2qan（q 为实数，且 q1），nN*，a11，a22，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求 q 的值和an的通项公式；（2）设 bn，nN*，求数列bn的前 n 项和【分析】（1）通过 an+2qan、a1、a2，可得 a3、a5、a4，利用 a2+a3，a3+a

29、4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知 bn，nN*，写出数列bn的前 n 项和 Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）an+2qan（q 为实数，且 q1），nN*，a11，a22，a3q，a5q2，a42q，又a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，23q2+3q+q2，即 q23q+20，第 18页（共 22页）解得 q2 或 q1（舍），an；（2）由（1）知 bn，nN*，记数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn1+2+3+4+（n1）+n，2Tn2+2+3+4+5+（n1）+n，两式相减，得 Tn3+n3+n3+

30、1n4【点评】本题考查求数列的通项与前 n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19（14 分）（2015天津）已知椭圆+1（ab0）的左焦点为 F（c，0），离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2截得的线段的长为 c，|FM|（）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围【分析】（）通过离心率为，计算可得 a23c2、b22c2，设直线 FM 的方程为 yk（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；第 19页

31、（共 22页）（）通过联立椭圆与直线 FM 的方程，可得 M（c，c），利用|FM|计算即可；（）设动点 P 的坐标为（x，y），分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分 x（，1）与 x（1，0）两种情况讨论即可得到结论【解答】解：（）离心率为，2a23b2，a23c2，b22c2，设直线 FM 的斜率为 k（k0），则直线 FM 的方程为 yk（x+c），直线 FM 被圆 x2+y2截得的线段的长为 c，圆心（0，0）到直线 FM 的距离 d，d2+，即（）2+，解得 k，即直线 FM 的斜率为；（）由（I）得椭圆方程为：+1，直线 FM 的方程为 y（x+c），联立两个方程，消去

32、y，整理得 3x2+2cx5c20，解得 xc，或 xc，点 M 在第一象限，M（c，c），|FM|，解得 c1，a23c23，b22c22，即椭圆的方程为+1；（）设动点 P 的坐标为（x，y），直线 FP 的斜率为 t，F（1，0），t，即 yt（x+1）（x1），联立方程组，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（x+1）26，第 20页（共 22页）又直线 FP 的斜率大于，62x26（x+1）2，整理得：x（2x+3）0 且 x1，解得x1，或1x0，设直线 OP 的斜率为 m，得 m，即 ymx（x0），联立方程组，消去 y 并整理，得 m2当 x（，1）时，有 yt（x+1）0，因

33、此 m0，m，m（，）；当 x（1，0）时，有 yt（x+1）0，因此 m0，m，m（，）；综上所述，直线 OP 的斜率的取值范围是：（，）（，）【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题20（14 分）（2015天津）已知函数 f（x）nxxn，xR，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 yf（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 yg（x），求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x

34、）g（x）；（）若关于 x 的方程 f（x）a（a 为实数）有两个正实数根 x1，x2，求证：|x2x1|+2【分析】（）由 f（x）nxxn，可得 f（x），分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性（）设点 P 的坐标为（x0，0），则可求 x0，f（x0）nn2，可求 g（x）f（x0）（xx0），F（x）f（x）f（x0）由 f（x）nxn1+n 在（0，+）第 21页（共 22页）上单调递减，可求 F（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，+）上单调递减，即可得证（）设 x1x2，设方程 g（x）a 的根为，由（）可得 x2设曲线 yf（x）在原点处的切线方程为 yh（

35、x），可得 h（x）nx，设方程 h（x）a 的根为，可得x1，从而可得：x2x1，由 n2，即 2n1（1+1）n11+1+n1n，推得：2x0，即可得证【解答】（本题满分为 14 分）解：（）由 f（x）nxxn，可得 f（x）nnxn1n（1xn1），其中 nN，且 n2下面分两种情况讨论：（1）当 n 为奇数时，令 f（x）0，解得 x1，或 x1，当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1）（1，1）（1，+）f（x）+f（x）所以，f（x）在（，1），（1，+）上单调递减，在（1，1）单调递增（2）当 n 为偶数时，当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调

36、递增；当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递减；所以，f（x）在（，1）单调递增，在（1，+）上单调递减；（）证明：设点 P 的坐标为（x0，0），则 x0，f（x0）nn2，曲线 yf（x）在点 P 处的切线方程为 yf（x0）（xx0），即 g（x）f（x0）（xx0），令 F（x）f（x）g（x），即 F（x）f（x）f（x0）（xx0），则 F（x）f（x）f（x0）由于 f（x）nxn1+n 在（0，+）上单调递减，故 F（x）在（0，+）上单调递减，第 22页（共 22页）又因为 F（x0）0，所以当 x（0，x0）时，F（x）0，当 x（x0，+）时，F（x）0，所以

37、 F（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以对应任意的正实数 x，都有 F（x）F（x0）0，即对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x）（）证明：不妨设 x1x2，由（）知 g（x）（nn2）（xx0），设方程 g（x）a 的根为，可得，由（）知 g（x2）f（x2）ag（），可得 x2类似地，设曲线 yf（x）在原点处的切线方程为 yh（x），可得 h（x）nx，当 x（0，+），f（x）h（x）xn0，即对于任意的 x（0，+），f（x）h（x），设方程 h（x）a 的根为，可得，因为 h（x）nx 在（，+）上单调递增，且 h（）af（x1）h（x1），因此x1，由此可得：x2x1，因为 n2，所以 2n1（1+1）n11+1+n1n，故：2x0所以：|x2x1|+2【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/20 12:21:51；用户：18799180383；邮箱：18799180383；学号：21498020