2018年北京市中考数学试卷及答案解析.pdf

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1、第1页（共 23页）2018 年北京市中考数学试卷及答案解析一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1下列几何体中，是圆柱的为（）ABCD解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A2实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A|a|4Bcb0Cac 0Da+c0解：4a 3|a|4A 不正确；又 cb，cb0，B 正确；又 a0，c0，ac0，C 不正确；又 a 3，c3，a+c0，D 不正确；故选：B3方程组?-?=33?-8?=14的解为（）A?=-1?=

2、2B?=1?=-2C?=-2?=1D?=2?=-1解：?-?=33?-8?=14，3 得：5y 5，即 y 1，第2页（共 23页）将 y 1 代入 得：x 2，则方程组的解为?=2?=-1；故选：D4被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于 35 个标准足球场的总面积已知每个标准足球场的面积为7140m2，则 FAST的反射面总面积约为（）A7.14103m2B7.14104m2C2.5105m2D2.5106m2解：根据题意得：7140352499002.5105（m2）故选：C5若正多边形的一个外角是60，则该正多边形的内角和为（）A360B54

3、0C720D900解：该正多边形的边数为：360 60 6，该正多边形的内角和为：（62）180 720故选：C6如果 ab2 3，那么代数式（?2+?22?-b）?-?的值为（）A 3B2 3C3 3D4 3解：原式（?2+?22?-2?2?）?-?=(?-?)22?-?=?-?2，当 ab 2 3时，原式=232=3，故选：A7跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0）如图记录了某运动员起跳后的x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断

4、出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）第3页（共 23页）A10mB15mC20mD22.5m解：根据题意知，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则?=54.01600?+40?+?=46.2400?+20?+?=57.9解得?=-0.0195?=0.585?=54.0，所以 x=-?2?=0.5852(-0.0195)=15（m）故选：B8如图是老北京城一些地点的分布示意图在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6，

5、3）时，表示左安门的点的坐标为（5，6）；当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12，6）时，表示左安门的点的坐标为（10，12）；当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11，5）时，表示左安门的点的坐标为（11，11）；当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5，7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5）上述结论中，所有正确结论的序号是（）第4页（共 23页）ABCD解：当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6，3）时，表示左安门的点的坐标为（5，6），此结论正确；当表示天安门的

6、点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12，6）时，表示左安门的点的坐标为（10，12），此结论正确；当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11，5）时，表示左安门的点的坐标为（11，11），此结论正确；当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5，7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5），此结论正确故选：D二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9如图所示的网格是正方形网格，BACDAE（填“”，“”或“”）解：解法一：在AD 上取一点G，在网格上取点F，构建 AFG 为等腰直角三角形，第5页（共 23页）tan

7、BAC=?=1，tanEAD1，BAC EAD；解法二：连接NH，BC，过 N 作 NPAD 于 P，SANH22-121 2 2-12 11=12AH?NP，32=52PN，PN=35，RtANP 中，sinNAP=?=355=35=0.6，RtABC 中，sinBAC=?=222=220.6，正弦值随着角度的增大而增大，BAC DAE，故答案为：10若?在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是x0解：由题意可知：x 0故答案为：x011 用一组 a，b，c 的值说明命题“若 ab，则 acbc”是错误的，这组值可以是a1，b2，c1解：当 a1，b2，c 1 时，12，而 1（1）2（1

8、），命题“若ab，则 acbc”是错误的，故答案为：1；2；112如图，点A，B，C，D 在O 上，?=?，CAD 30，ACD50，则 ADB70第6页（共 23页）解：?=?，CAD30，CAD CAB30，DBC DAC30，ACD 50，ABD50，ADB ACB180 CAB ABC180 50 30 30 70故答案为：7013如图，在矩形ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线AC 于点 F，若 AB4，AD3，则 CF 的长为103解：四边形ABCD 为矩形，ABCD，ADBC，ABCD，FAE FCD，又 AFE CFD，AFE CFD，?=?=2AC=?2

9、+?2=5，CF=?+?AC=22+1 5=103故答案为：103第7页（共 23页）14从甲地到乙地有A，B，C 三条不同的公交线路为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500 个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30t3535t4040 t4545t 50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45 分钟”的可能性最大解：A 线路公交车用时不超过

10、45 分钟的可能性为59+151+166500=0.752，B 线路公交车用时不超过45 分钟的可能性为50+50+122500=0.444，C 线路公交车用时不超过45 分钟的可能性为45+265+167500=0.954，C 线路上公交车用时不超过45 分钟的可能性最大，故答案为：C15某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人每船租金（元/小时）90100130150某班 18 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1 小时，则租船的总费用最低为380元解：共有18 人，当租两人船时，1829（艘），每小时90 元，租船费

11、用为909810 元，当租四人船时，1844 余 2 人，要租4 艘四人船和1 艘两人船，四人船每小时第8页（共 23页）100 元，租船费用为1004+90490 元，当租六人船时，1863（艘），每小时130 元，租船费用为1303 390元，当租八人船时，1882 余 2 人，要租2 艘八人船和1 艘两人船，8 人船每小时150 元，租船费用1502+90390 元当租 1 艘四人船，1 艘 6 人船，1 艘 8 人船，100+130+150 380 元租船费用为1502+90390 元，而 810490390380，当租 1 艘四人船，1 艘 6 人船，1 艘 8 人船费用最低是380

12、 元，故答案为：38016 2017 年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再 根 据 中 国 创 新 产 出 排 名 为 第11 在 另 一 排 名 中 找 到 创 新 效 率 排 名 为 第3第9页（共 23页）故答案为：3三、解答题（本题共68 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17（5 分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l 及直线 l 外一点 P求作：直线PQ，使

13、得 PQl作法：如图，在直线 l 上取一点 A，作射线P A，以点 A 为圆心，AP 长为半径画弧，交P A 的延长线于点 B；在直线 l 上取一点 C（不与点A 重合），作射线 BC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点Q；作直线 PQ所以直线PQ 就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：ABAP，CBCQ，PQ l（三角形中位线定理）（填推理的依据）（1）解：直线PQ 如图所示；第10页（共 23页）（2）证明：ABAP，CBCQ，PQ l（三角形中位线定理）故答案为：AP，CQ，三角形中

14、位线定理；18（5 分）计算4sin45+（2）0-18+|1|解：原式 422+13 2+1=-2+219（5 分）解不等式组：3(?+1)?-1?+922?解：3(?+1)?-1?+922?解不等式 得：x 2，解不等式 得：x3，不等式组的解集为2x 320（5 分）关于x 的一元二次方程ax2+bx+1 0（1）当 ba+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b 的值，并求此时方程的根解：（1）a0，b24a（a+2）24aa2+4a+4 4aa2+4，a20，0，方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根，b24a0

15、，若 b2，a1，则方程变形为x2+2x+10，解得 x1x2 1第11页（共 23页）21（5 分）如图，在四边形ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线AC，BD 交于点 O，AC平分 BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点E，连接 OE（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若 AB=5，BD2，求 OE 的长解：（1）ABCD，OAB DCA，AC 为 DAB 的平分线，OAB DAC，DCA DAC，CDADAB，ABCD，四边形ABCD 是平行四边形，AD AB，?ABCD 是菱形；（2）四边形ABCD 是菱形，OA OC，BDAC，CEAB，OE OAOC，BD

16、 2，OB=12BD1，在 RtAOB 中，AB=5，OB1，OA=?2-?2=2，OE OA222（5 分）如图，AB 是 O 的直径，过 O 外一点 P 作O 的两条切线PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP，CD第12页（共 23页）（1）求证：OPCD；（2）连接 AD，BC，若 DAB50，CBA70，OA2，求 OP 的长解：（1）方法 1、连接 OC，OD，OCOD，PD，PC 是 O 的切线，ODP OCP90，在 RtODP 和 RtOCP 中，?=?=?，RtODP RtOCP，DOP COP，ODOC，OP CD；方法 2、PD，PC 是O 的切线，PD PC，ODO

17、C，P，O 在 CD 的中垂线上，OP CD（2）如图，连接OD，OC，OA ODOCOB2，ADO DAO50，BCO CBO70，AOD 80，BOC 40，COD60，ODOC，COD 是等边三角形，第13页（共 23页）由（1）知，DOP COP30，在 RtODP 中，OP=?30=43323（6 分）在平面直角坐标系xOy 中，函数y=?（x0）的图象G 经过点A（4，1），直线 l：y=14?+b 与图象 G 交于点 B，与 y 轴交于点C（1）求 k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记图象G 在点 A，B 之间的部分与线段OA，OC，BC 围成的区域（不含边界）为W

18、当 b 1 时，直接写出区域W 内的整点个数；若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求b 的取值范围解：（1）把 A（4，1）代入 y=?得 k414；（2）当 b 1 时，直线解析式为y=14x1，解方程4?=14x1 得 x122 5（舍去），x22+2 5，则 B（2+2 5，5-12），而 C（0，1），如图 1 所示，区域W 内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有 3 个；如图 2，直线 l 在 OA 的下方时，当直线l：y=14?+b 过（1，1）时，b=-54，且经过（5，0），区域 W 内恰有 4个整点，b 的取值范围是-54b 1如图 3，直线 l 在 OA

19、 的上方时，点（2，2）在函数 y=?（x 0）的图象G，当直线 l：y=14?+b 过（1，2）时，b=74，第14页（共 23页）当直线 l：y=14?+b 过（1，3）时，b=114，区域 W 内恰有 4个整点，b 的取值范围是74b114综上所述，区域W 内恰有 4 个整点，b 的取值范围是-54b 1 或74b11424（6 分）如图，Q 是?与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦 AB 上一动点，连接 PQ 并延长交?于点 C，连接 AC已知 AB 6cm，设 A，P 两点间的距离为xcm，P，第15页（共 23页）C 两点间的距离为y1cm，A，C 两点间的距离为y2c

20、m小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与 x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm5.624.673.7632.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为3 或 4.91或 5.77cm解：（

21、1）P A6 时，AB 6，BC4.37，AC4.11，AB2AC2+BC2，ACB90，AB 是直径当 x3 时，PAPBPC 3，y13，第16页（共 23页）故答案为3（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当xy，即当 PAPC 或 PAAC 时，x3 或 4.91，当 y1y2时，即 PCAC 时，x 5.77，综上所述，满足条件的x 的值为 3 或 4.91 或 5.77故答案为3 或 4.91 或 5.7725（6 分）某年级共有300 名学生为了解该年级学生A，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取 60 名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、

22、描述和分析 下面给出了部分信息a A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6 组：40 x50，50 x 60，60 x70，70 x80，80 x90，90 x 100）：b A课程成绩在70 x80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5cA，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数第17页（共 23页）A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值；（2）在此次测试中，某学生的A 课程成绩为76 分，B 课程成绩为71 分，这名学生成绩排名更靠前的课程是

23、B（填“A”或“B”），理由是该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A 课程成绩超过75.8 分的人数解：（1）A课程总人数为2+6+12+14+18+8 60，中位数为第30、31 个数据的平均数，而第30、31 个数据均在70 x80 这一组，中位数在70 x80 这一组，70 x80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，A 课程的中位数为78.5+792=78.75，即 m78.75；（2）该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数，这名学生成

24、绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数（3）估计 A 课程成绩超过75.8 分的人数为30010+18+860=180 人26（6 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点A，B，抛物线 yax2+bx3a 经过点 A，将点 B 向右平移5 个单位长度，得到点C（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围解：（1）与 y 轴交点：令x0 代入直线y4x+4 得 y4，B（0，4），点 B 向右平移5 个单位长度，得到点C，C（5

25、，4）；第18页（共 23页）（2）与 x 轴交点：令y 0代入直线y4x+4 得 x 1，A（1，0），点 B 向右平移5 个单位长度，得到点C，将点 A（1，0）代入抛物线yax2+bx3a 中得 0 ab3a，即 b 2a，抛物线的对称轴x=-?2?=-2?2?=1；（3）抛物线yax2+bx 3a 经过点 A（1，0）且对称轴x1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A 的对称点（3，0），a0 时，如图1，将 x0 代入抛物线得y 3a，抛物线与线段BC 恰有一个公共点，3a4，a-43，将 x5 代入抛物线得y 12a，12a4，a13，a13；a0 时，如图2，将 x0 代入抛物线

26、得y 3a，抛物线与线段BC 恰有一个公共点，3a4，a-43；当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得4 a2a 3a，解得 a 1综上所述，a13或 a-43或 a 1第19页（共 23页）27（7 分）如图，在正方形ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点A、B 重合），连接DE，点 A 关于直线DE 的对称点为F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E作 EHDE 交 DG 的延长线于点H，连接 BH（1）求证：GFGC；（2）用等式表示线段BH 与 AE 的数量关系，并证明第20页（共 23页）证明：（1）如

27、图 1，连接 DF，四边形ABCD 是正方形，DA DC，A C90，点 A 关于直线DE 的对称点为F，ADE FDE，DA DFDC，DFE A 90，DFG 90，在 RtDFG 和 RtDCG 中，?=?=?，RtDFG RtDCG（HL），GF GC；（2）BH=2AE，理由是：证法一：如图2，在线段 AD 上截取 AM，使 AMAE，AD AB，DMBE，由（1）知：1 2，3 4，ADC 90，1+2+3+490，22+2 390，2+345，即 EDG 45，EH DE，DEH 90，DEH 是等腰直角三角形，AED+BEH AED+190，DEEH，1 BEH，第21页（共

28、23页）在 DME 和 EBH 中，?=?1=?=?，DME EBH（SAS），EMBH，RtAEM 中，A90，AMAE，EM=2AE，BH=2AE；证法二：如图3，过点 H 作 HN AB 于 N，ENH 90，由方法一可知：DEEH，1 NEH，在 DAE 和 ENH 中，?=?1=?=?，DAE ENH（AAS），AEHN，ADEN，AD AB，ABENAE+BEBE+BN，AEBNHN，BNH 是等腰直角三角形，BH=2HN=2AE第22页（共 23页）28（7 分）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果P

29、，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距离“，记作d（M，N）已知点 A（2，6），B（2，2），C（6，2）（1）求 d（点 O，ABC）；（2）记函数 ykx（1x1，k0）的图象为图形G若 d（G，ABC）1，直接写出 k 的取值范围；（3）T 的圆心为T（t，0），半径为1若 d（T，ABC）1，直接写出t 的取值范围解：（1）如图所示，点O 到 ABC 的距离的最小值为2，d（点 O，ABC）2；第23页（共 23页）（2）ykx（k0）经过原点，在1x1 范围内，函数图象为线段，当 ykx（1x 1，k0）经过（1，1）时，k 1，此时 d（G，ABC

30、）1；当 ykx（1x 1，k0）经过（1，1）时，k1，此时 d（G，ABC）1；1k1，k 0，1k1 且 k0；（3）T 与 ABC 的位置关系分三种情况：当T 在 ABC 的左侧时，由d（T，ABC）1 知此时 t 4；当T 在 ABC 内部时，当点 T 与原点重合时，d（T，ABC）1，知此时t0；当点 T 位于 T3位置时，由d（T，ABC）1 知 T3M2，ABBC8、ABC90，C T3DM 45，则 T3D=?3?45=222=2 2，t42 2，故此时 0t42 2；当T 在 ABC 右边时，由d（T，ABC）1 知 T4N2，T4DC C45，T4D=?4?45=222=2 2，t4+2 2；综上，t 4 或 0t42 2或 t4+2 2